Correction du TD
I
Soitf la fonction définie surR∗par :f(x)=1 2 µ
x+2 x
¶ . 1. f est dérivable;f′(x)=1
2 µ
x+2×1 x
¶
doncf′(x)=1 2 µ
1+2× µ
− 1 x2
¶¶
=1 2 µ
1− 2 x2
¶
=1 2
µx2−2 x2
¶
= 1 2
Ã(x+p
2)(x−p 2) x2
! .
f³p 2´
=1 2
µp 2+ 2
p2
¶
=1 2
³p 2+p
2´
= p
2 (on dit quep
2 est un point fixe, c’est-à-dire une solution de l’équation f(x)=x)
Tableau de variation :
x −∞ −p
2 0 p
2 +∞
f′(x) + 0 − − 0 +
f(x) ✒
p2
❅❅
❅❘
❅❅
❅
❘p 2
✒
2. On considère la suite (un) définie par :
u0=3
2
un+1=f(un) . (a) u1= 17
12≈1,417 ;u2=f(u1)=f µ17
12
¶
= 577
408≈1,41421568627 (b) Démontrons, par récurrence, que pour toutn∈N, on a :p
2Éun+1ÉunÉ3 2.
• Initialisation: d’après ce qui précède, on ap
2Éu1Éu0É3 2
• Hérédité: on suppose quep
2Éun+1ÉunÉ3
2pour une valeur quelconque den.
D’après le tableau de variation def,f est croisante sur
·p 2 ; 3
2
¸ . On en déduit :f³p
2´
Éf(un+1)Éf(un)Éf µ3
2
¶
, c’est-à-direp
2Éun+2Éun+1É17 12É3
2donc la propriété esthéréditaire.
D’après l’axiome de récurrence, elle est donc vraie pour toutn.
(c) Pour toutn,un+1−p 2=1
2 µ
un− 2 un
¶
−p 2=1
2un+ 1 un −p
2=1 2un+ 1
un− p2
2 − p2
2 =un−p 2
2 −
p2un−2 2un = 1
2
³ un−p
2´
−p 2
Ãun−p 2 2
! .
D’après la questions précédente,unÊp
2, doncun−p 2 2 Ê0.
On en déduit un+1−p 2É1
2
³un−p 2´
.
(d) Montrons, par récurrence, que, pour toutn∈N: 0<un−p 2É
µ1 2
¶n³ u0−p
2´ .
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• Initialisation: pourn=0, 0<u0−p
2 etun−p
2=u0−p 2 et
µ1 2
¶n³ u0−p
2´
=u0−p
2 donc la propriété est vraie.
• Hérédité: on suppose que : 0<un−p 2<
µ1 2
¶n³ u0−p
2´ . D’après la question précédente,un+1−p
2=f(un)−f³p 2´
Êun−p
2 puisquef est croisante sur
·p 2 ; 3
2
¸
etun+1−p 2É1
2
³ un−p
2´ É1
2×
·µ1 2
¶n³ u0−p
2´¸
= µ1
2
¶n+1³ u0−p
2´ . La propriété est héréditaire
On en déduit que la propriété est vraie pour toutn.
(e) −1<1
2<1 donc lim
n→+∞
µ1 2
¶n
=0 donc lim
n→+∞
µ1 2
¶n³ u0−p
2´
=0.
D’après lethéorème des gendarmes, lim
n→+∞
³un−p 2´
=0 d’où lim
n→+∞un=p 2
II Antilles-Guyane juin 2014 On considère la suite (un) définie par
u0=0 et, pour tout entier naturel n,un+1=un+2n+2.
1. u1=u0=2×0+2= 2 etu2=u1+2×1+2= 6. (vérifier les réponses avec le tableau fourni plus loin!)
2. Le second affiche en sortie la valeur deun, la valeur de l’entier naturelnétant entrée par l’utilisateur.
3. Étude de la suite (un) :
(a) La suite (un) semble être croissante.
Démonstration :
un+1−un=un+2n+2−un= 2n+2>0 pour toutnnaturel
(b) La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réelsa,betctels que, pour tout entier natureln, un=an2+bn+c.
u0=a×02+b×0+c=0 u1=a×12+b×1+c=2 u2=a×22+b×2+c=6 ⇐⇒
a+b=2 4a+2b=6
c=0 ⇐⇒
a+b=2 2a+b=3 c=0 ⇐⇒
a=1 b=1 c=0 4. On définit, pour tout entier natureln, la suite (vn) par :vn=un+1−un=2n+2.
(a) C’est une suitearithmétiquede raisonr=2 et de premier termev0=2.
(b) On définit, pour tout entier natureln,Sn=
n
X
k=0
vk=v0+v1+ · · · +vn.
Sn=
n
X
k=0
vk=v0+v1+ · · · +vn=(n+1)v0+n(n+1)
2 ×r=2(n+1)+n(n+1)= (n+1)(n+2) Autre façon :Sn=(n+1)³v0+vn
2
´
=(n+1)
µ2+2n+2 2
¶
=(n+1)2(n+2)
2 = (n+1)(n+2) (c) Démontrer que, pour tout entier natureln,Sn=un+1−u0, puis exprimerunen fonction den.
Sn=(✟u✟1−u0)+(✟u✟2−✟u✟1)+ · · · +(✟u✟n−✘✘un−✘1)+(un+1−✟u✟n)=un+1−u0
Sn−1=un−u0⇐⇒un=Sn−1+u0=n(n+1)+0=n(n+1) Par conséquent : un=n(n+1)
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