ds9-1°STGG-Probabilité avec correction

DS 9 MATHEMATIQUES 1°STGG 2008-2009 Exercice 1 :7points

Une administration emploie 250 personnes classées en trois catégories A, B et C.

32% des employés sont des hommes, (2/5)ème des hommes sont dans la catégorie A et la catégorie C compte 20% du personnel, dont 10 hommes.

Dans la catégorie B, il y a autant de femmes que d’hommes.

Partie A.

1. Remplir le tableau suivant, Justifier vos réponses .

Sexe Catégorie

A B C Total

Femmes Hommes Total

2. On tire au hasard le nom d’un employé, chaque employé ayant la même probabilité d’être choisi.

Soit F l’évènement « la personne choisie est une femme », A l’évènement « le personne choisie est de catégorie A ».

Les probabilités seront exprimées à l’aide de fractions irréductibles puis arrondies au millième.

a. Déterminer les probabilités ^{p A( )} et ^{p F}

 

b. Traduire en français les évènements FA etFA. c. Déterminer les probabilités ^{p F}









d. Exprimer à l’aide des évènements A et F la phrase « être un homme de catégorie B ou C ».

3. Parmi les hommes, déterminer la probabilité d’être de la catégorie C ?

4. Déterminer la probabilité d’être un homme sachant qu’on est de la catégorie C.

Partie B.

On suppose que les personnes de la catégorie A ont une paye de 1100 € par mois,

que ceux de la catégorie B touchent 20% de plus et que ceux de la catégorie C ont 1700 € par mois.

Déterminer le salaire moyen d’une femme dans cette entreprise.

Exercice 2 : 6 points

Voici les résultats d’un sondage effectué au début de l’année 1999 auprès de 2000 personnes, à propos d’Internet :

• 40% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet ;

• 35% des personnes interrogées ont moins de 30 ans et, parmi celles-ci, quatre cinquièmes déclarent être intéressées par Internet ;

• 30% des personnes interrogées ont plus de 60 ans et, parmi celles-ci, 85% ne sont pas intéressées par Internet.

1. Compléter le tableau suivant :

2. On choisit au hasard une personne parmi les 2000 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d’être choisies.

Intéressés par Internet

Ne sont pas intéressés par Internet

Total

Moins de 30 ans De 30 à 60 ans Plus de 60 ans

Total 2000

On considère les événements :

A : « la personne interrogée a moins de 30 ans »,

B : « la personne interrogée est intéressée par Internet ».

(a) Calculer les probabilités ^{P A( )}et ^{P B( )}.

(b) Définir par une phrase l’événement A , puis calculer P A( )

(c) Définir par une phrase l’événement ^A^B, puis calculer ^{P A( B)}. En déduire ^{P A( B)}. 3. On sait maintenant que la personne interrogée est intéressée par Internet.

Quelle est la probabilité qu’elle ait plus de 30 ans ? Exercice 3 : 7 points

On considère un établissement scolaire de 2000 élèves, regroupant à la fois des collégiens et des lycéens.

19% de l'effectif total est en classe de terminale.

Parmi ces élèves de terminale, 55% sont des filles. L'année considérée, le taux de réussite au baccalauréat dans cet établissement a été de 85%.

Parmi les candidats ayant échoué, la proportion des filles a été de ⁸ 19. 1. Compléter le tableau des effectifs suivant :

Après la publication des résultats, on choisit au hasard un élève parmi l' ensemble des élèves de terminale.

On considère les évènements suivants : G: « L'élève est un garçon » ;

On note G l'évènement contraire de G ; R: « L'élève a obtenu son baccalauréat » ; on note R l'évènement contraire de R.

2. Définir par une phrase les évènements suivants : R ; GR.

Dans la suite des questions, on donnera les résultats sous forme de nombre décimal, arrondi à 10^2. 3. Calculer les probabilités des évènements suivants : R ; ^G et GR.

4. Montrer que la probabilité, arrondie à ₁₀^2près, que l'élève soit une fille, sachant qu'elle a obtenu son baccalauréat, est égale à 0,57.

5. Calculer la probabilité, arrondie à₁₀^2près que l'élève a obtenu son baccalauréat, sachant que c’est un garçon

Calculer la probabilité, arrondie à ₁₀^2, que l'élève n’a pas obtenu son baccalauréat, sachant que c’est une fille

Elèves de terminale Garçons Filles TOTAL Réussite au baccalauréat

Echec au baccalauréat 24

TOTAL 380

Exercice 1

Dans une station balnéaire, on a interrogé 600 touristes, français ou étrangers, sur leur séjour.

