Universit´e de Cergy-Pontoise D´ecembre 2006 L3- STRUCTURES ALG´EBRIQUES

Universit´ e de Cergy-Pontoise D´ ecembre 2006

L3- STRUCTURES ALG´ EBRIQUES

Dur´ee 3 heures, documents et calculatrice interdits

Premier Exercice - 5 points

On consid`ere le groupeG=S₄ des permutations des nombres 1, 2, 3 et 4, la loi rond est not´ee multipli- cativement, l’´el´ement neutre est not´ee. On noteτ la double transpositionτ= (1,2)(3,4) etσle 4-cycle σ= (1,2,3,4). On se propose de d´eterminer le sous-groupeDengendr´e par τ etσ.

1. D´eterminer l’ordre deτ et deσ.

2. V´erifier queτ σ^kτ⁻¹ =σ^−k, pour tout k= 1,k = 2 etk= 3. et que τ σ^k est d’ordre 2, pour tout k= 1, k= 2 etk= 3.

3. SoitS l’ensemble d´efini par :

S ={e, σ, σ², σ³, τ, τ σ, τ σ², τ σ³}

V´erifier, en utilisant la question pr´ec´edente queS est un sous-groupe deG. En d´eduire queD=S.

4. D´emontrer que Dn’est pas distingu´e dansG.

Second Exercice - 4 points

SoitAun anneau commutatif. On consid`ere deux id´eaux Iet J. 1. Montrer que :

I∪J est un id´eal ⇐⇒ I⊂J ou J ⊂I

2. SoientI, J, K trois id´eaux. On suppose qu’aucun id´eal n’est inclus dans la r´eunion des deux autres et queK est un id´eal premier. Montrer qu’il existe i∈I, j ∈J tels queij /∈ K. En d´eduire que I∪J∪Kn’est pas un id´eal.

Troisi`eme exercice - 11 points

1. SoitKun corps, on consid`ere l’anneau des polynˆomesK[X]. Montrer qu’un polynˆome du troisi`eme degr´e deK[X] est irr´eductible si et seulement si il n’a aucune racine dansK.

2. Dans la suite du probl`eme, on prend pour corps le corps F3 = Z/3Z. Montrer que le polynˆome X³−X+ 1 est irr´eductible dansF3[X].

3. SoitL=F3[X]/(X³−X+ 1), quotient de F3[X] par l’id´eal principal (X³−X+ 1). Justifier que c’est un corps.

4. Montrer que si on note αla classe de X modulo l’id´eal (X³−X+ 1), alors tout ´el´ement w deL s’´ecrit de fa¸con unique :w=x+yα+zα² o`u (x, y, z)∈F³3. Quel est le nombre d’´el´ements deL? 5. Montrer que, dansL, on a pour tout (w, w⁰)∈L :

(w+w⁰)³=w³+w⁰³

6. Soit L^∗ =L\ {0}, ensemble des ´el´ements inversibles de L. D´emontrer que α¹³ =−1. En d´eduire queL^∗ est cyclique d’ordre 26 et de g´en´erateurα.

7. On consid`ere maintenantM =F3[X]/(X³−X). V´erifier queM n’est pas un corps.

8. Montrer queM est isomorphe `a l’anneau produitA=F3×F3×F3.