Universit´ e de Cergy-Pontoise Juin 2007

Universit´ e de Cergy-Pontoise Juin 2007

L3- STRUCTURES ALG´ EBRIQUES, seconde session

Dur´ee 2 heures, documents et calculatrice interdits

Premier Exercice - 6 points

1. SoitGun groupe. Rappeler la d´efinition de l’ordre d’un ´el´ement deG.

2. On suppose queGest fini, justifier que tout ´el´ement deGest d’ordre fini.

3. On consid`ere le groupe G=Qdes rationnels, muni de l’addition. V´erifier que (Z,+) est un sous- groupe deG. Pourquoi est-il distingu´e dansG?

4. Soit dans le quotient Q/Z l’´el´ement x= 7/5, classe du rationnel ⁷₅. Montrer que son ordre est 5.

(Attention, la loi de composition est l’addition)

5. Montrer que tout ´el´ement du groupe quotientQ/Zest d’ordre fini et justifier queQ/Zest infini.

Second exercice - 6 points

Soitn∈N^∗. On consid`ere l’anneauZ/nZ.

1. Sia∈Z/nZ, on poseI(a) ={b∈Z/nZ|ab= 0}. Montrer queI(a) est un id´eal deZ/nZ. 2. D´eterminer I(a) pour toutadeZ/6Z.

3. On revient au cas g´en´eral. `A quelle conditionI(a) ={0}?

4. Montrer que, sixety sont des ´el´ements de Z, I(x) =I(y)) ⇐⇒ pgcd(x, n) = pgcd(y, n).

Troisi`eme Exercice -8 points

SoitR[X] l’anneau des polynˆomes `a coefficients r´eels. SoitB l’ensemble des polynˆomes P tels que : P⁰(0) = 0

o`uP⁰ d´esigne le polynˆome d´eriv´e deP.

1. Montrer queB est un sous-espace vectoriel deR[X] 2. D´eterminer une base deB.

3. Montrer queB est un sous-anneau deR[X].

4. D´eterminer les ´el´ements inversibles deB. On utilisera le degr´e.

5. Donner la d´efinition d’un ´el´ement irr´eductible dans un anneau commutatif int`egre et montrer que X² et X³ sont irr´eductibles dansB.

6. En d´eduire queB n’est pas un anneau factoriel.