Int´egration et probabilit´es 2012-2013 TD4 – Calculs, constructions de mesures
1 – Calculs
E xercice 1.
1. Soit(fn)n>0une suite de fonctions(E,A)→(R,B(R))int´egrables. Montrer que X
n>0
Z
E
|fn|dµ < ∞=⇒X
n>0
Z
E
fndµ
= Z
E
X
n>0
fn
! dµ.
2. Calculer les int´egrales Z1
0
lnx 1−xdx,
Z∞
0
sin(ax) ex−1 dx.
E xercice 2. En utilisant le th´eor`eme de d´erivation sous le signe int´egrale et l’´egalit´e
√1 2π
Z
R
e−x
2
2 dx =1,
calculer la transform´ee de Fourier de la fonction
f:x∈R7→ 1
√2πe−x
2 2 .
Rappel : La transform´ee de Fourier defest donn´ee par f(t) =ˆ
Z
R
eitxf(x)dx
Pour des questions, demande de pr´ecisions ou explications,
n’h´esitez pas
`a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V4.1
E xercice 3. (Partiel 2008) ´Etudier la convergence des suites:
un = Z
]0,∞[
sin(tn)
tn(1+t)dt, vn =n Z
]0,1[
ln
1+ 1
n(1−x)
dx.
Dans chacun des cas, on pr´ecisera la limite si elle existe et on justifiera soigneusement la r´eponse.
E xercice 4. Soit ϕ : ([0, 1],B([0, 1])) → (R,B(R)) une fonction int´egrable pour la mesure de Lebesgue. On d´efinitF:R+ →R+ par
F(t) = Z
[0,1]
pϕ(x)2+t dx.
1. Montrer queFest continue surR+ et d´erivable surR∗+.
2. Donner une condition n´ecessaire et suffisante surϕpour queFsoit d´erivable en0.
E xercice 5. Soitf: ([0,+∞[,B([0,+∞[)→([0,+∞[,B([0,+∞[))une fonction mesurable.
1. Montrer que l’on d´efinit une fonction continueF: [0,+∞[→Rpar la formule F(x) =
Z∞
0
arctan(xf(t))
1+t2 dt, x>0.
2. Calculer la limite deF(x)quandx →∞. 3. Montrer queFest d´erivable sur]0,+∞[.
4. Donner une condition n´ecessaire et suffisante surfpour queFsoit d´erivable en0.
2 – Constructions de mesures
E xercice 6. Soitf: (R,B(R))→ (R,B(R))une fonction int´egrable pour la mesure de Lebesgue. On suppose que pour tousa < b, Z
]a,b[
f(x)λ(dx) =0.
Montrer quef=0λ-p.p.
2
E xercice 7. On se donne deux mesures positives bor´eliennesµetνsurR, et on suppose que pour tout choix dea < b∈R
µ(]a,b[)6ν(]a,b[)<∞. Montrer alors queµ(A)6ν(A)pour tout bor´elienA.
E xercice 8. (Fonction de r´epartition d’un ensemble) SoitAun ensemble bor´elien deRde mesure finie.
Montrer que la fonctionf:R−→Rd´efinie parf(x) =λ(] −∞,x]∩A)est continue.
3 – ` A pr´eparer pour la prochaine fois
E xercice 9. (Vive les espaces polonais) Soit (E,d) un espace m´etrique muni de sa tribu bor´elienne B. Soitµ une mesure positive sur(E,B) telle que µ(E) = 1. On dit qu’elle est tendue si pour tout ∈(0, 1), il existe un compactK tel queµ(K)>1−.
1. Prouver que si(E,d)est s´eparable et complet, alors toute mesureµsur(E,B)telle queµ(E) =1 est tendue.
2. Prouver que si(E,d)est s´eparable et comple et siµest une mesure sur(E,B)telle queµ(E) =1, alors pour tout bor´elienA:
µ(A) =sup{µ(K);K⊂A,Kcompact}.
3. – Trouver une espace topologiqueTet une mesureµsur(T,B(T))de masse totale1qui ne soit pas tendue.
On rappelle que(E,d)est s´eparable s’il admet une suite (d´enombrable) dense.
4 – Compl´ements (hors TD)
E xercice 10. (La fonctionΓ) Pour toutt >0on pose
Γ(t) = Z∞
0
xt−1e−xdx.
3
1. Montrer que ceci d´efinit une fonction de classeC∞ surR∗+. 2. Montrer la formule d’Euler : pour toutt >0,
Γ(t) = lim
n→∞
ntn!
t(t+1). . .(t+n).
Indication:on pourra consid´erer la suite de fonctions(fn)n>0d´efinies par fn :x ∈]0,∞[7→1]0,n[(x)
1− x n
n
xt−1.
E xercice 11. Soit ϕ : ([0, 1],B([0, 1])) → (R,B(R)) une fonction int´egrable pour la mesure de Lebesgue. On d´efinitG:R→R+ par
G(t) = Z
[0,1]
|ϕ(x) −t|dx.
1. Montrer queGest continue surR.
2. Montrer queGest d´erivable ent∈Rsi et seulement si λ({ϕ=t}) =0, o`uλd´esigne la mesure de Lebesgue.
E xercice 12. ( – Th´eor`eme de Lusin) Soit f : [0, 1] −→ R une fonction bor´elienne. Montrer que pour toutε >0il existe une fonction continueg: [0, 1]−→Rtelle que
λ({x,f(x)6=g(x)})6ε.
Fin
4
