Physique avancée I 16 décembre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet
S´ erie 23 - Cin´ ematique relativiste
1. Transformations de Lorentz
a) V´erifier que les transformations de Lorentz impliquent l’invariance des intervalles d’espace- temps.
b) Calculer explicitement l’inverse de la transformation de Lorentz. Commenter.
c) On consid`ere un objet de centre de masseP au repos dans un r´ef´erentielR00 qui se d´eplace par rapport `a un r´ef´erentiel R0 avec une vitesse de norme u0 dans la direction ex. De plus, le r´ef´erentiel R0 se d´eplace avec une vitesse de norme u dans la direction ex par rapport `a un r´ef´erentiel R. Appliquer deux fois la loi de transformation des vitesses pour obtenir la norme de la vitesse v de R00 par rapport `a R.
2. Contraction relativiste d’une barre
Une barre de longueur l est immobile dans le r´ef´erentielR. Dans ce r´ef´erentiel, la barre fait un angle θ avec l’axe horizontal Ox. Un observateur se d´eplace selon l’axe Oxavec une vitesse de norme v < c.
a) Quelle doit ˆetre la vitesse v de l’observateur par rapport `a la barre pour que dans le r´ef´erentiel au repos de l’observateur R0, celui-ci voie la barre faire un angle θ0 avec l’axe horizontal Ox?
b) Quelle condition doivent satisfaire les angles θ etθ0 lorsque 0< θ < π2 ? 3. El´ement d’hypervolume
Une petite boˆıte parall´el´epip´edique rectangle se d´eplace `a une vitesse de normev constante dans la direction ex pendant un intervalle de temps infinit´esimal ∆t par rapport au r´ef´erentiel R du laboratoire. Les dimensions spatiales de la boˆıte sont (∆x,∆y,∆z) dans le r´ef´erentiel R du laboratoire et (∆x0,∆y0,∆z0) dans le r´ef´erentiel R0 o`u la boˆıte est au repos.
a) A l’aide de la transformation de Lorentz inverse et de l’invariance des intervalles d’espace- temps, montrer que l’´el´ement d’hypervolume (en 4D) dans l’espace-temps est un invariant, i.e.
c∆t∆x∆y∆z =c∆t0∆x0∆y0∆z0 .
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