Analyse hilbertienne et de Fourier, examen de rattrapage du 26 juin 2009
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— Premi`ere partie — On d´efinit une fonctionf sur Ren posant
f(x) = 1− |x|/2 si |x| ≤2, et f(x) = 0 si |x|>2.
a.Tracer le graphe de f. V´erifier que la fonctionf est int´egrable surR. Montrer la transform´ee de Fourierfbest donn´ee par
∀y∈R\ {0}, fb(y) = 2(siny)2
y2 , et f(0) = 2.b V´erifier quefbest de classe C1 surR, et montrer que l’int´egrale
I1= Z
R
(bf)0(y) dy est finie.
b.On donneλ >0 et on pose
∀x∈R, fλ(x) =f(x/λ), gλ(x) = 2f2λ(x)−fλ(x).
Tracer le graphe defλ et degλ. Calculer les transform´ees de Fourier defλ etgλ. On pose
∀x∈R, hλ(x) = 1
2πgbλ(x).
V´erifier quehλ est d´erivable ; montrer que la d´eriv´ee h0λ est int´egrable sur R et majorer kh0λk1
en fonction deλ et de I1.
c. On consid`ere une fonction ϕ, continue, int´egrable surRet telle que ϕ(x) = 0 pour toutb x tel que|x|>2λ. D´eterminer la transform´ee de Fourier dehλ et montrer que
ϕ=ϕ∗hλ. En d´eduire queϕest d´erivable sur Ret que
kϕ0k1≤ 5I1
2π λkϕk1.
— Deuxi`eme partie — Pour toutt >0, on d´efinit la fonctionft surR par
∀x∈R, ft(x) = e−tx2/(4π).
a.V´erifier que ft est int´egrable surRet calculer sa transform´ee de Fourier.
b.Montrer que la s´erie num´erique
X
k∈Z
ft(x+ 2πk)
converge pour toutx r´eel ; montrer que la s´erie converge uniform´ement quand on se restreint `a x∈[0,2π]. Montrer que la formule
gt(x) =X
k∈Z
ft(x+ 2πk) d´efinit une fonction gt continue et 2π-p´eriodique surR.
c. Calculer les coefficients de Fourier (cn(gt))n∈Z de la fonctiongt. En d´eduire que X
k∈Z
e−πk2t = 1
√t X
n∈Z
e−πn2/t.
Rappels.
Si 1≤p <+∞, l’espace Lp(Ω,A, µ) est l’espace vectoriel des (classes de) fonctions f r´eelles ou complexesA-mesurables sur Ω telles queR
Ω|f|pdµ <+∞; la norme est d´efinie par
∀f ∈Lp(Ω,A, µ), kfkp=Z
Ω|f(ω)|pdµ(ω)1/p
. Dans le cas deR, muni de la mesure de Lebesgue, on ´ecrit simplement Lp(R).
Transformation de Fourier
La transformation de Fourier est d´efinie sur l’espace L1(R) en associant `a toute fonction f int´egrable surRla fonction fbd´efinie par
∀y∈R, fb(y) = Z
R
f(x) e−ixy dx.
Quand f ∈ L1(R), la fonction fb est continue, et elle est born´ee par kfk1. Pour la fonction gaussiennef(x) = e−x2/2, on trouve que
∀y ∈R, fb(y) =√
2πe−y2/2.
Quandf est continue surRet quef etfbsont int´egrables, on a la formuled’inversion de Fourier
∀x∈R, f(x) = 1 2π
Z
R
fb(y) eixy dy.
Sif etx→xf(x) sont int´egrables surR, la transform´ee de Fourierfbest d´erivable, et sa d´eriv´ee est la transform´ee de Fourier dex→ −ixf(x).
Quandf etg sont dans L1(R), la convolution f∗g est d´efinie pour presque toutx par (f ∗g)(x) =
Z
R
f(x−t)g(t) dt;
la fonctionf∗g est int´egrable surRet sa transform´ee de Fourier est ´egale au produit de fbetg.b L’espace L2(R) est un espace de Hilbert, muni du produit scalaire d´efini par
∀f, g∈L2(R), hf, gi= Z
R
f(x)g(x) dx.
Lorsque g ∈ L2(R), la transform´ee de Fourier Fg ∈ L2(R) est la limite dans L2(R) de la suite (gbn) des transform´ees de Fourier des fonctions int´egrables gn =1[−n,n]g. Si g est `a la fois dans L1(R) et dans L2(R), on aFg=bg presque partout. La relation de Parseval affirme que
∀g1, g2∈L2(R), hFg1,Fg2i= 2πhg1, g2i. L’applicationF est lin´eaire continue de L2(R) dans L2(R).
S´eries de Fourier
Sif est une fonction int´egrable sur [−π, π], on d´efinit sescoefficients de Fourier (cn)n∈Z, (an)n>0
et (bn)n>1 en posant cn(f) =
Z π
−π
f(t) e−int dt
2π ; an= 1 π
Z π
−π
f(t) cos(nt) dt; bn = 1 π
Z π
−π
f(t) sin(nt) dt.
Les sommes de Fourier de la fonction f sont donn´ees pour tout entier n≥0 par (Snf)(x) =
Xn k=−n
ck(f) eikx= a0
2 + Xn k=1
akcos(kx) +bksin(kx) . Sif est 2π-p´eriodique continue surRet si
X
n∈Z
|cn(f)|<+∞, alors f(x) =X
n∈Z
cn(f) einx pour toutx∈R.
