Probabilité TD 7 - correction lanquetuit.cyril@gmail.com, Université de Cergy Pontoise

Probabilité TD 7 - correction

lanquetuit.cyril@gmail.com, Université de Cergy Pontoise

Des boules et des urnes

1 Tirage d'une boule parmis 10 numérotée de 1 à 9

Ω=0, ...,9 la variable aléatoire prend les valeurs entières entre 0 et 9, fonction de répartition en bleu

∀0≤i≤9, P({i}) =0,1, P({X≤i}) = i+1

9 , E(X) =∑⁹

i=0

iP(i) =4,5

V(X) =E((X−E(X))²) =E(X²)−E(X)²=∑⁹

i=0

i²

10−22,5=217,5

2 Deux boules tirées parmis 3 vertes, 2 oranges et 4 rouges

elles font gagner respectivement 2, 1 et -3 points. La variable aléatoire peut prendre les valeurs -6,-2,-1,2,3 et 4. P({−6}) = ^C_C⁴²²

9 = ¹6, P({−2}) = ^2×4_C²

9 = ²9, P({−1}) = ^3×4_C²

9 = ¹3,P({2}) = _C¹²

9 = 36¹, P({3}) = ^2×3_C²

9 =¹6,P({4}) =^C_C²³²

9 =12¹,E(X) = −1−⁴9−¹3+18¹ +¹2+¹3 = −⁸9

V(X) =E(X²) −E(X)²= ³⁶6 +⁸9+¹3+36⁴ +⁹6+¹⁶12−⁶⁴81 =³⁶⁶36 −⁶⁴81= ^3294−256324 =³⁰³⁸324 =¹⁵¹⁹162

3 4 jetons parmi 4 rouges, 4 verts, on compte les verts

P({0}) =C¹⁴₈ =70¹,P({1}) =4^C_C⁴³4

8 = ¹⁶70,P({2}) =^C24C^×C4₈ ²⁴ =³⁶70,P({3}) = ^C43C^×C₈⁴⁴¹ = ¹⁶70,P({4}) = 70¹

E(X) = ^16+72+48+470 =2, V(X) =E(X²) −E(X)²= 16+144+144+16 70 −4= ⁴7

4 Une boule rouge et une boule bleue

Si on tire la bleue on la remet avec une autre identique et on recommence et on considère la variable aléatoire égale au numéro du tirage de la boule rouge,Ω=N^∗

P({i}) = 1 2×2

3×...×i−1 i × 1

i+1 = 1 i(i+1)= 1

i − 1 i+1,

n

∑

i=0

1

i =ln(n)

la variable aléatoire n'admet donc pas d'espérence nie.1−P(X ≤n) = n+1¹ dont la limite est 0 lorsque n tend vers l'inni, autrement dit, la probabilité que le nombres de tirage dépasse n, pour n susamment grand est nulle, c'est à dire que le tirage ni, à coup sûr.

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