Mécanismes Modélisation cinématique (rappels et compléments) Papanicola

(1)

M´ ecanismes Papanicola

Mod´ elisation cin´ ematique

Problématique Modèle cinématique

Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

Analyse géométrique et cinématique des mécanismes

Étude géométrique

Étude cinématique Liaisons cinématiquement

´ equivalentes

Liaisons en série Liaisons en parallèle Récapitulatif

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Schéma cinématique Schéma cinématique minimal Schéma technologique

M´ ecanismes

Mod´ elisation cin´ ematique (rappels et compl´ ements)

Papanicola

Lyc´ ee Jacques Amyot

6 septembre 2009

(2)

M´ ecanismes Papanicola

Mod´ elisation cin´ ematique

Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Sommaire

Mod´ elisation cin´ ematique Probl´ ematique Mod` ele cin´ ematique

Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

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M´ ecanismes Papanicola

Mod´ elisation cin´ ematique

Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Mod´ elisation cin´ ematique

probl´ ematique

Il est souvent n´ ecessaire d’´ etablir un mod` ele permettant d’´ etudier aussi bien les mouvements du m´ ecanisme que les efforts qu’il doit supporter.

En effet le syst` eme r´ eel, soit parce qu’il n’existe pas encore (en phase de conception) soit parce qu’il est trop complexe n’est en g´ en´ eral pas adapt´ e ` a l’´ etude.

La mod´ elisation va intervenir aussi bien au niveau de la

conception d’un m´ ecanisme que dans l’analyse ` a posteriori

d’un m´ ecanisme existant.

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Mod´ elisation cin´ ematique

Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Mod` ele cin´ ematique

On appelle mod` ele cin´ ematique d’un m´ ecanisme, le mod` ele est construit autour des hypoth` eses suivantes :

I des pi` eces ind´ eformables,

I des liaisons sans jeu,

I des surfaces de contact g´ eom´ etriquement parfaites,

I des surfaces de contact simples (plan, sph` ere, cylindre, h´ elico¨ıde).

Cliquer

Figure: M´ ecanisme r´ eel

Cliquer

Figure: Mod` ele cin´ ematique

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Mod´ elisation cin´ ematique

Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Sommaire

Mod´ elisation cin´ ematique Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

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Mod´ elisation cin´ ematique

Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Liaisons normalis´ ees

Param´ etrage des liaisons

La liaison entre les deux solides est caract´ eris´ ee par le torseur cin´ ematique du mouvement relatif entre les deux solides. Les coordonn´ ees de ce torseur cin´ ematique sont les param` etres de la liaison.

Tableaux des liaisons

Les tableaux en annexe pr´ esentent les liaisons normalis´ ees.

La norme applicable est la norme NF EN ISO 3952-1.

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Mod´ elisation cin´ ematique

Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Sommaire

Mod´ elisation cin´ ematique Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

Analyse g´ eom´ etrique et cin´ ematique des m´ ecanismes Etude g´ ´ eom´ etrique

Etude cin´ ´ ematique

Liaisons cin´ ematiquement ´ equivalentes Liaisons en s´ erie

Liaisons en parall` ele R´ ecapitulatif

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

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Mod´ elisation cin´ ematique

Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Chaˆınes de solides

Un m´ ecanisme est constitu´ e de solides reli´ es par des liaisons cin´ ematiques. L’ensemble de ces liaisons et des solides forme une chaˆıne de solides.

Cette chaˆıne peut-ˆ etre repr´ esent´ ee par un graphe dit graphe de structure (ou graphe des liaisons). Sur ce graphe, les solides sont les nœuds et les liaisons les arcs. Il est d’usage de pr´ eciser le solide r´ ef´ erentiel.

Chaˆıne ouverte

S 1

S 2

S i

S i+1

S n

L 1

L 2

L i

L n−1

Chaˆıne ferm´ ee

S 1

S 2

S i

S i+1

S n

L 1

L 2

L i

L n−1

L n

Chaˆıne complexe

S 1

S 2

S i

S i+1

S n

S k

S l

L 1

L 2

L i

L n−1

L n

L k

L l L m

L p

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Mod´ elisation cin´ ematique

Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Chaˆınes de solides

Classe d’´ equivalence cin´ ematique

On appelle classe d’´ equivalence cin´ ematique, un ensemble de solides n’ayant aucun mouvement relatif.

