Universit´e de Cergy Pontoise Structures Alg´ebriques L3, juin 2010 0 [6] Justifier toutes les r´eponses a. Soit (G,·) un groupe quelconque et soit i : G → G, g 7→ i(g) = g

Universit´e de Cergy Pontoise Structures Alg´ebriques

L3, juin 2010

0 [6]

Justifier toutes les r´eponses a. Soit (G,·) un groupe quelconque et soit

i : G→G, g7→i(g) =g⁻¹.

Est-il vrai que la fonctioniest bijective? Est-il vrai quei est un morphisme de groupes?

b. Lesquels parmi ces anneaux sont des corps?

R[x]

(x²+ 2), Z[x]

(x) , Z/2Z[x]

(x⁴+x²+ 1).

c. Donner deux anneaux commutatifs non isomorphes avec exactement 4 id´eaux (y compris les triviaux).

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a. Soit σ= (134679)∈S₉.

(i) Donner la liste des ´el´ements du sous-groupehσi de S₉. (ii) Calculer le signe et l’ordre de tout ´el´ement.

(iii) Donner la liste des sous-groupes dehσi.

b. Soit pun nombre premier et soientn, m∈Ntel quep6 |netp≤m. Si σ est un p-cycle dans Sm, d´emontrer que σⁿ est aussi unp-cycle.

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Soit Z[i√

5] le plus petit sous-anneau de Cqui contient Z eti√ 5.

a. D´emontrer queZ[i√

5] ={a+i√

5b|a, b∈Z}

b. Trouver les diviseurs de 3 et de i√

5−1 dans Z[i√

5]. On remarquera que N : Z[i√

5]→N, a+i√

5b7→N(a+i√

5b) =a²+ 5b²

est une fonction multiplicative.

c. D´emontrer que 1 n’ appartient pas `a l’id´eal (3, i√ 5−1).

d. D´emontrer que l’id´eal (3, i√

5−1) n’est pas principal.

e. D´emontrer queZ[i√

5] n’est pas un anneau euclidien.