Partie C – Fonctions de carr´ e int´ egrable

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Probl` eme – Sur le calcul des variations

On consid`ere un intervalleI d’int´erieur non vide, et un ensembleE de fonctions f :I→R. On se donne une applicationJ :E→Rd´efinie au moyen d’une int´egrale faisant intervenirf et ses d´eriv´ees. L’objectif de ce probl`eme est d’´etudier le minimum ´eventuel de f surE :

min

f∈EJ(f),

et de d´eterminer, dans certains cas particuliers, les pointsf deE en lesquelsJ atteint son minimum.

On noteE_a,b^k l’ensemble des fonctionsf : [0,1]→Rde classeC^k telles quef(0) =aetf(1) =b.

Partie A – Un lemme de du Bois-Reymond

A.1On consid`ere le polynˆomeP = (1−X²)³. CalculerP^(k)(1) pour toutk∈[[0,3]].

Indication :afin d’´eviter de laborieux calculs, on pourra s’aider de la formule de Taylor (pour les polynˆomes).

A.2On consid`ere la fonctionh :R→Rd´efinie parh(t) = (1−t²)³si|t|61 eth(t) = 0 sinon. Montrer que h∈ C²(R,R) et repr´esenter son graphe. La fonctionhest-elle de classeC³ surR?

A.3 Soit x0, x1 des nombres r´eels tels que x0 < x1. Construire `a partir de h une fonction g ∈ C²(R,R) v´erifiantg(x)>0 pour toutx∈]x0, x1[ etg(x) = 0 ailleurs.

A.4 SoitF ∈ C⁰([0,1],R) telle queR1

0 F(x)u(x)dx= 0 pour tout u∈E²_0,0. D´emontrer qu’alorsF est nulle (lemme de du Bois-Reymond).

Partie B – Une condition n´ ecessaire d’Euler-Lagrange

Dans cette partie, on prendE=E_a,b² pour un couple donn´e (a, b) de nombres r´eels. La fonctionJ est d´efinie surE par la formule

J(f) = Z 1

0

(P(f(x)) +Q(f⁰(x))) dx, o`uP, Q∈R[X] sont des polynˆomes fix´es.

Soitf₀ ∈E. On se propose de prouver que si J(f₀)6J(f) pour tout f ∈E, alorsf₀ v´erifie une certaine

´equation diff´erentielle. Soitu∈E_0,0² . B.1

a Montrer que l’applicationqd´efinie surRpar la formule q(t) =J(f₀+tu)

est polynomiale, c’est-`a-dire qu’il existe une famille finie (a₀, . . . , a_r) de r´eels telle que q(t) =Pr

k=0a_kt^k pour tout r´eelt.

Indication : on pourra utiliser la formule de Taylor (pour les polynˆomes).

bExpliciter le coefficienta₁ sous la forme d’une int´egrale faisant intervenir les polynˆomes d´eriv´esP⁰ et Q⁰.

B.2 On suppose que pour tout f ∈ E, J(f0) 6 J(f). Montrer qu’alors a1 = 0 et en d´eduire l’´equation diff´erentielle

∀x∈[0,1], P⁰(f₀(x)) = d

dx(Q⁰(f₀⁰(x))) = (Q⁰◦f₀⁰)⁰(x).

B.3On choisit dans cette questionE=E_0,1² et J =J1d´efinie parJ1(f) =R1

0(f⁰(x))²dx.

aFormer l’´equation diff´erentielle ∆ correspondante. Parmi ses solutions, pr´eciser celles qui appartiennent

` aE_0,1² .

b Montrer que J1 admet un minimum sur E_0,1² , pr´eciser sa valeur ainsi que les points de E_0,1² o`u ce minimum est r´ealis´e.

Indication : on pourra s’aider de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz.

