Université de Cergy Pontoise L3-Méthodes Variationnelles
Mathématiques juillet 2008, 2ème session. Durée : 2 heures
Toute forme de calculatrices et notes sont interdites.
1. SoitE =R3 muni de la normek · k∞. Soit f(x, y, z) = 2x+z2
1 +z −2 + sin(y−x).
(a) Décrire la domaine de définitionΩdef et montrer quef estC1(Ω).
(b) Déterminer la dérivée def enx∈Ωdans une directionh∈E.
(c) Montrer que l’équation f(x, y, z) = 0 donnera lieu à une fonction implicite z = φ(x, y)qui passe par le point(x0, y0, z0) = (1,1,0). (Justifier)
(d) Déterminer unDL2((x0, y0))deφ.
2. Soit f(x, y, z) = 4xy +yz+zx. Utiliser un multiplicateur de Lagrange pour déterminer un point extremal pourf sous la contrainte x, y, z > 0 et xyz = 32.
3. Notons E = Mn(R) l’espace de matrices carrées de taille n fois n muni d’une norme matricielle quelconque. NotonsΩ =GLn(R)le sous-ensemble de matrices inversibles. Montrer que siAest un point critique pour la fonctionf(A) =tr(A−1+A), A∈Ω alorsA2 =id.
(Notation tr(A) =Pn
i=1Aiiet id est la matrice identité).
4. SoitE =C1([0, T])muni de la normekykC1 = max{|y|∞,|y′|∞}Soit−1< a, b <1.
NotonsA={y∈E|y(0) =a, y(T) = b, et ∀t∈[0, T] :−1< y(t)<1}et E0 ={h∈E :h(0) =h(T) = 0}. Soit
f(y) = Z T
0
y′(x)2
1−y(x)2 dx, y ∈ A.
(a) Montrer quefest différentiable eny∈ Aet déterminer une expression pour la dérivée(f′(y)).(h), dans une directionh∈E0.
(b) A l’aide de l’invariant de Hamilton trouver un point critique def (c) Que ce passe-t-il si on essaye aveca=−1etb = +1?
