Protocole d'étude: aggregation d'aversion au risque
lanquetuit.cyril@gmail.com, Université de Cergy Pontoise
1 Le questionnaire
http://cyrillanquetuit.free.fr/QuelAnimalEtesVous/questions.html Le questionnaire comporte 5 questions :
une de type "roue de la fortune" avec 4 options
deux de type "histogramme" avec 4 puis 2 options
deux loteries "classic" avec chacune 2 options
La combinatoire totale donne donc 128 prols possibles mais répondre A à la question 4 et B à la question 5 peut être considéré comme un prol incohérent. Il reste donc 96 prols possibles.
Les 96 prols ont été classés du plus risqué au moins risqué en utilisant les seuils d'aversion au risque correspondant à chaque loterie. Pour déterminer les seuils d'aversion au risque de chaque loterie, les trois programmes pythons (octagraphe.py, histograph.py et hexacaidecagraph.py ont été utilisé pour les trois type de loterie diérents). Une fois les seuils déterminés, les seuils obtenus sont les suivants :
3, 6, 9, 12, 14, 17, 24, 32
les prols de risques ont été classé en moyennant les information respectivement obtenue à chaque questions, la classication n'étant pas universelle mais respecte autant que posssible le bon sens. Si les réponses à 3 questions diérentes donne par exemple comme information qu'un individu a une aversion au risque "supérieur à 6", "inférieur à 3" et "supérieur à 4" on considerera qu'avec une approximation acceptable on peut lui attribuer une aversion au risque de 5.
2 Les 96 prols (scores)
Les 96 prols possibles ont donc été classé du plus au moins risqué en leur attribuant un score entre 2 et 97 qui n'est pas l'aversion au risque calculé par la résolution de l'équation implicite par les programmes python mais juste une valeur croissante : plus le score est élevé plus l'individu est averse au risque, on considérera donc que ce score constitu une approximation acceptable d'une notion correspondante à l'aversion au risque que l'on dénira comme "pourcentage de prudence". Le prol le plus prudent sera donc prudent à 97% tandis que le prol le plus risqué aura un score de 2%. Cette échelle étant arbitraire et non linéaire la comparaison et les prédictions de prols ne sera pas eectuée directement sur le score (entre 2 et 97) mais sur un niveau de risque correspondant que l'on choisira entre 1 et 7. Ces 7 niveaux de risque rappel les 7 classes de risque recommandées par l'AMF mais ne sont pas forcément en correspondance directe. La contrainte commune respectée étant qu'un individu dont on estimera que le niveau de risque est de 1 aura un prol plus risqué qu'un individu classé en catégorie 7.
Figure 1 Courbes d'utilité des 7 prols
3 Les 7 niveaux de risques
Les 7 prols de risque considérés correspondent in ne approximativement respectivement au 7 courbes d'utilité suivantes.
La correspondance est la suivante du plus risqué au plus prudent :
niveau 1 - courbe noire
niveau 2 - courbe violette
niveau 3 - courbe rouge
niveau 4 - courbe jaune
niveau 5 - courbe verte
niveau 6 - courbe bleue
niveau 7 - courbe cyan
4 Les données
300 personnes ont étés interrogées. La méthode et le protocole pour présenter le questionnaire sont les suivant, an d'éviter au maximum les biais du au anitée de couleurs le questionnaire à volontairement été présenté en noir et blanc.Pour éviter les biais liés à l'intonnation ou au contexte dans lequel un sondage pourrait être présenter physiquement sur papier ou au téléphone avec un discours oral, la présentation du questionnaire a été réalisée systématiquement de manière électronique sous la forme d'un court message contenant :
une sensibilisation à l'étude sous la forme d'un lien vers un chier audio d'environ 2 minutes (http://cyrillanquetuit.free.fr/Divers/M@thZen126'.mp3)
un lien vers le questionnaire (http://cyrillanquetuit.free.fr/QuelAnimalEtesVous/
questions.html)
une courte explication demandant de remplir le questionnaire avec un prol pour cha- cun des membres du couple puis après discussion et concertation, un prol "aggregé"
correspondant au choix d'investissement que le couple réaliserai s'il devaient investir "en commun"
Il est en plus demandé au répondant de fournir leur adresse mail respective pour au moins deux raisons :
s'assurer que les réponses collectées en lignes correspondent bien à un couple réel et que chaque couple répondra une et une seule fois au questionnaire
envoyer automatiquement un court message électronique au répondants ayant participé à l'étude pour leur permettre d'être d'une part certain que leur réponse à bien été prise en compte et d'autre part pour informer les intéressés du score qu'ils ont obtenu, l'information communiquée étant très succincte mais contient à minima : le niveau d'aversion au risque de chaque répondant sous la forme d'un pourcentage de prudence entre 1 et 99 (qui correspond à plus ou moins deux unité près au score obtenu c'est à dire au classement du prol du répondant parmis les 96 possibilités considérées) ainsi que le score du prol du couple, donnée primordiale pour l'étude mais qui peut également interesser les couples ayant pris le temps de se prêter au jeu et répondre au 5 questions posées, ne serais-ce que par simple curiosité
5 Premiers résultats
Bien que 300 personnes aient étées interrogées, nous ne disposons actuellement qu'un échan- tillon assez réduit de quelques dizaines de prols, les données collectées pour les 13 premiers couples ayant répondu gurent ci-dessous. La première colone contenant l'information primor- diale : le niveau de risque du couple aggrégé, c'est à dire le niveau de risque entre 1 et 7 estimé que serait prêt à prendre le couple dans le cas hypothétique ou ils auraient à réaliser un inves- tissement commun. Les 5 dernières colones contiennent les diérentes prédictions de cette valeur compte tenu des réponses données par chacun des membre du couple séparément. Les cinq mo- dèles utilisés sont tous des variantes de la formule jointe détaillée dans l'article "Couple Curves Aggregation", seuls les poids respectifs de chaque individus varient, ainsi :
model1 : prol 100% masculin
model2 : prol 75% masculin
model3 : prol symétrique (coecient 12 dans la formule jointe)
model4 : prol 75% féminin
model5 : prol 100% féminin
Ainsi de façon concrète, le modèle 1 consiste à prédire l'aversion au risque du couple en considérant que c'est de toute façon l'homme qui prendra la décision ou du moins qu'après
discussion la femme nira par se laisser convaincre et accepter le niveau de risque préféré par son conjoint. A l'inverse le modèle 5 considère que quoi qu'il arrive, la décision commune sera guidée par les préférences de la femme. Les modèles 2 et 4 étant intérmédiares et le modèle 3 n'étant rien d'autre que le reet d'une aggregation parfaitement symétrique des préférences concernant l'aversion au risque respective des deux membres du couple.
