I. Probabilités conditionnelles.

1 spé Probabilités conditionnelles COURS 1/5

PROBABILITES CONDITIONNELLES. INDEPENDANCE

Dans ce chapitre, e  e  e n  est un ensemble fini.



I. Probabilités conditionnelles.

On considère un ensemble sur lequel est définie une probabilité P, et deux événements A et B de .

Définition : Si P(B )  0, on appelle

Exemple : Dans un groupe de personnes, 30% sont des hommes et 70% sont des femmes.

25% des hommes et 10% des femmes pratiquent la musique.

On choispésit une personne du groupe au hasard, toutes les personnes ayant la même probabilité d être choisies, et on définit les événements suivants :

H : "la personne est un homme"

M : "la personne pratique la musique"

Interpréter sous forme de probabilités les nombres de l énoncé.

Exemple : Dans une classe, il y a 15 filles et 15 garçons. 12 filles et 2 garçons ont les cheveux longs. On choisit un élève de la classe au hasard, tous les élèves ayant la même probabilité d être choisies, et on définit les événements suivants :

F : "l élève est une fille"

L : "l élève a les cheveux longs"

Déterminer P (F L), P F (L ) et P L ( F).

Propriétés admises : Si P( B) ≠ 0 :

 0 P B (A ) 1

 P B ( ) ^e 1 P _B ( ) ^e 2 ... P _B ( ) ^e n P _B ( ) 1

 P B (B ) P( B B ) P( B)

P (B ) P (B ) 1

 P B ( ) ^{A 1 P} B ( A)

 Si A et B sont incompatibles (AB = ), alors P B (A) = 0.

Conséquence : Si P(A ) ≠ 0 et P( B) ≠ 0, ………...

Exemple : On choisit au hasard une personne parmi la clientèle d un magasin, toutes les personnes ayant la même probabilité d être choisies. On note A l événement : "la personne a effectué un achat" et F l événement : "la personne est une femme".

On sait que P (A ) 0,72 ; P A ( F) 0,75 et P F (A) 0,9.

1. Interpréter par des phrases les données de l énoncé.

2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme ayant effectué un achat.

3. Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme.

II. Arbres pondérés.

1. Construction d un arbre.

Une expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré constitué de tous les chemins complets possibles.

Un arbre pondéré se construit et se lit de gauche à droite.

Au 1 ^er niveau de l’arbre, on indique les probabilités des événements A, B et C ; au second niveau les probabilités conditionnelles.

La somme des probabilités marquées sur des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

Exemple :

Dans une animalerie, il n’y a que deux aquariums, l’aquarium A, qui contient 5 poissons rouges et 6 poissons noirs et l’aquarium B qui contient 9 poissons rouges et 3 noirs.

Un client vient acheter un poisson. Il choisit un aquarium puis laisse un vendeur pêcher au hasard un poisson. Les deux aquariums sont placés de telle manière que la probabilité que le client choisisse l’aquarium A est 

 et on suppose que dans chaque aquarium, chaque poisson a autant de chances d’être pêché.

On peut représenter la situation par un arbre pondéré :

2. Formule des probabilités totales.

1 spé Probabilités conditionnelles COURS 3/5

Définition : Si l univers d une expérience aléatoire est la réunion d événements A 1 ; A 2 ; ... A n

d événements deux à deux incompatibles, on dite que A 1 ; A 2 ; ... A n forment une partition de .

Formule des probabilités totales (admise) : Pour tout événement B, on a alors

On reprend l exemple précédent.

Interprétation avec l arbre :

 La probabilité d’un événement qui correspond à un chemin est le produit des probabilités inscrites sur ce chemin.

 La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des branches aboutissant à cet événement.

Exemple 2 : Un sac contient des jetons de trois couleurs, la moitié de blancs, le tiers de verts et le sixième de jaunes. 50% des jetons blancs sont ronds, 30% des jetons verts sont ronds et 40% des jetons jaunes sont ronds. Tous les autres jetons sont carrés. On tire un jeton au hasard.

1. Représenter la situation par un arbre de probabilités.

2. Quelle est la probabilité pour que le jeton tiré soit rond ?

3. Sachant que le jeton est rond, quelle est la probabilité qu’il soit blanc ?

III. Indépendance.

1. Événements indépendants.

Définition : On dit que deux événements A et B sont ……….

lorsque ………

Soient A et B deux événements de probabilités non nulles.

A et B sont indépendants ssi ……….

ssi ………..

ssi ………..

On a donc :

Conséquence : Soient A et B deux événements de probabilités non nulles.

Les événements A et B sont indépendants ssi P(A) = P B (A).

ssi P(B) = P A (B) (se démontre de même)

Deux événements sont indépendants si la réalisation ou non de l un ne modifie pas la probabilité de l autre.

Exemple :

On dispose d une urne contenant trois boules rouges numérotées 1 ; 2 et 3 et six boules noires numérotées 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 et 3. On choisit une boule au hasard dans l urne.

On considère les événements suivants : R : "tirer une boule rouge"

N : "tirer une boule noire"

P : "tirer une boule dont le numéro est pair"

U : "tirer une boule dont le numéro est 1"

1. Les évènements R et N sont-ils indépendants ? 2. Les évènements R et P sont-ils indépendants ? 3. Les évènements R et U sont-ils indépendants ?

Propriété admise : Si les événements A et B sont indépendants, alors ……….

2. Épreuves indépendantes.

1 spé Probabilités conditionnelles COURS 5/5 On appelle succession de deux épreuves identiques et indépendantes la répétition à l identique d une expérience aléatoire deux fois, les résultats de la première épreuve n influençant pas ceux de la seconde.

Exemple : Les expériences ci-dessous sont-elles des successions de deux épreuves indépendantes ? 1. on lance deux fois un dé équilibré à 6 faces.

2. on lance un dé puis une pièce.

3. une urne contient des jetons numérotés de 1 à 5. On choisit un jeton, on note son numéro, on le remet dans l urne puis on choisit à nouveau un jeton.

4. une urne contient des jetons numérotés de 1 à 5. On choisit un jeton, on note son numéro, on le pose à côté de l urne puis on choisit à nouveau un jeton.

Pour représenter une succession de deux épreuves identiques et indépendantes, on peut utiliser un arbre.

Les probabilités restent les mêmes entre le premier et le deuxième niveau de l arbre.

Exemple : Une urne contient deux boules vertes et quatre boules rouges. On choisit successivement et avec remise deux boules de l urne.

On note R 1 l événement : la boule choisie au 1 ^er tirage est rouge et R 2 l événement ; "la boule choisie au 2 ^ème tirage est rouge".

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que les deux boules choisies soient rouges.

3. Calculer la probabilité que les deux boules choisies soient de la même couleur.