Chaˆınes ouvertes

Une chaˆıne de solide est dite ouverte lorsque la structure correspond ` a un ensemble de solides li´ es les uns aux autres sans bouclage.

Chaˆınes ferm´ ees

Une chaˆıne de solide est dite ferm´ ee lorsque le graphe

pr´ esente une boucle.

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´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Chaˆınes de solides

Chaˆınes complexes

La chaˆıne de solides est dite complexe lorsqu’elle pr´ esente plusieurs boucles imbriqu´ ees.

Nombre cyclomatique Le nombre cyclomatique γ caract´ erise la complexit´ e de la chaˆıne, il pr´ ecise le nombre minimal de boucles qu’il est n´ ecessaire

d’´ etudier pour d´ efinir compl` etement le m´ ecanisme. Une chaˆıne ferm´ ee simple a un nombre cyclomatique de 1.

γ = L − N + 1 (1)

avec L, le nombre de liaisons du m´ ecanisme et

N, le nombre de solides du m´ ecanisme.

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Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Analyse g´ eom´ etrique et cin´ ematique des m´ ecanismes

´ Etude g´ eom´ etrique

Pour r´ ealiser l’´ etude g´ eom´ etrique d’un syst` eme en boucle ferm´ ee , il suffit d’´ ecrire la relation vectorielle reliant les points caract´ eristiques de chaque solide.

Soit O i , le point caract´ eristique du solide S i , la relation de fermeture de la chaˆıne g´ eom´ etrique s’´ ecrit :

# »

O 1 O 2 + # »

O 2 O 3 + · · · + # »

O i−1 O i + · · · + # »

O n−1 O n + # » O n O 1 = #»

0 . En projetant cette ´ equation vectorielle on obtient 3 ´ equations scalaires reliant les diff´ erents param` etres g´ eom´ etriques.

Remarque : Dans le cas d’un m´ ecanisme plan, on obtient 2

´

equations scalaires, d´ eduites de la projection de cette

relations sur les axes du plan.

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Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Analyse g´ eom´ etrique et cin´ ematique des m´ ecanismes

´ Etude cin´ ematique

Pour chaque liaison L i on peut ´ ecrire le torseur cin´ ematique entre deux solides au point caract´ eristique de la liaison.

n

V _(i+1)/i o

=

( # » Ω _(i+1)/i

# » V _O _i _∈(i+1)/i

)

O i

La fermeture cin´ ematique s’obtient en

´

ecrivant la somme des torseurs :

S ₁ S ₂ S _i

S _i ₊₁

S _n

L ₁ L ₂

L _i L n−1

L n

n V _1/2 o

+ n

V _2/3 o

+ · · · + n

V _i/(i+1) o

+ · · · + n

V _n/1 o + {0}

Cette relation permet d’obtenir 2 ´ equations vectorielles, et

apr` es projection 6 ´ equations scalaires.

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Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Liaisons cin´ ematiquement ´ equivalentes

On appelle liaison cin´ ematiquement ´ equivalente entre deux pi` eces, la liaison qui se substituerait ` a l’ensemble des liaisons r´ ealis´ ees entre ces pi` eces avec ou sans pi` ece interm´ ediaire.

La liaison ´ equivalente doit avoir le mˆ eme comportement que l’ensemble des liaisons auquel elle se substitue.

