or t 7→ t12 est int´egrable sur [1

(1)

2017-2018 M1EEF – UGA

DM – Corrig´e

Problème : Échanges de limites et d’intégrales

Pr´eliminaires

1. Fonction Gamma d’Euler a. Soit x >0.

• t7→e^−tt^x−1 estC⁰ donclocalement int´egrable sur ]0,+∞[.

• e^−t−−→

t→0 1 donce^−tt^x−1 ∼

t→0⁺ t^x−1 ; ort7→t^x−1 = _t1−x¹ est intégrable sur ]0,1] car 1−x <1 (intégrales de Riemann), donc, par critère de comparaison, t7→e^−tt^x−1 l’est aussi.

• e^−tt^x+1 −−−−→

t→+∞ 0 (croissances compar´ees), donc e^−tt^x−1 =

t→+∞ o(_t¹2) ; or t 7→ _t¹₂ est int´egrable sur [1,+∞[ (Riemann) donc par domination,t7→e^−tt^x−1 l’est aussi.

Finalement, t 7→ e^−tt^x−1 est int´egrable sur ]0,+∞[. Γ(x) = ^R₀^+∞e^−tt^x−1dt est donc bien d´efini pour tout x∈]0,+∞[.

b. Soit x > 0. Alors x + 1 > 0 donc Γ(x + 1) est bien d´efini et vaut ^R₀^+∞e^−tt^xdt = lim ^→0

A→+∞

RA

e^−tt^xdt. Les fonctionst7→t^x ett7→ −e^−tsontC¹ sur ]0,+∞[, de d´eriv´ees respec- tives t7→xt^x−1 ett7→e^−t. On peut donc effectuer l’IPP suivante, pour tous 0< ε≤A∈R:

Z A

e^−tt^xdt= [−e^−tt^x]^A − Z A

(−e^−txt^x−1)dt=−e^−AA^x

| {z }

−−−−−→

A→+∞ 0

+ e⁻^x

| {z }

−−−−−→

ε→0 carx >0

0

+x Z A

e^−tt^x−1dt

| {z }

−−−−→

A→+∞

−→0

Γ(x)

,

et par identification des limites des membres de gauche et de droite, on obtient Γ(x+1) =xΓ(x).

En particulier, par une r´ecurrence imm´ediate, pour tout n∈N^∗, Γ(n) = (n−1)! Γ(1). Or Γ(1) =

Z +∞

0

e^−tdt= lim

A→+∞[−e^−t]^A₀ = 1− lim

A→+∞e^−A= 1, donc

∀n∈N^∗, Γ(n) = (n−1)!

2. Fonction zˆeta de Riemann

a. Soit x >1 etn∈N^∗. La fonction t7→ _t¹x est strictement d´ecroissante sur ]0,+∞[ donc pour tout k≥n, pour tout t∈[k, k+ 1],

1

(k+ 1)^x ≤ 1 t^x et par croissance de l’int´egrale,

1 (k+ 1)^x =

Z k+1 k

dt (k+ 1)^x ≤

Z k+1 k

dt t^x ce qui entraˆıne, par sommation sur k allant den `aN ≥n:

N

X

k=n

1 (k+ 1)^x ≤

N

X

k=n

Z k+1 k

dt t^x =

(Chasles)

Z N+1 n

dt t^x =

ñ 1

(1−x)t^x−1 ôN+1

n

= 1

1−x

Ç 1

(N+ 1)^x−1 − 1 n^x−1

å

(2)

d’o`u, par passage `a la limite quandN tend vers +∞: Rn(x)≤ 1

(x−1)n^x−1 Ç

= Z +∞

n

dt t^x

å .

b. On cherche une valeur denpour laquelle ^Pⁿ_k=1_k¹p −ζ(p)=Rn(p)≤. D’après la question précédente, il suffit pour cela que _(p−1)n¹ p−1 ≤ , c’est-à-dire que n ≥ _(p−1)¹

1

p−1 (p ≥ 2).

