Formules de probabilités de première année
1) Probas conditionnelles
La probabilité conditionnelle de ܤ sachant ܣ est le nombre noté ܲ(ܤ) et défini par : ܲ(ܤ) =ܲ(ܣ ∩ ܤ)
ܲ(ܣ) . 2) Formule des probabilités composées
Soient ܣ et ܤ deux événements avec ܲ(ܣ) ≠ 0 et ܲ(ܤ) ≠ 0.
ܲ(ܣ ∩ ܤ) peut se calculer de deux façons : 1) ܲ(ܣ ∩ ܤ) = ܲ(ܣ) × ܲ(ܤ)
2) ܲ(ܣ ∩ ܤ) = ܲ(ܤ) × ܲ(ܣ)
Généralisation : Dans le cas où ܲ(ܣଵ∩ ܣଶ∩ ܣଷ ∩ … ∩ ܣ) ≠ 0 :
ܲ(ܣଵ∩ ܣଶ∩ ܣଷ∩ … ∩ ܣ) = ܲ ൭ሩ ܣ
ୀଵ
൱
= ܲ(ܣଵ) × ܲభ(ܣଶ) × ܲభ∩మ(ܣଷ) × … × ܲభ∩మ∩…∩షభ(ܣ)
Dans le cas d’indépendance des événements, cette formule est beaucoup plus simple :
ܲ(ܣଵ∩ ܣଶ∩ ܣଷ∩ … ∩ ܣ) = ܲ(ܣଵ) × ܲ(ܣଶ) × ܲ(ܣଷ) × … × ܲ(ܣ) 3) Formule des probabilités totales
Soient ݊ événements ܣଵ, ܣଶ, … , ܣ constituant une partition de l’univers E.
Pour tout événement ܤ, on a :
ܲ(ܤ) = ܲ(ܣଵ∩ ܤ) + ܲ(ܣଶ∩ ܤ) + ⋯ + ܲ(ܣ ∩ ܤ) = ܲ(ܣ ∩ ܤ)
Ou encore : ୀଵ
ܲ(ܤ) = ܲ(ܣଵ) × ܲభ(ܤ) + ܲ(ܣଶ) × ܲమ(ܤ) + ⋯ + ܲ(ܣ) × ܲ(ܤ) = ܲ(ܣ) × ܲೖ(ܤ)
ୀଵ
4) Formule de Bayes Formule de Bayes :
Soient ݊ événements ܣଵ, ܣଶ, … , ܣ constituant une partition de l’univers Ω. Pour tout événement ܤ de probabilité non nulle, on a :
ܲ(ܣ) = ܲ(ܣ) × ܲ(ܤ)
ܲ(ܣଵ) × ܲభ(ܤ) + ܲ(ܣଶ) × ܲమ(ܤ) + ⋯ + ܲ(ܣ) × ܲ(ܤ)
C’est une conséquence directe de la formule du 1) et de la formule des probas totales (au dénominateur), très pratique pour inverser un conditionnement : on connait ܲ(ܤ) et on cherche ܲ(ܣ).