Liaisons en parall` ele

S 1 S 2

L 1

L 2

L i

L n

S 1 S 2

L eq

Liaisons en s´ erie

S 1 S 2

S i

S j

L 1

L i

L j

S 1 S 2

L eq

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Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Liaisons cin´ ematiquement ´ equivalentes

Liaisons en s´ erie

Etude cin´ ´ ematique

On recherche le torseur cin´ ematique du mouvement du solide 2 par rapport au solide 1 :

n V _2/1 o

. En d´ ecomposant sur les solides interm´ ediaires on obtient :

n V _2/1 ^eq o

= n

V _2/(j) o +

n V _j/i o

+ · · · + n

V _i/1 o

(2)

S 1 S 2

S i

S j

L 1

L i

L j

S 1 S 2

L eq

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Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Liaisons cin´ ematiquement ´ equivalentes

Liaisons en s´ erie

Etude statique ´

On suppose les solides en ´ equilibre, on n´ eglige le poids des pi` eces, les actions ext´ erieures appliqu´ ees sur le solide S _n sont repr´ esent´ ees par le torseur d’action m´ ecanique {F _ext→n }.

Si on applique le PFS au solide S n , on peut donc ´ ecrire dans un cas comme dans l’autre :

S

₁

S

_n

S

i

S

j

L

1

L

i

L

j

{F

_ext→n

}

n A _(n−1)→n o

+ {F _ext→n } = {0}

S

1

S

n

L

_eq

{F

_ext→n

}

{A ^eq _1→2 } + {F _ext→n } = {0}

On en d´ eduit que {A ^eq _1→2 } = n

A _(n−1)→n o puis n A _(n−1)→n o

= n

A _{(n−2)→(n−1} o ,. . .

{A ^eq _1→2 } = n

A _(n−1)→n o

= · · · = n

A (n−3)→(n−2)

o = · · · = {A _1→2 }

(3)

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Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Liaisons cin´ ematiquement ´ equivalentes

Liaisons en parall` ele

Etude cin´ ´ ematique

L’ensemble des liaisons L i en parall` ele impose le mouvement du solide 2 par rapport au solide 1, n

V _2/1 o

repr´ esente ce mouvement.

n V _2/1 ⁱ o

, le torseur cin´ ematique de la liaison L i entre les deux solides S 1 et S 2 .

Chaque liaison L i ne peut que respecter le mouvement global du solide 2 :

n V _2/1 ⁱ o

= n V _2/1 o

La liaison ´ equivalente L _eq doit aussi respecter le mouvement global du solide 2 :

n V _2/1 ^eq o

= n V _2/1 o

d’o` u la condition que doit respecter le torseur de la liaison

´

equivalente : n V _2/1 ^eq o

= n V _2/1 ¹ o

= n V _2/1 ² o

= . . . n V _2/1 ⁱ o

= . . . n V _2/1 ⁿ o

(4)

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Mod´ elisation cin´ ematique

Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Liaisons cin´ ematiquement ´ equivalentes

Liaisons en parall` ele

Etude statique ´

Pour d´ eterminer la liaison ´ equivalente on isole le solide 2.

I Aux actions transmissibles par chaque liaison L i ; A ¹ _1→2 ,

A ² _1→2 , . . .,

A ⁱ _1→2 , . . ., {A ⁿ _1→2 } ;

I Aux autres actions ext´ erieures : {F _ext→2 }.

Le P.F.S s’´ ecrit donc : A ¹ _1→2 +

A ² _1→2 +· · ·+

A ⁱ _1→2 +· · ·+{A ⁿ _1→2 }+{F _ext→2 } = {0}

soit

n

P

i=1

A ⁱ _1→2 + {F _ext→2 } = {0}

La liaison ´ equivalente doit respecter le mˆ eme ´ equilibre : {A ^eq _1→2 } + {F _ext→2 } = {0}

On d´ eduit donc :

{A ^eq _1→2 } =

n

X

i=1

A ⁱ _1→2 (5)

(18)

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Mod´ elisation cin´ ematique

Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Liaisons cin´ ematiquement ´ equivalentes