Commen doit en outre ˆetre entier, une valeur convenable pourn est ñ

1 (p−1)

_p−1¹ ô

+ 1, où [.] désigne l’application partie entière.

c. D’après la question b. appliquée à p= 7 et= 9.10⁻⁷, pour n= 8 (calculatrice), 0≤ζ(7)−

n

X

k=1

1

k⁷ ≤0,9×10⁻⁶. Or ^P⁸_k=1_k¹7 = 1.0083488 à 10⁻⁷ près par défaut (calculatrice) donc

1.0083488≤ζ(7)≤1.0083489 + 0,9×10⁻⁶ = 1.0083498 doncζ(7)'1.008349 `a 10⁻⁶ pr`es.

Premi`ere partie : suites de fonctions

3. Th´eor`eme de convergence uniforme pour les suites de fonctions

Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions continues sur le segment [a, b] convergeant uniformément vers la fonction f sur [a, b]. Théorème : la limite uniforme sur un intervalle I d’une suite de fonctions continues sur I est elle aussi continue sur I. f est donc elle aussi continue sur le segment [a, b], donc l’intégrale ^R_a^bf(x)dx est bien définie (finie). De plus, par convergence uniforme, pour toutnà partir d’un certain rang,f−f_nest bornée sur [a, b] (ceci est en fait vrai pour toutn car les fonctions f−f_n sont continues sur le compact [a, b] donc bornées sur [a, b]) et

Z b a

f(x)dx− Z b

a

f_n(x)dx

≤ Z b

a

|f(x)−f_n(x)|dx≤ Z b

a

kf−f_nk_∞dx=kf−f_nk_∞(b−a) →

n→∞0 (par convergence uniforme de (f_n)n∈N versf). La suite de r´eels^Ä^R_a^bf_n(x)dx^ä

n∈Nconverge donc vers le r´eel^R_a^bf(x)dx.

4. Exemples et contre-exemples

a. Pour tout entiern≥2, d´efinissonsf_n: [0,1]→Rpar

fn(x) =











n²x si x∈[0,_n¹]

n²(_n² −x) si x∈]_n¹,²_n[ (et en fait six∈[_n¹,²_n]) 0 si x∈[²_n,1]

(plus simplement, il s’agit de la fonction croissant de 0 à n sur [0,¹_n], décroissant de nà 0 sur [¹_n,_n²] et identiquement nulle sur [_n²,1]).

• f_n est bien affine par morceaux.

(3)

• La restriction de f_n à [0,_n¹], [¹_n,_n²] et [²_n,1] respectivement est continue car affine. La continuité de fn sur [0,1] en découle (en tout point de [0,1], les limites defn à gauche et

`

a droite existent et co¨ıncident avec la valeur de f en ce point) .

• (f_n)n≥2 converge simplement vers la fonction f identiquement nulle sur [0,1]. En effet, pour tout x∈[0,1], soitx= 0, et alors f_n(x) =f_n(0) = 0 pour tout n≥2, soit x >0 et alors il existe n0 tel que pour tout n≥n0, _n² ≤ _n²

0 < xet donc fn(x) = 0.

• En revanche, (fn)n≥2 ne converge pas uniform´ement vers f car pour tout n ≥ 2, kf_n− fk_∞=kf_nk_∞=n90.

• Pour toutn≥2,^R₀¹f_n(x)dx= 1 (aire du triangle isoc`ele de base _n² et de hauteurn), donc ÄR1

0 fn(x)dx^ä_n≥2 ne converge pas vers ^R₀¹f(x)dx= 0.

b. On peut considérer les fonctions continuesfn :x∈[0,1]7→xⁿ. Pour tout x∈[0,1[, la suite (f_n(x))_nconverge vers 0, et pourx= 1, elle est constante égale à 1. La suite (f_n)_nconverge donc simplement vers la fonctionf nulle sur [0,1[ et valant 1 en 1. Cette fonction étant discontinue, la convergence ne peut être uniforme. Néanmoins, on a

Z 1 0

f_n= 1

n+ 1 −−−−−→

n→+∞ 0 = Z 1

0

f.

