Universit´ e de Cergy-Pontoise D´ ecembre 2007
ELHM L1 et L2
Dur´ee 2 heures, documents interdits
Premier Exercice - 9 points
On rappelle que le cinqui`eme postulat d’Euclide peut s’´enoncer ainsi :
«Par un point A ext´erieur `a une droiteD, on peut mener exactement une droite parall`ele `a une droite donn´ee D.»
Les g´eom´etries non-euclidiennes conduisent `a prendre la n´egation de ce postulat de deux fa¸cons diff´e- rentes :
«Par un point A ext´erieur `a une droite D, on ne peut mener aucune droite parall`ele `a une droite donn´ee D.»
ou bien
«Par un point A ext´erieur `a une droite D, on peut mener une infinit´e de droites parall`eles `a une droite donn´eeD.»
Expliquer pourquoi il n’est pas possible, dans le cas o`u les autres axiomes d’Euclide sont vrais, de supposer :
«Par un point Aext´erieur `a une droiteD, on peut mener exactement deux droites parall`eles `a une droite donn´eeD.»
On pourra s’aider d’une figure.
Second Exercice - 5 points
On consid`ereABun segment de longueur 1. La transformationF consiste `a remplacer le segment [AB]
par la ligne bris´ee ACDEB o`u AC = CD =DE =EB = 13AB, comme sur le dessin. On noteF0 le segment [AB]. SoitFnla ligne bris´ee obtenue `a partir deFn−1en effectuant la transformationF sur tout les segments deFn−1.
1. Dessiner le d´ebut de la ligneF3.
2. Calculer la longueurLn de la ligne bris´eeFn. D´eterminer sa limite lorsquentends vers l’infini.
3. Calculer l’aire de la r´egion limit´ee par la courbeFn et le segment [AB]. Quelle est sa limite lorsque ntend vers +∞?
Quatri`eme exercice - 6 points
On note (pn)n≥1 la suite ordonn´ee des nombres premiers, avec doncp1= 2,p2= 3. . . 1. Soitn≥2. On noteN le nombre
N =p1p2. . . pn−1
Montrer qu’un facteur premierpdeN est n´ecessairement sup´erieur ou ´egal `a pn+1. 2. En d´eduire
pn+1< p1p2. . . pn
3. En d´eduire, par r´ecurrence, que sin≥0 :
pn ≤22n
4. (*) Montrer que, pournplus grand que trois, on a :
pn+1+pn+2≤p1p2. . . pn