Risk ♀Risk ♀ ♀score score {score { {Risk Mod1 Mod2 Mod3 Mod4 Mod5
6 7 V 95 43 43 C 6 6 6 6 7 7
7 7 G 83 82 79 W 7 7 7 7 7 7
7 7 D 81 76 76 M 7 7 7 7 7 7
5 5 F 40 40 40 G 5 5 5 5 5 5
1 4 S 25 3 3 S 1 1 2 3 3 4
1 1 C 4 4 2 F 1 1 1 1 1 1
5 4 E 22 31 51 J 6 6 5 5 5 4
4 7 S 97 23 21 H 4 4 4 5 6 7
2 4 A 25 14 14 L 2 2 2 3 3 4
7 4 L 22 78 90 J 7 7 7 6 5 4
1 7 ? 77 5 5 M 1 1 2 4 6 7
7 7 J 84 84 52 R 6 7 7 6 6 6
7 7 A 97 97 97 ? 7 7 7 7 7 7
...
Table 1 Echantillon de données - exemple des 13 premiers couples
6 La méthode d'aggrégation
Les diérents modèles utilisés pour essayer de prédire l'aversion au risque commune de chaque couple interrogé ont déjà été décrits précédement mais pour illustrer visuellement à quoi corres- pondent ces 5 modèles, on peut reprendre la gure 1. En se concentrant sur le 11ème couple répondant, regardons visuellement à quoi correspondent nos 5 modèles. L'homme du couple (J.
par mesure d'anonymat nous n'avons ici concervé que les initiales des répondants, cela permet d'une part de distinguer les couples entre eux, d'éviter les erreurs de repport en cas d'inattention ou du moins d'être capable de remonter jusqu'au données initiales fournies par les répondants en cas de doute sur une ou plusieurs des informations exploitées) a ici un niveau de risque de 1, sa courbe d'utilité sur la Figure 1 est donc proche de la courbe noire, sa femme (L. intitiale du prénom également) a quand a elle un niveau d'aversion au risque évalué à 7. Les modèles 1 et 5 sont immédiatement compréhensible et prévoierait respectivement des niveau de risque de 1 et 7, c'est à dire que la courbe d'utilité du couple selon le modèle 1 serait en représentée en noir, en cyan selon le modèle 5. Les modèles 2, 3 et 4 conduiraient quand à eux a estimer respectivement que la courbe d'utilité commune du couple serait plus proche des courbes violette (modèle 2), jaune (modèle 3), bleue (modèle 4). L'aversion au risque commune du couple, celle qu'ils ont choisi après s'être concerté étant de 1, les pénalités respectives pour chacun des 5 modèles ayant respectivement prédit des niveau 1,2,4,6,7 sont donc 0, 1, 3, 5, 6. En additionnant les pénalités qui correspondent donc au cumuls des imprécisions commisent par chacun des modèles on obtient le résultat suivant : comme détaillé sur la Figure 3, le modèle 5 est le plus imprécis, les modèle 3 et 4 permettent d'obtenir un taux d'erreur inférieur mais restent assez mauvais, le modèle 1 qui consiste à considérer par défaut la décision masculine comme étant la préférence commune
Figure 2 Premiers Résultats
après concertation n'est pas trop mauvais mais conduit tout de même à un taux non négligeable d'erreur quand à la prédiction eectuée sur le niveau de risque choisi par le couple.
Avec les données dont on dispose actuellement, le modèle le plus ecace (celui qui prédit le plus précisement c'est à dire avec le moins de niveau d'erreur cumulé sur l'échantillon de réponses dont nous disposons) semble donc être le modèle 2. Pour tracer la courbe d'utilité moyenne (attention il s'agit bien sûr la d'une généralisation et chaque couple a évidement sa façon propre d'aggreger les préférences de chacun ! - à titre d'exemple dans notre dixième couple c'est le modèle 5 qui prédit le mieux les préférences communes), en moyenne donc, si l'on cherche à tracer la courbe d'utilité commune d'un couple à partir des courbes d'utilités de chacun de ses membre, la moins mauvaise approximation dont nous disposons actuellement consiste à utiliser la formule jointe décrite dans l'article "Couple Curves Aggregation" non pas avec une symétrie parfaite et un coecient12 mais plutôt une courbe légèrement plus proche de celle du prol masculin en utilisant des poids respectif 14 pour la femme, 34 pour l'homme.