5. Cas d’un intervalle quelconque

a. Pour tout n ≥ 1, fn : x 7→ ^xⁿ_n!ê^−x est positive, dérivable sur [0,+∞[ comme produit de fonctions dérivables, et pour tout x∈[0,+∞[,

f_n⁰(x) = nxⁿ⁻¹e^−x−xⁿe^−x

n! = xⁿ⁻¹e^−x(n−x) n!

(≥0 si x∈[0, n]

≤0 si x∈[n,+∞[

Ainsi, kf_nk∞=f_n(n) = ⁿⁿ_n!^e⁻ⁿ ∼

n→+∞

√1

2πn d’apr`es la formule de Stirling, donckf_nk∞ →

n→+∞0, ce qui signifie que (fn)n≥1 converge uniformément vers la fonction nulle. En revanche, d’après les préliminaires, pour toutn∈N^∗,

Z +∞

0

f_n(x)dx= Γ(n+ 1)

n! = 190 = Z +∞

0

0dx.

Le TH 1 n’est donc pas vrai si on remplace [a, b] par un intervalleI non born´e.

b.i. La suite (f_n) convergeant uniform´ement vers f sur I, il existe p tel que pour tout n ≥p, (et en particulier pourn=p), f_n−f est born´ee sur I et

sup

x∈I

|f(x)−fn(x)|<1 et a fortiori ∀x∈I, |f(x)| − |f_n(x)|<1, i.e.|f(x)|<|f_n(x)|+ 1.

f, qui est continue surI comme limite uniforme de fonctions continues surI, est donc en outre majorée (en valeur absolue) par la fonctionx7→1+|f_p(x)|qui est intégrable surIcomme somme de fonctions intégrables sur I (|f_p|est intégrable sur I par hypothèse, et x 7→ 1 est intégrable sur I carI est borné, d’intégralel(I)). f est donc intégrable sur I.

b.ii. La preuve est identique `a celle du 3, en rempla¸cant [a, b] par I et b−aparl(I).

6. Théorème de convergence dominée pour les suites de fonctions

a. Les fonctions f_n étant continues par morceaux sur I, leur intégrabilité sur I découle par théorème de comparaison de leur majoration (en valeur absolue) par la fonction ϕ intégrable sur I. Il en est de même pourf. En effet, pour toutx∈I,

∀n∈N, |f_n(x)| ≤ϕ(x) donc |f(x)|=| lim

n→+∞fn(x)|= lim

n→+∞|f_n(x)| ≤ϕ(x).

(4)

b.i. On peut reprendre l’exemple 4.b. On a vu que la suite de fonctions continues (f_n)n∈N

convergeait simplement mais pas uniformément vers la fonctionf nulle sur [0,1[ et valant 1 en 1, qui est continue par morceaux. On a montré par le calcul que la suite de réels^Ä^R₀¹f_n(x)dx^ä

n∈N

convergeait néanmoins vers 0 =^R₀¹f(x)dx. On aurait également pu déduire ce fait du TH 2, puisque pour tout n∈N^∗, pour tout x ∈[0,1], |f_n(x)| ≤1, et la fonction x 7→1 est intégrable sur le segment [0,1].

b.ii. Soit I = [0,+∞[, f_n(x) = ^e^sin(

nx)

1+x² pour tout (n, x) ∈ N^∗ ×I, ϕ : x ∈ I 7→ _1+x^e₂ et f :x∈I 7→ _1+x¹ ₂.

