Probabilité contrôle - correction
lanquetuit.cyril@gmail.com, Université de Cergy Pontoise
Apprendre, comprendre ses erreurs
1 Ensembles
E= {a, b, c, d, e}, A= {a, b, c}, B= {c, d, e} A∪B=E, A∩B= {c},A¯= {d, e}, A/B= {a, b}
2 Bijection
f ∶R→R, x↦3x+5 est une application bijective donc injective et surjective de réciproque R→R, x↦ x−53
3 Injection
f ∶ R+ → R, x ↦ x+4 est une application injective car strictement croissante mais pas surjective, les réels strictement inférieurs à 4 n'ayant pas d'antécédents, donc pas bijective
4 Cardinaux
Card(E) =Card(A∪A¯) =Card(A) +Card(A¯) −Card(A∩A¯) =Card(A) +Card(A¯) carCard(A∩A¯) =Card(∅) =0 doncCard(A¯) =Card(E) −Card(A)
5 Coecients binômiaux
pCnp= p!×(n−p)!p×n! =n(p−1)!×(n−1−(p−1))!(n−1)! =nCn−1p−1
S=∑n
p=1
pCnp=∑n
p=1
nCn−1p−1=n
n−1
∑
k=0
Cn−1k =n×2n−1
6 Dénombrement
3 lettres distinctes, suivies de 5 chires (26×25×24×105possibilités en tout)
25 seconde lettre, 24 troisième et105nombres possibles pour "commencer par A", soit25×24× 105=6×107
3 positions possibles pour le A donc le triple pour "contient un A", soit18×107
25 seconde lettre, 24 troisième et102nombres possibles pour "commencer par B et nir par 123", soit6×104
1