Tous ont répondu être, soit au camping, soit à l'hôtel, soit en location.

10 % des touristes sont logés à l'hôtel. 40% des touristes étrangers sont dans un camping.

40% des touristes étrangers ont choisi une location. il y a deux fois plus de touristes français en camping qu'en location.

1. a) Sachant que 48 touristes étrangers sont à l'hôtel, montrer que le nombre de touristes étrangers interrogés est 240. En déduire le nombre de

touristes français interrogés.

b) Montrer que le nombre de touristes français en location est 116.

c) Montrer que le nombre de touristes en camping est 328.

d) Reproduire et compléter le tableau suivant :

2. On choisit au hasard une personne parmi les 600 interrogées.

On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.

On considère les évènements :

· A : "La personne interrogée est un touriste étranger".

· B : "La personne interrogée séjourne dans un camping".

a) Calculer les probabilités p(A) et p(B) des événements A et B.

b) Calculer la probabilité p(C) de l'événement C : "La personne interrogée est un touriste étranger et séjourne dans un camping".

c) Calculer la probabilité ^{p A B(  )}de l'évènement AB.

d) On sait que la personne interrogée est en location. Calculer la probabilité qu'elle soit un touriste français.

Exercice 2

Dans un lycée de 1200 élèves, chaque élève étudie, comme première langue, l'allemand, l'anglais ou l'espagnol. Les élèves sont internes, externes ou demi-pensionnaires. La répartition de l'ensemble des élèves est la suivante :

• 15 % étudient l'allemand en première langue et, parmi ceux-là, le tiers est demi-pensionnaire;

• 75 % étudient l'anglais en première langue et, parmi eux, 16 % sont internes ;

• parmi les élèves étudiant l'espagnol en première langue, aucun n'est interne et 20 sont externes.

1. Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant : 2. Dans cette question et les suivantes, les résultats seront donnés sous forme de fraction

irréductible.

On prend, au hasard, un élève parmi les 1 200 élèves du lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d'être choisis.

On considère les événements suivants :

• A : " l'élève est demi-pensionnaire" ;

• B : " l'élève apprend l'anglais comme première langue vivante" ;

• C : " l'élève apprend l'espagnol ou l'allemand comme première langue vivante ".

a) Déterminer la probabilité de chacun des événements A, B et C.

b) Décrire, à l'aide d'une phrase, l'événement A B . Calculer la probabilité de cet événement.

c) Déduire des questions précédentes, la probabilité de l'événementA B . 3. On choisit au hasard un élève parmi les externes.

Calculer alors la probabilité pour que cet élève apprenne l'espagnol

Camping Location Hôtel Total Français

Etrangers 48

Total 600

Nombre d’externes

Nombre de demi- pensionnaires

Nombre d’internes

total

Allemand Anglais 216 Espagnol

Total 300 1200

1. Traduction des données :

- il y a 250 personnes et 32% sont des hommes : 32

250 80

100 . Il y a 80 hommes.

- il y a donc 250 – 80 = 170 femmes.

- 2/5^ème des hommes sont dans la catégorie A : 2

80 32

 5 hommes dans la catégorie A.

- 10 hommes sont dans la catégorie C.

- 20% du personnel, c-à- d 20

250 50

100 personnes sont dans la catégorie C (Total colonne C).

On remplit alors le tableau sachant que dans la catégorie B, il y a autant de femmes que d’hommes.

Sexe Catégorie

A B C Total

Femmes 92 38 40 170

Hommes 32 38 10 80

Total 124 76 50 250

2. On tire au hasard le nom d’un employé, chaque employé ayant la même probabilité d’être choisi.

Soit F l’évènement « la personne choisie est une femme », A l’évènement « le personne choisie est de catégorie A ».

a. 124 62

( ) 0, 496

250 125

A E

p A n

n    . 170 17

( ) 0,68

250 25

F E

p F n

 n    b. FA est l’évènement « être une femme de la catégorie A » et FA est l’évènement « être une femme ou être de la catégorie A ».

c. il y a 92 femmes de la catégorie A donc

 

250 125

F A E

p F A n n

     

d’après le cours,on a ^{p A F(  ) p A}

 

 





donc p A F⁽  ) 0, 496 0, 68 0,368 0,808   

d. Etre un homme est noté _F. Etre de la catégorie B ou C, c’est ne pas être de la catégorie A donc, on le note _A . Etre les deux simultanément est donc noté _FA

3. Parmi les hommes, déterminer la probabilité d’être de la catégorie C ?

Il y a 80 hommes dont 10 de la catégorie C donc

 

80 8

CH

H H

p C n

 n    4. Déterminer la probabilité d’être un homme sachant qu’on est de la catégorie C ?