• Pour tout n∈N^∗,f_n est continue surI (par opérations élémentaires et non annulation de x7→1 +x² sur I) ;

• f_n converge simplement vers f (qui est elle aussi continue) sur I car pour tout x ∈ I,

x

n →

n→∞ 0 donc par continuit´e de sin en 0, sin(^x_n) →

n→∞ sin(0) = 0 et par continuit´e de exp en 0,e^sin(^xⁿ⁾ →

n→∞e⁰ = 1, donc fn(x) = ^e^sin(

nx)

1+x² →

n→∞

1

1+x² =f(x) ;

• ϕest continue, positive et int´egrable sur I (d’int´egrale e×[arctan]^+∞₀ =e^π₂) ;

• ∀x∈I,|sin(^x_n)| ≤1 donc par croissance de exp,|f_n(x)| ≤ _1+x^e ₂ =ϕ(x).

Alors d’après le TH 2, f est intégrable sur I (on le savait déjà) et ^R₀^+∞ê^sin(

xn)

1+x² dx

n∈N^∗

= ÄR+∞

0 fn(x)dx^ä_n∈

N^∗ converge vers ^R₀^+∞f(x)dx=^R₀^+∞_1+x^dx2 = ^π₂.

Deuxi`eme partie : s´eries de fonctions

7. Théorème de convergence uniforme pour les séries de fonctions

Soit^P_n∈_Nfnune série de fonctions continues sur le segment [a, b] qui converge uniformément sur [a, b]. Pour tout n ∈ N, notons S_n la fonction ^Pⁿ_k=0f_k, continue sur [a, b] comme somme (finie) de fonctions continues. Par hypothèse, la suite (S_n)n∈Nconverge uniformément sur [a, b].

On note S sa limite, qui est continue sur [a, b] comme limite uniforme de fonctions continues.

(S_n)n∈N converge uniform´ement donc a fortiori simplement vers S, donc pour tout x ∈ [a, b], S(x) = limn→+∞S_n(x) = limn→+∞Pn

k=0f_k(x). Autrement dit pour tout x ∈ [a, b], la s´erie (num´erique)^P_k∈_Nf_k(x) converge, et^P^+∞_k=0f_k(x) =S(x).

Ainsi, la suite de fonctions (S_n)n∈Nsatisfait bien les hypoth`eses duTH 1, donc (^R_a^bS_n(x)dx)n∈N

converge vers ^R_a^bS(x)dx. Or par linéarité de l’intégrale (de fonctions continues sur un segment), pour tout n∈ N, ^R_a^bS_n(x)dx=^R_a^b(^Pⁿ_k=0f_k(x))dx=^Pⁿ_k=0^Ä^R_a^bf_k(x)dx^ä. Donc la série Pn≥0

Rb

af_n(x)dxconverge et sa somme v´erifie

+∞

X

n=0

ÇZ b a

f_n(x)dx å

= Z b

a

S(x)dx= Z b

a +∞

X

n=0

f_n(x)

! dx.

8. Applications : séries trigonométriques et séries de Fourier

La manipulation de séries entières et trigonométriques est l’occasion de nombreux abus de notations (y compris dans les manuels et les sujets) dont le plus fréquent consiste à utiliser la même notation pour la série numérique ^P_nanxⁿ (resp. ^P_n(ancos(nx) +bnsin(nx))) pour un x fixé et la série de fonctions ^P_n(x 7→a_nxⁿ) (resp. ^P_n(x 7→ a_ncos(nx) +b_nsin(nx))), ce que l’on n’écrit jamais... Pour y remédier (la disctinction entre ces deux objets étant cruciale dans ce sujet), nous noterons dorénavant en (resp. cn, sn), pour tout entier naturel n, la fonction x7→xⁿ (resp. x7→cos(nx) et x7→sin(nx)) de R dansR.

(5)

a. Si une série trigonométriqueâ₂⁰c₀+^P_n≥1a_nc_n+b_ns_n(à coefficients réels) est la série de Fourier d’une fonction f à valeurs réelles (sous-entendu par l’énoncé je pense) continue par morceaux et 2π-périodique surRalors d’après le théorème de Parseval, la série numérique ^P_n≥1(a²_n+b²_n) converge et

1 2π

Z 2π 0

|f(t)|²dt= a²₀ 4 + 1

2

+∞

X

n=1

(a²_n+b²_n).

