Probabilité TD 9 - correction

Probabilité TD 9 - correction

[email protected], Université de Cergy Pontoise

Si une poule arrive à faire un 9 avec son cul, on doit bien réussir à faire un 2 avec son c÷ur...

soit on est 4 fois et deux mies plus con qu'une galinacée, soit les nombres premiers...

1 L'amour, l'humour, la mort

SoitX(Ω) = {−1,0,1}

P(X= −1) = ³6, P(X=0) = ²6, P(X =1) = ¹6

Espérance et variance de X E(X) = −³6+¹6= −¹3

V(X) =E((X−E(X))²) =E(X²) −E(X)²= ³6+¹6−¹9 = ⁵9

Si Y =2X+3 etZ=X²

P(Y =1) = ³6, P(Y =3) = ²6, P(Y =5) = ¹6

Espérence et variance de Y E(Y) = ³6+²6×3+¹6×5=⁷3

V(Y) =E(Y²) −E(Y)²=1׳6+9ײ6+25×¹6−⁷3×⁷3 =¹³⁸⁻⁹⁸18 =²⁰9

P(Z=0) = ²6, P(Z=1) = ⁴6

Espérence et variance de Z E(Z) = ²3

V(Z) =E(Z²) −E(Z)²= ²3 2−²3

2=0 Si T=X³commeΩ= {−1,0,1}, T =X

2 Les éléments d'un ensembles

Si E= {a, b, c, d, e}, A= {a, b}, B= {b, d, e} etC= {a, e} 1)A∪B= {a, b, d, e}

2)A∩B= {b} 3)A= {c, d, e}

4),5)A/B= {a} =A∩B

6),7)(A∪B) ∪C= {a, b, d, e} =A∪ (B∪C) 8),9)(A∩B) ∩C= ∅ =A∩ (B∩C)

10),11)A∩ (B∪C) = {a, b} = (A∩B) ∪ (A∩C) 12),13)A∪ (B∩C) = {a, b, e} = (A∪B) ∩ (A∪C) 14),15)A∪B= {c} =A∩B

16),17)A∩B= {a, c, d, e} =A∪B

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3 Covariance et indépendance

Soit X et Y deux bits

P(X=1, Y =1) = 10⁴, P(X=1, Y =0) = 10², P(X=0, Y =1) = 10³, P(X =0, Y =0) = 10¹

On appelle lois de probabilité marginales, les probabilités respectives de X et Y si on ignore qu'elle forme un couple

P(X=0) = 10⁴, P(X=1) = 10⁶ etP(Y =0) = 10³, P(Y =1) = 10⁷

Covariance de X et Y

Cov(X, Y) =E(XY) −E(X)E(Y) = 10⁴ −10⁶ ×10⁷ ≃ 100⁻²

Y et Y ne sont donc pas indépendantes

4 Variables indépendantes

Y X 0 1 ∑

0 ? ? ₁₂⁴

1 ? ? ₁₂⁸

∑ 12⁹ 3

4 équations, 4 inconnues, on résoud12

3 1 6 2

Covariance Cov(X, Y) = E(XY) −E(X)E(Y) = 12² − 12³ × 12⁸ = 0 X et Y sont donc P- indépendantes

5 Variables corrélées

Y X 1 2 3

1 0 ¹₆ ¹₆ 2 ¹₆ 0 ¹₆ 3 0 ¹₆ ¹₆

Covariance Cov(X, Y) =E(XY) −E(X)E(Y) =2× (⁶6+²6+³6) −2×2=²²6 −4= −¹3

X et Y ne sont donc pas P-indépendantes

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