Universit´e de Cergy Pontoise Structures Alg´ebriques
L3, d´ecembre 2008
A 1. Soit
σ =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 3 1 7 5 9 8 4 2
∈S9.
Ecrireσcomme un produit de cycles disjoints. Quel est l’ordre deτ = (136)(235)(146)?
2. Soit
A=Z/3Z×Z/12Z, B =Z/3Z×Z/14Z.
Les groupes (A,+), (B,+) sont-ils cycliques? Quelle est la caract´eristique des anneauxA etB? Justifier les r´eponses.
B Soient A, B les anneaux quotients
A= F3[x]
(x2+x+ 2), B = Q[x]
((x−2)2(x2−4x+ 2)), o`u F3 est le corpsZ/3Z.
1. A, B sont-ils des corps? Justifier la r´eponse.
2. Trouver l’inverse de la classe de 2x+ 1 dansA.
3. Ecrire un diviseur de zero de´ B.
4. Donner la liste des ´el´ements nilpotents de B (un ´el´ement b ∈ B est nilpotent s’il existe un entier positifntel que bn= 0.).
5. Calculer l’ordre de tout ´el´ement du groupeG= (A\ {0},·), o`u·est la multipli- cation de l’anneauA.
6. D´emontrer que le groupe Gest cyclique.
7. Trouver tous les sous-groupes de G.
C
1. Soit R une r´elation d’´equivalence sur un ensemble fini de cardinalN. On sup- pose que toutes les classes ont le mˆeme cardinal r. Quel est le nombre des classes et pourquoi?
2. Appliquer 1 pour d´emontrer le th´eor`eme de Lagrange.
2
D
1. Donner la d´efinition d’anneau factoriel. Donner un exemple d’ anneau commu- tatif int`egre qui est factoriel et un exemple d’anneau commutatif int`egre qui n’est pas factoriel.
2. D´emontrer que dans un anneau factoriel deux ´el´ements non inversibles et non nuls admettent toujours un pgcd et un ppcm.
3. Soit A un anneau factoriel et soienta, b, c∈A\{0}trois ´el´ements non inversibles.
D´emontrer que
a|bc et a∧b= 1 =⇒ a|c.
E 1. Soit Gun groupe tel que
\
H≤G,{1}6=H
H 6={1}
o`u H ≤ G signifie que H est un sous groupe de G. D´emontrer par l’absurde que tout ´el´ement deG a un ordre fini.
2. D´emontrer que
F rac(Z[√
2])' Q[x]
(x2−2).