Or la série trigonométrique considérée a pour coefficients (an)n∈N = (0)n∈N et (bn)n∈N^∗ = (^√¹_n)n∈N^∗, pour lesquels (a²_n +b²_n)n∈N^∗ = (¹_n)n∈N^∗ n’est pas sommable (série harmonique), donc cette série trigonométrique ne peut être la série de Fourier d’une fonction f continue par morceaux et 2π-périodique sur R.

b. Soit â₂⁰c₀+^P_n≥1a_nc_n+b_ns_n une série trigonométrique convergeant uniformément sur R. Notons f sa limite. f est continue sur R comme limite uniforme de fonctions continues sur R et 2π-périodique comme limite simple (car uniforme) de la suite de fonctions 2π-périodiques

a0

2 c0+^Pⁿ_k=1a_kc_k+b_ks_k_n∈

N^∗. Vérifions que â₂⁰c0+^P_n≥1ancn+bnsnest la série de Fourier de f, c’est-à-dire que

∀p∈N, a_p =a_p(f) = 1 π

Z 2π 0

f(t) cos(pt)dt et ∀p∈N^∗, b_p =b_p(f) = 1 π

Z 2π 0

f(t) sin(pt)dt.

Soit p∈N. Par d´efinition def, a_p(f) = 1

π Z 2π

0

f(t) cos(pt)dt= 1 π

Z 2π 0

a₀ 2 +

+∞

X

n=1

a_ncos(nt) +b_nsin(nt)

!

cos(pt)dt

= a0

2π Z _2π

0

cos(pt)dt

| {z }

2πδ0,p

+1 π

Z _2π

0

+∞

X

n=1

[cp×(ancn+bnsn)] (t)

!

dt (linéarité de l’intégrale)

La fonctioncp´etantborn´eesurR, la convergence uniforme de la suite de fonctions (^Pⁿ_k=1(akck+bkck))_n∈

N^∗

sur Rentraˆıne celle de (cpPn

k=1(a_kc_k+b_kc_k))_n∈

N^∗ = (^Pⁿ_k=1cp(a_kc_k+b_kc_k))_n∈

N^∗, i.e celle de la série de fonctions^P_n[c_p(a_nc_n+b_ns_n)]. On peut donc appliquer à cette série leTH 3, qui affirme que la série^P_n∈_N^∗^Ä^R₀^2π[c_p(a_nc_n+b_ns_n)] (t)dt^äconverge vers^R₀^2π^Ä^P^+∞_n=1[c_p(a_nc_n+b_ns_n)] (t)^ädt, d’où

ap(f) =a0δ0,p+ 1 π

+∞

X

n=1

Z 2π 0

[cp(ancn+bnsn)] (t)dt, et par linéarité de l’intégrale

ap(f) =a0δ0,p+

+∞

X

n=1

á

an

1 π

Z 2π 0

cos(pt) cos(nt)dt

| {z }

=δn,pd’après l’énoncé

+bn

1 π

Z 2π 0

cos(pt) sin(nt)dt

| {z }

=0 d’après l’énoncé

ë

=ap.

On montre de même que pour toutp∈N^∗,b_p=b_p(f), ce qui prouve que la série trigonométrique initiale est bien la série de Fourier d’une fonction continue 2π-périodique surR: f.

9. Intégration terme à terme d’une série de fonctions

a. La s´erie ^P_n∈_Nan est absolument convergente donc la suite (|a_n|)_n∈_N tend vers 0, et est en particulier born´ee. Notons M un majorant de cette suite. Pour tout x∈ R, pour tout n∈N,

anxⁿ

n!

