(6 points) Soit X = [0,1] muni de la tribu bor´elienne

Calcul Int´egral (L3),Universit´e de Cergy–Pontoise Examen de la seconde session, dur´ee : 2 heures

Les notes de cours ne sont pas autoris´ees Les t´el´ephones portables doivent ˆetre ´eteints

Une r´edaction succincte et propre donnera jusqu’`a deux points de bonus Exercice 1. (3 points)

(a) Soit Rla droite r´eelle muni de la tribu bor´elienne. Donner la d´efinition d’une application bor´elienne deRdansR.

(b) Montrer que l’applicationf :R→Rd´efinie par

f(x) =

(e^x sixest rationnel, x sixest irrationnel est bor´elienne.

Exercice 2. (5 points)

(a) Enoncer le th´´ eor`eme de Lebesgue sur la convergence domin´ee.

(b) Calculer la limite

n→∞lim Z 1

0

1−_n^xn dx.

Exercice 3. (6 points) Soit X = [0,1] muni de la tribu bor´elienne. ´Etant donn´ee une mesureµsurX, on noteL^p(X, µ) l’espace des fonctions bor´eliennes f :R→Rtelles que

Z

X

|f(x)|^pdµ <∞.

(a) Soitµ une mesure sur X telle que µ(X)<∞. Montrer queL^q(X, µ) ⊂ L^p(X, µ) pour 1≤p≤q≤ ∞.

(b) Construire un exemple d’une mesure σ-finie µ sur X et d’une fonction bor´eliennef :X →Rtelle quef ∈ L²(X, µ), maisf /∈ L¹(X, µ).

Exercice 4. (6 points)

(a) Enoncer le th´´ eor`eme de Fubini.

(b) On note X =R² muni de la tribu bor´elienne. Soit µle produit tensoriel de la mesure de Lebesgueλavec la mesure 2δ1, o`uδa d´esigne la masse de Dirac au pointa∈R: µ(dx,dy) =λ(dx)⊗(2δ1(dy)). Calculer l’int´egrale

Z

X

y

1 +x²+y²dµ.