B.4On choisit dans cette questionE=E_0,0² et J =J2d´efinie par

J₂(f) = Z 1

0

(f⁰(x))²+ (f⁰(x))³dx.

a Former l’´equation diff´erentielle ∆ correspondante. Parmi ses solutions, montrer que seule la fonction nulle appartient `a E_0,0² .

bMontrer queJ2 n’admet pas de minimum surE_0,0² .

Indication : on pourra consid´erer, pourλr´eel,J2(λf), o`uf :x∈[0,1]7→x²(1−x).

Partie C – Fonctions de carr´ e int´ egrable

Soit f une fonction continue positive de R+ dans R. On dit que f est int´egrable (sur R+) si la fonction croissanteI_f :x7→Rx

0 f(t)dtadmet une limite finie en +∞, qui est alors not´ee R+∞

0 f(t)dt.

On peut observer que f est int´egrable si et seulement si I_f est major´ee, si et seulement siI_f ne tend pas vers +∞en +∞.

C.1 Soit f ∈ C⁰(R+,R) positive et int´egrable. Montrer que f n’est pas minor´ee par un r´eel strictement positif au voisinage de +∞.

C.2Soitf, g∈ C⁰(R+,R).

a On supposegint´egrable et 06f 6g. Montrer quef est int´egrable.

bOn supposef etg int´egrables. Montrer quef+g est int´egrable.

C.3Soitf une fonction continue deR+ dansR. On dit que f est int´egrable (sur R+) si |f|l’est. On pose f₊= max(f,0) etf₋= min(f,0) (on a doncf =f₊+f₋).

Montrer quef est int´egrable si et seulement si les fonctions positivesf₊et−f₋ le sont. En d´eduire que sif est int´egrable, alorsRx

0 f(t)dt admet une limite finie lorsquextend vers +∞(qui est alors not´eeR+∞

0 f(t)dt).

On note, pour tout p ∈ N^∗, L^p l’ensemble des fonctions f, continues de R+ dans R, telles que f^p soit int´egrable surR+.

Pourf ∈L², on pose :kfk= qR+∞

0 (f(t))²dt.

C.4Montrer queL¹ est unR-espace vectoriel.

C.5

a Soitf, g∈L². Montrer quef g∈L¹. bMontrer queL² est unR-espace vectoriel.

Partie D – Un exemple avec d´ eriv´ ee seconde

Dans cette partie,Ed´esigne l’ensemble des fonctionsf ∈ C⁴(R+,R) telles quef²et (f⁰⁰)²soient int´egrables surR+, et la fonctionJ est d´efinie par

J(f) = Z +∞

0

(f(x))²−(f⁰(x))²+ (f⁰⁰(x))² dx.

On introduit une fonctionψd´efinie par, pour tout r´eel t:

ψ(t) =e^−t/2sin t

√3 2 −π

3

! .

D.1Montrer queψ∈E.

On consid`eref ∈E.

D.2

aMontrer quef f⁰⁰ est int´egrable surR+, et quef(x)f⁰(x)ne tend pasvers +∞quandxtend vers +∞.

bEn d´eduire quef⁰ ∈L², puis quef(x)f⁰(x) tend vers 0 lorsquextend vers +∞.

D.3

a Montrer que pour toutA∈R^∗+: Z A

0

(f(x))²−(f⁰(x))²+ (f⁰⁰(x))² dx=

Z A

0

(f(x) +f⁰(x) +f⁰⁰(x))²dx+ (f(0) +f⁰(0))²−(f(A) +f⁰(A))².

bMontrer que (f(A) +f⁰(A))²tend vers une limite finie lorsqueA tend vers +∞, puis que cette limite est nulle.

cEn d´eduire que

J(f) = (f(0) +f⁰(0))²+ Z +∞

0

(f(x) +f⁰(x) +f⁰⁰(x))²dx.

d Montrer que J admet 0 pour minimum, et que l’ensemble des fonctions (de E) o`u ce minimum est atteint est{λψ, λ∈R}.