Universit´ e de Cergy-Pontoise Juin 2007 SVT-S1- Maths pour les Sciences
L1, seconde session
Dur´ee 1 heure 30, documents et calculatrice interdits
Premier Exercice - 4 points Nombres complexes
1. Soitz=a+ibun nombre complexe, (a, b)∈R2. Rappeler la d´efinition dumoduledez, not´e|z|.
2. On cherche l’ensembleE des nombres complexes qui v´erifient :
|z−1|=|z−i|
Montrer queE contient 0 et 1 +i.
3. Montrer que tous les ´el´ements de E sont les complexes de la formez =a(1 +i) o`u a est un r´eel quelconque.
4. Que peut-on dire de l’argument d’un ´el´ement deE?
Second Exercice - 8 points Int´egration
1. SoitF(x) = x+ 1
x(x−1)2. Faire une d´ecomposition en ´el´ements simples et en d´eduire une primitive.
2. CalculerI= Z 2
1
x3lnxdx
3. Calculer (pourx∈R+)
Z x
0
dt 1 +√
t On pourra faire un changement de variable.
Troisi`eme exercice - 8 points
Equations diff´´ erentielles
1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
y0−ycosx= 0 et pr´eciser la solution qui v´erifiey(0) = 1.
2. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
y0−ycosx= cosx 3. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
y00+ 2y0+ 2y=x On commencera par r´esoudre l’´equation sans second membre.