≤M^|x|_n!ⁿ, terme général d’une série absolument convergente (de sommeM e^|x|). Le rayon de convergence de la série entière ^Pn≥0 anxⁿ

n! est donc +∞. La s´erie de fonctions ^Pn∈N an

n!en

converge donc simplement (et même uniformément sur tout compact de R) vers une fonctionf C⁰ (et mêmeC^∞) surR.

(6)

b. Pour toutn∈N, notonsf_nla fonction continue surR+définie parf_n(x) = â_n!ⁿxⁿe^−x. D’après les préliminaires,fn est intégrable sur R+ et

Z +∞

0

|f_n(x)|dx= |a_n|

n! Γ(n+ 1) =|a_n| Ç

de mˆeme, Z +∞

0

fn(x)dx=an

å . Pour toutx∈R+,

f(x)e^−x=

+∞

X

n=0

an

n!xⁿe^−x =

+∞

X

n=0

fn(x) ;

autrement dit, la s´erie de fonctions^Pn∈Nfn converge simplement vers la fonctionx7→f(x)e^−x sur R+.

Enfin, la série ^P_n∈_N^Ä^R₀^+∞|f_n(x)|dx^ä = ^P_n∈_N|a_n| est convergente par hypothèse, donc le TH 4 s’applique : x7→f(x)e^−x est intégrable surR+,^Pn∈N

ÄR+∞

0 fn(x)dx^ä converge et Z +∞

0

f(x)e^−xdx= Z +∞

0

+∞

X

n=0

fn(x)

! dx=

+∞

X

n=0

ÇZ +∞

0

fn(x)dx å

=

+∞

X

n=0

an.

10. Cas où les théorèmes TH 3 et TH 4 ne s’appliquent pas

a. Pour toutx∈[0,1[, la série ^Pn≥0(−1)ⁿxⁿ est convergente (série géométrique) et

∀n∈N,

+∞

X

k=n

(−1)^kx^k

=

(−1)ⁿxⁿ 1 +x

→

x→1⁻

1 2 donc

sup

x∈[0,1[

+∞

X

k=n

(−1)^kx^k

≥ 1

2 _n→∞9 0

donc la série de fonctions considérée converge simplement mais pas uniformément sur [0,1[.

b. Pour toutn∈N, notonsfnla fonction définie sur [0,1] parfn(x) = (−1)ⁿxⁿ. fnest continue donc intégrable sur le segment [0,1], et^R₀¹|f_n(x)|dx=^R₀¹xⁿdx= _n+1¹ , terme général d’une série divergente, donc^P_n∈_Nf_n ne vérifie pas toutes les hypothèses du TH 4.

c. Néanmoins, ^R₀¹fn(x)dx = ^R₀¹(−1)ⁿxⁿdx = ⁽⁻¹⁾_n+1ⁿ est le terme général d’une série semi- convergente d’après le critère spécial des séries alternées ((_n+1¹ )n≥1 est décroissante et tend vers 0). Donc la série ^P_n∈_N^Ä^R₀¹f_n(x)dx^ä converge. D’autre part, la série de fonctions ^P_n≥0(x 7→

(−1)ⁿxⁿ) converge simplement sur [0,1[ versx7→ _x+1¹ , qui est int´egrable sur [0,1[ (car restriction

`

a [0,1[ d’une fonction continue sur [0,1]). Maintenant, il est un peu dommage d’´ecrire :

“

+∞

X

n=1

ÇZ 1 0

f_n(x)dx å

=

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n+ 1 = ln(2) (classique) et

Z 1 0

dx

1 +x = [ln(1 +x)]¹₀ = ln(2) donc

+∞

X

n=1

ÇZ 1 0

fn(x)dx å

= Z 1

0 +∞

X

n=1

fn(x)

! dx ”

car l’une des fa¸cons de démontrer que la somme de la série harmonique alternée est ln(2) est justement d’établir l’égalité ci-dessus sans connaˆıtre la valeur du membre de gauche ! C’est ce