R´ ecapitulatif

Etude cin´ ´ ematique ´ Etude statique

Liaisons en s´ erie

Somme des torseurs cin´ ematiques

n V _2/1 ^eq o

= n

V _2/(j) o + n V _j/i o

+ · · · + n V _i/1 o

´ Egalit´ e des torseurs des actions transmis- sibles

{A ^eq _1→2 } = n

A _(n−1)→n o

=

· · · = {A _1→2 }

Liaisons en paral- l` ele

Egalit´ ´ e des torseurs cin´ ematiques

n V _2/1 ^eq o

= n

V _2/1 ¹ o

=

· · · = n V _2/1 ⁱ o

= n V _2/1 ⁿ o

Somme des torseurs des actions transmis- sibles

{A ^eq _1→2 } =

n

P

i=1

A ⁱ _1→2

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Mod´ elisation cin´ ematique

Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Sommaire

Mod´ elisation cin´ ematique Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

Sch´ ematisation des m´ ecanismes Sch´ ema cin´ ematique

Sch´ ema cin´ ematique minimal

Sch´ ema technologique

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Mod´ elisation cin´ ematique

Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Repr´ esentation sch´ ematique des m´ ecanismes

Sch´ ema cin´ ematique

Le sch´ ema cin´ ematique d’un m´ ecanisme est un mod` ele filaire du m´ ecanisme utilisant les symboles normalis´ es des liaisons. Ce mod` ele est utile tant au niveau de la conception que de l’analyse ` a posteriori pour r´ ealiser l’´ etude cin´ ematique ou dynamique

(trajectoire, vitesse, efforts, etc.).

Quelques r` egles et conseils pour ´ etablir un sch´ ema cin´ ematique :

I Le sch´ ema peut ˆ etre r´ ealis´ e en une vue en perspective ou en plusieurs vues en projection. La position relative des liaisons doit ˆ etre respect´ ee (perpendicularit´ e, parall´ elisme,

alignement, orientation pr´ ecise, etc.) ;

I Les pi` eces sont dessin´ ees tr` es succinctement par un simple trait en g´ en´ eral qui relie les diff´ erentes liaisons ;

I On ne doit pas privil´ egier une position particuli` ere dans la repr´ esentation ;

I Le sch´ ema doit ˆ etre clair et permettre la compr´ ehension du m´ ecanisme ;

I Le sch´ ema cin´ ematique ne doit comporter que des pi` eces ind´ eformables (pas de ressort) ;

I Dans certain cas, une repr´ esentation plane peut suffire pour

d´ ecrire le m´ ecanisme.

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M´ ecanismes Papanicola

Mod´ elisation cin´ ematique

Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Repr´ esentation sch´ ematique des m´ ecanismes

Sch´ ema cin´ ematique minimal

Le sch´ ema cin´ ematique minimal est obtenu en rempla¸ cant si possible, les liaisons en s´ erie et ou en parall` ele par les liaisons normalis´ ees ´ equivalentes.

Le sch´ ema cin´ ematique minimal fait « disparaˆıtre » des

solides et des liaisons, il est ` a utiliser avec pr´ ecaution et

uniquement pour l’´ etude cin´ ematique et la compr´ ehension

cin´ ematique du m´ ecanisme. Il ne doit pas ˆ etre utilis´ e pour

r´ ealiser des calculs d’hyperstatisme ou des calculs d’effort

dans les liaisons.

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M´ ecanismes Papanicola

Mod´ elisation cin´ ematique

Liaisons normalis´ ees Chaˆınes de solides

´ equivalentes

Sch´ ematisation des m´ ecanismes

Repr´ esentation sch´ ematique des m´ ecanismes

Sch´ ema technologique

Il est parfois n´ ecessaire afin de mieux comprendre le fonctionnement d’un m´ ecanisme de compl´ eter le sch´ ema cin´ ematique en ajoutant des constituants technologiques tels les ressorts, les courroies, les clapets d’un circuit hydraulique, . . .

On peut aussi pr´ eciser la forme de certaines pi` eces et d´ ecomposer les liaisons en liaisons ´ el´ ementaires plus proche de la r´ ealisation technologique ainsi on repr´ esentera une liaison pivot r´ ealis´ ee par deux roulements par une liaison sph` ere–cylindre (lin´ eaire annulaire) et une liaison sph´ erique (rotule-)

Ce sch´ ema est alors appel´ e un sch´ ema technologique.