Université de Cergy-Pontoise - Janvier 2015

Université de Cergy-Pontoise - Janvier 2015

L1-SV Mathématiques pour les Sciences - Corrigé

Premier Exercice

On étudie donc la fonctionf(x) = ^x−1_x+2.

1. Le domaine de définition def estR\ {−2}. On af(x) = ^x+2−3_x+2 = 1−_x+2³ . 2. On af⁰(x) = _(x−1)³ 2.f⁰est toujours positive.f est donc croissante.

3. limx→−∞f(x) = 1,limx→+∞f(x) = 1,lim_x→−2⁻f(x) = +∞,lim_x→−2⁺f(x) =−∞.

4. La droite d’équationx=−2est une asymptote verticale et la droite d’équationy= 1est un asymptote horizontale.

5. Tableau de variation def. x

f(x)

f

−∞ −2 +∞

+ +

1 1

+∞

−∞

1 1

6. Courbe représentative def.

x y

1 2 3 4

−6 −5 −4 −3 −2 −1

−3

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6

0

Second Exercice

Il y a ³²₂

choix possibles de délégués. Si on veut 1 garçon et 1 fille, le nombre de choix est ¹⁹₁

× ¹³₁

. Le nombre de choix possibles s’il y a 2 garçons est ¹⁹₂

.

1

FIGURE1 – Boîtes à moustache

25 26 27 28 29 30 x

Troisième Exercice

1. On considère les événements suivants : N : l’ordinateur est neuf ; R : l’ordinateur est récent ; A : l’ordinateur est ancien ; D : l’ordinateur est défaillant. D’après l’énoncé, on a : P(N) = ₂₀₀³⁰ = ₂₀³ , P(R) = ₂₀₀⁹⁰ = ₂₀⁹, P(A) = ₂₀₀⁸⁰ = ₂₀⁸,P(D/N) = 0,05,P(D/R) = 0,01etP(D/A) = 0,2.

2. On veutP(N ∩D). On a :P(N ∩D) =P(D/N)×P(N) = 0,0075.

3. On chercheP(D). On utilise la formule des probabilités totales :P(D) =P(D/N)×P(N) +P(D/R)×P(R) + P(D/A)×P(A) = 0,0075 + 0,045 + 0,8 = 0,1325.

4. On chercheP(A/D). On utilise la formule de Bayes :P(A/D) = ^P(D/A)×P(A)

P(D) = _0,1325^0,8 = 0,6038.

Quatrième Exercice

1. La moyenne est donnée parx¯= 25×40+26×60+27×120+28×140+29×20+30×20

400 = 27,25

2. La variance est donnée pars²= ^{252×40+262×60+272×120+28}₄₀₀ ^{2×140+292×20+302×20}−27,25² = 744,05−742,5625 = 1,4875. L’écart-type ests=√

1,4875'1,2196.

3. On reprend les données en ajoutant les effectifs cumulés :

Diamètre en cm 25 26 27 28 29 30

Effectifs 40 60 120 140 20 20

Effectifs cumulés 40 100 220 360 380 400

L’effectif est pair. Le 200 ième élément a pour valeur 27. Le 201 ième élément a pour valeur 27. La médiane est donc égale à²⁷⁺²⁷₂ = 27.

4. On a ⁴⁰⁰₄ = 100. Le premier quartileQ1 est la valeur du 100 ième terme, c’est-à-direQ1 = 26. On obtient ensuite 3×100 = 300. On en déduit que le troisième quartileQ₃est la valeur du 300 ième terme, c’est-à-direQ₃ = 28.

L’écart interquartile est donné parQ3−Q1 = 2.

5. On a[Q1−1,5(Q3−Q1);Q3+ 1,5(Q3−Q1)] = [23; 31]. Il n’y a donc pas de valeur exceptionnelle.

6. La boîte à moustache est donnée dans la Figure 1.

2