Il y a 50 personnes de la catégorie C dont 10 hommes donc

 

50 5

HC

C C

p H n

 n    Partie B : il s’agit ici de faire un calcul de moyenne pondérée.

1100€

SA ; 20

1100 1100 1100 220 1320€

B 100

S       et ^S_C ^1700€

Il y a 170 femmes parmi celles-ci : 92 dans la catégorie A , 38 dans la catégorie B et 40 dans la catégorie C Donc La moyenne en Euros est alors donnée par : 1100 92 1320 38 1700 40

1290,35€

F 170

S        .

Exercice 2 1.

Intéressés par Internet Non intéressés par Internet Total

Moins de 30 ans 560 140 700

De 30 à 60 ans 150 550 700

Plus de 60 ans 90 510 600

Total 800 1200 2000

2. a. 700 7

( ) 0,35

2000 20

P A    ; 800 2

( ) 0, 40

2000 5

P B   

b) _A= « la personne interrogée à 30 ans ou plus » donc : P A( ) 1 P A( ) 1 0,35 0,65   .

c)A B = « la personne interrogée à moins de 30 ans et intéressée par Internet »

560

( ) 0, 28

P A B  2000 et P A B⁽  ⁾P A^{( )}P B^{( )}P A B⁽  ) 0,35 0, 40 0, 28 0, 47    .

3. 240

( ) 0,3

P D 800  Exercice 3

Elèves de terminale Garçons Filles Total

Réussite au baccalauréat 138 185 323

Echec au baccalauréat 33 24 57

Total 171 209 380

19

19% 2000 2000 380

de 100  ; 55

55% 380 380 209

de 100  ; 85

85% 380 380 323

de 100 

8 8

57 57 24

19de 19  .

2. Rest l’événement contraire de Rdonc c’est l’événement : « l’élève a échoué à son baccalauréat » GR est l’événement : « l’élève est une fille ayant obtenu son baccalauréat »

3. d’après le tableau , on trouve : ^{( ) 57}

P R 380 c’est-à-dire ^{( ) 57 0,15}

P R 380 et ^{( ) 1 57 323} 380 380 P R    ^{( ) 171 0, 45}

P G 380 et ^{( ) 185 0,49} P GR 380

4.Soit Al’événement : « l’élève soit une fille, sachant qu’elle a obtenu son baccalauréat »

la probabilité que l’élève soit une fille, sachant qu’elle a obtenu son baccalauréat, est, d’après le tableau : ^{P A}

 

5. Soit Bl’événement : « l’élève a obtenu son baccalauréat, sachant que c’est un garçon »

La probabilité que l’élève a obtenu son baccalauréat, sachant que c’est un garçon , d’après le tableau : ^{P B}

 

Soit Cl’événement « l’élève a obtenu son baccalauréat, sachant que c’est une fille »

La probabilité que l’élève a obtenu son baccalauréat, sachant que c’est une fille, d’après le tableau : ^{P C}

 

Exercice 1

1. a) Nombre de touristes étrangers interrogés :

On sait que 40% des touristes étrangers sont dans un camping et que 40% des touristes étrangers ont choisi une location. 20% des touristes étrangers sont donc logés à l'hôtel. Or, on sait que 48 touristes sont à l'hôtel.

nombre de touristes étrangers logés à l'hôtel 20 48 nombre total de touristes étrangers 100

Le nombre de touristes étrangers interrogés est donc^{48 100 240} 20

 

Nombre de touristes français interrogés : 600 touristes sont interrogés. Parmi eux, 240 sont étrangers.

600  240 = 360 touristes français sont donc interrogés.

1. b) Nombre de touristes français en location : On sait que 10% des touristes interrogés sont logés à l'hôtel, soit^{600 10} 60

100

  personnes. Parmi ces 60 personnes, 48 sont des touristes étrangers.

