Probabilité TD 4 - correction
lanquetuit.cyril@gmail.com, Université de Cergy Pontoise
Ensemble en compréhension
1 Cardinal de l'ensemble des possibles
Jet{pile, f ace}∣w∣ =2 Dé 6{1,2,3,4,5,6}∣w∣ =6 Cnk= ∣w∣k boules parmi n
n× (n−1) ×...× (n−k−1) = (n−k)!n! k boules parmi n, successivement, sans remise nk tirage de k boules parmi n, successivement, avec remise
w=Nsi on compte le nombre de jets nécessaire à obtenir "pile"
w=R+ pour la durée de vie d'un livre Deux dés 6 distinguables∣w∣ =6×6=36 Deux dés 6 identiques∣w∣ =6×5/2+6=21
2 Sous ensembles des chires non nuls w = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A= {2,4,6,8}"est pair"
B= {3,6,9} "multiple de 3"
A¯= {1,3,5,7,9}"impairs"
B¯ = {1,2,4,5,7,8}"pas divisible par 3"
A∪B= {2,3,4,6,8,9}"divisible par 2 ou 3"
A∩B= {6}"divisible par 2 et 3"
A¯∩B= {3,9} "impair divisible par 3"
A∩B¯= {2,4,8} "pair non divisible par 3"
A∪¯B=A¯∩B¯= {1,5,7}"impair non divisible par 3"
A∩¯B=A¯∪B¯= {1,2,3,4,5,7,8,9} "non multiple de 6"
3 Quelques démonstrations
∀A, P(∅) ×P(A) =P(∅) ⇒P(∅) × (P(A) −1) =0 doncA≠E⇒P(∅) =0
P(A) +P(A) −¯ P(A∩A) =¯ P(A) +P(A) −¯ P(∅) =P(A¯∪A) =P(E) =1⇒P(A) =¯ 1−P(A) SiA⊂B, B=A∪(B/A)union disjoint doncP(B) =P(A)+P(B/A) ⇒P(B/A) =P(B)−P(A) ≥ 0
De mêmeP(A/B) =P(A) −P(A∩B)puisque P(A) =P(A∩B) +P(A/A∩B)avecA∩B⊂A P(A∩B) +P(A∪B) =P(A) +P(B)
En remplaçant B par B∪C, il vient P(A∩B) +P(A∩C) −P(A∩B∩C) +P(A∪B∪C) = P((A∩B) ∪ (A∩C)) +P(A∪B∪C) =P(A) +P(B) +P(C) −P(B∩C)doncP(A∪B∪C) = P(A) +P(B) +P(C) −P(A∩B) −P(A∩C) −P(B∩C) +P(A∩B∩C)
Donc si A,B et C sont incompatibles 2 à 2P(A∪B∪C) =P(A) +P(B) +P(C) 1
