Les fonctions
Exercice 1
f est la fonction d´efinie surRparxÞÑ2x2. a)Calculer les images par f des r´eels 0 ;
?
2 ; -4.
b)V´erifier que
?
2 et -
?
2 ont pour image 4.
c) Pourquoi -4 n’est-il l’image d’aucun r´eel ? d)Quels sont les r´eels qui ont 5
4 pour image par f ?
Exercice 2
f est la fonction d´efinie surRpar : xÞÑx2 3x 1 a)Calculer les images par f des r´eels 0 ; 1 ; -
?
3 ; 12. b)Trouver tous les r´eels qui ont pour image 1 par f.
Exercice 3
a)Quel est l’ensemble de d´efinition de la fonctionxÞÑx? b) Quel est le r´eel pour lequel on ne peut pas calculer 1
x? Donnez alors l’ensemble de d´efinition de la fonctionxÞÑ 1
x .
c) Quels sont les r´eels pour lesquels on peut calculer ?x? Donnez alors l’ensemble de d´efinition de la fonctionxÞÑ
?
x.
d)Compl´eter les phrases :
” Pour calculer 1
?
x , on commence par calculer?x; il faut donc quex...
Puis on calcule son inverse 1
?
x; il faut donc que?x0, doncx... ” Donner l’ensemble de d´efinition de la fonction xÞÑ 1
?
x .
Exercice 4 - Location de voiture
Une agence propose deux types de contrat de location d’une voiture pour une journ´ee :
Premier type : 200 francs de forfait et 1 franc par kilom`etre.
Deuxi`eme type : 100 francs de forfait et 1,50 franc par kilom`etre.
Pour x kilom`etres parcourus, le prix `a payer est not´e f1(x) pour le premier type de contrat, et f2(x) pour le second.
a)Donner les expressions de f1(x) et f2(x). Construire dans un mˆeme rep`ere les repr´esentations graphiques de ces fonctions pour x compris entre 0 et 500.
b)Indiquer, en utilisant le graphique, le type de contrat le plus avantageux suivant le nombre de kilom`etres parcourus.
c) Retrouver et pr´eciser ces r´esultats par le calcul.
Exercice 5 - G´eom´etrie
On dispose d’un carr´e de m´etal de 20cm de cˆot´e. Pour fabriquer une boˆıte parall´el´epip´edique, on enl`eve `a chaque coin un carr´e de cˆot´e a et on rel`eve les bords par pliage.
a) Exprimer le volume V = f(a) de cette boˆıte en fonction de a.
b)Les r´eels -1 et 2,3 sont-ils dans l’ensemble de d´efinition de cette fonction f ?
Correction
Exercice 1
a) Pour tout xPR,fpxq2x2 fp0q200
fp
?
2q2p
?
2q2224 fp4q2p4q221632 b)
fp
?
2q2p
?
2q2224 fp
?
2q2p
?
2q2224 On a donc bien fp
?
2qfp
?
2q
c)La fonction f associe `a tout r´eelxun r´eel ´egal `a 2x2. Or un carr´e est toujours positif, donc -4 ne peut ˆetre l’image d’aucun r´eelxpar la fonction f.
d)On cherche lesxtels quefpxq 5 4 fpxq5
4 ðñ2x25 4
Il faut donc r´esoudre l’´equation 2x25 4 2x2 5
4 x25
8 x
5
8 oux
5 8 x
5
24 oux
5 24 x 1
2
5
2 oux1 2
5 2
Exercice 2
a) Pour tout r´eelx,fpxqx2 3x 1 fp0q02 30 11
fp1q12 31 15 f
?
3
?
3
2
3
?
3
133
?
3 143
?
3 f
1 2
1 2
2
31
2 1 1
4 3
2 1 1
4 6 4
4 4
11 4 b)On cherche tous les r´eels xtels que fpxq1
fpxq1ðñx2 3x 11 R´esolvons donc cette ´equation : x2 + 3x + 1 = 1
x2 + 3x = 0 x (x + 3) = 0
x = 0 ou x = -3
Exercice 3
a) La fonction f :xÞÑxest d´efinie pour toutxr´eel. On a donc :
Df =R
b)Le r´eel 1
x ne peut pas ˆetre calcul´e pourx0. L’ensemble de d´efinition de la fonction f :xÞÑ 1
x est donc :
Df = ] -8; 0 [Y] 0 ; +8[
c) On peut calculer?xpour tout r´eelx¥0. L’ensemble de d´efinition de la fonction f :xÞÑ
?
xest donc :
Df= [ 0 ; +8[
d)Pour calculer 1
?
x, on commence par calculer?x; il faut donc quexsoit positif ou nul. Puis on calcule son inverse 1
?
x; il faut donc que?x0, doncxdoit ˆetre strictement positif.
La fonction f :xÞÑ 1
?
x est donc d´efinie sur ] 0 ; +8[.
Exercice 4
a) Soit x le nombre de kilom`etres effectu´es. Soit f(x) le prix total en francs.
f1(x) = Prix Forfait + Prix Kilom´etrage
f1(x) = Prix Forfait + Prix au Kilom`etreNombre de Kilom`etres f1(x) = 200 + x
De la mˆeme mani`ere : f2(x) = 100 + 1,50x b)Raisonnement graphique
Jusqu’`a 200 km, c’est le contrat 2 qui est le plus avantageux (la droite de f2(x) est en dessous ce celle de
A partir de 200 km, c’est le contrat 1 qui devient plus avantageux (la droite de f1(x) est en dessous de celle de f2(x)).
c) Raisonnement par le calcul
Dans quel intervalle de x a-t-on f1(x) f2(x) (contrat 1 plus avantageux) ? f1pxq f2pxq
f1pxqf2pxq 0
p200 xqp100 1,5xq 0 200 x1001,5x 0 1000,5x 0
0,5x¡100 x¡ 100
0,5 x¡200
On voit donc bien que le contrat 1 est plus avantageux que le deux pour x ¡ 200 (distance parcourue sup´erieure `a 200km)
Pour montrer que f2(x) est plus avantageux que f1(x) pour x 200, on proc`ede de la mˆeme fa¸con que pr´ec´edemment.
Exercice 5
a) Le volume de la boˆıte parall´el´epip´edique est donn´e par : V = L lh
avec L = l = 20 - 2a et h = a V = a.(20 - 2a)2
V = a.(202 - 2 202a + (2a)2) V = 4a3 - 80a2 + 400a
b)a ´etant une longueur, on ne peut pas avoir a 0. Donc -1 n’est pas dans l’ensemble de d´efinition de V = f(a)
De mˆeme, d’un point de vue ”physique”, a ne peut pas ˆetre sup´erieur `a 10 cm. 2,3 appartient donc `a l’en- semble de d´efinition de V = f(a)
L’ensemble de d´efinition de V = f(a) est :
Df= ]0 ; 10[