IL y a donc 60 - 48 = 12 touristes français logés à l'hôtel.

Soit x le nombre de touristes français en location. On a alors : 12 + x + 2x = 360

(12 touristes français logés à l'hôtel, x touristes français en location, 2x touristes français en camping et 360 touristes français au total).

3x + 12 = 360 3x = 348 x = 348/3 . x = 116 .Il y a donc 116 touristes français en location.

c) Il y a 2 × 116 = 232 touristes français en camping.

Il y a 40% des touristes étrangers en camping, soit ^{40 240 96} 100

  touristes.

Il y a donc 232 + 96 = 328 touristes en camping.

d) 40% des touristes étrangers sont en location, soit ^{40 240} 96

100

  touristes.

2. a) ^{( )} nombre de touristes etranger ²⁴⁰_{600 5}^{2 0, 4}

p A  nombre total de touristes    soit 40% des touristes .

328 41

0,5467 600 75

B nombre de touristes étrangers en camping

p  nombre total de touristes   

soit 54,67 %des touristes étrangers

b)

 

600 25

C A B nombre de touristes étrangers et en camping

p p

nombre total de touristes

     

2. c) 2 41 4 15 41 4 59

( ) ( ) ( ) ( )

5 75 25 75 75

p A B  p A p B p A B       

2. d) Probabilité pour que la personne interrogée résidant en location soit un touriste français :

116 29

0,5472 212 53

A nombre de touristes résidents français en location

p  nombre total de touristes résidents en location    Exercice 2 :

1.• 15 % étudient l'allemand en première langue soit 15 1200/100 = 180 élèves et, parmi ceux-là, le tiers est demi-pensionnaire soit 180/3 = 60 élèves.

• 75 % étudient l'anglais en première langue soit 75 1200/100 = 900 élèves et, parmi eux, 16 % sont internes 16 900/100 = 144 élèves.

• parmi les élèves étudiant l'espagnol en première langue, aucun n'est interne et 20 sont externes.

2. On considère les événements suivants:

• A : " l'élève est demi-pensionnaire" ;

• B : " l'élève apprend l'anglais comme première langue vivante" ;

• C : " l'élève apprend l'espagnol ou l'allemand comme première langue vivante ".

a) Déterminer la probabilité de chacun des

Camping Location Hôtel Total

Français 232 116 12 360

Etrangers 96 96 48 240

Total 328 212 60 600

Nombre d’externes

Nombre de demi-

pensionnaires

Nombre d’internes

total

Allemand 64 60 56 180

Anglais 216 540 144 900

Espagnol 20 100 0 120

Total 300 700 200 1200

événements A, B et C.

^{( )} nombre d éléments de A^' _{1200 12}^{700 7}

p A nombre de cas possibles   . ' 900 9 3

( ) 1200 12 4

nombre d éléments de B

p B  nombre de cas possibles    l’événement C est l’événement « l'élève apprend l'espagnol ou l'allemand comme première langue vivante ».

Donc le nombre d’éléments de C est égal à n_C 180 120 320 

Donc ' 300 3 1

( ) 1200 12 4

nombre d éléments de C

p C  nombre de cas possibles   

b) A B : " l'élève est demi-pensionnaire et apprend l'anglais comme première langue vivante "

^{( ) ( ) 540 9}

1200 20 nA B

p B nombre de cas possibles

    .

c) 7 3 9 35 45 27 53

( ) ( ) ( ) ( )

12 4 20 60 60

p A B  p A  p B p A B        .

3. Il y a 300 externes et parmi ceux ci 20 ont choisi l'espagnol comme première langue vivante donc Soit D l’événement « élève apprenne l'espagnol comme première langue vivante sachant qu'il est externe » .

la Probabilité de D est onc : ' 20 1

( ) ' 300 15

nombre d éléments de D

p D  nombre d élèves externes   .

4. Il y a 180 élèves qui ont choisi l'allemand comme première langue et parmi ceux ci 64 sont externes.

Soit E l’événement «L’ élève soit externes sachant qu'il apprend l'allemand comme première langue vivante » ,donc la probabilité pour que l'élève soit externe sachant qu'il apprend l'allemand comme

première langue vivante, est ' 64 16

( ) ' 180 45

nombre d éléments de E

p D  nombre d élèves Germanistes  