Probabilités Conditionnelles
1. Définition
Soit U un ensemble sur lequel est définie une probabilité p et A et B deux événements de U avec p(B)6= 0. On appelleprobabilité conditionnelle de A sachant que B est réaliséou plus simplement probabilité de A sachant B le nombre, noté pB(A) ou p(A/B), défini par :
pB(A) = p(A∩B) P(B) 2. Exemple
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes avec équiprobabilité.
A est l’événement : "C’est un coeur" p(A) = 8 32 = 1
4 B est l’événement : "C’est une carte rouge" p(B) = 16
32 C est l’événement : "C’est une dame" p(C) = 4 32 On a : pB(A) = p(A∩B)
P(B) = p(A) p(B) = 1
2
Le fait de savoir que la carte tirée est rouge multiplie par 2 la probabilité pour le joueur de tirer un coeur.
pC(A) = p(A∩C)
P(C) = p("c’est la dame de coeur")
p(C) = 1
4
La connaissance de l’événement C ne modifie pas pour l’observateur la probabilité de réalisa- tion de A.
3. Définition
Deux événements A etB sont indépendants lorsque : p(A∩B) =p(A)×p(B) 4. Remarque
Lorsque p(A)6= 0 et p(B)6= 0,
p(A∩B) =p(A)×p(B) si et seulement si pA(B) = p(B)(ou pB(A) =p(A)) 5. Formule des probabilités totales
A et B sont deux événements de U tels que p(B)6= 0, p(B)6= 0 On a alors :
p(A) =p(A∩B) +p(A∩B) =p(B)×pB(A) +p(B)×pB(A)
En général, si U est la réunion des événements B1, B2, ..., Bn, deux à deux incompatibles on a alors pour tout événement A :
p(A) =p(A∩B1) +p(A∩B2) +...+p(A∩Bn) (1)
=p(B1)×pB1(A) +p(B2)×pB2(A) +...+p(Bn)×pBn(A) (2)
1
6. Indépendance et événements contraires
Si A etB sont indépendants alors il en est de même pour les événements : 1) A etB
2)A etB 3)A etB
Démonstration ROC
1) A etB indépendants donc : p(A∩B) =p(A)×p(B).
D’après la formule des probabilités totales : p(B) =p(A∩B) +p(A∩B).
D’où : p(A∩B) =p(B)−p(A∩B) =p(B)−p(A)×p(B) = (1−p(A))×p(B) =p(A)×p(B) donc : A et B sont indépendants.
2) et 3) Exercice
7. Exemple La population d’un lycée est formée de 42% de garçons et 58% de filles. Parmi les garçons 15% appartiennent au club informatique et parmi les filles 6%. On choisit un élève au hasard.
1) Quelle est la probabilité pour qu’il appartienne au club informatique ?
2) En sachant qu’un élève appartient au club informatique, quelle est la probabilité qu’il soit un garçon ?
Solution
On peut utiliser un arbre pondéré.
b b
G p(G) = 0,42
b I
pG(I) = 0,15
b I
pG(I) = 0,85
b
G p(G) = 0,58
b I
pG(I) = 0,06
b I
pG(I) = 0,94
1) p(I) =p(G)×pG(I) +p(G)×pG(I) = 0,42×0,15 + 0,58×0,06 = 0,0978
2) pI(G) = p(G∩I)
p(I) = p(G)×pG(I)
p(I) = 0,063
0,0978 = 0,6442 8. Utilisation des arbres pondérés
(a) La somme des probabilités sur les branches partant d’un même noeud vaut 1.
(b) La probabilité d’un événement représenté par un chemin est égale au produit des probabilités sur les branches de ce chemin.
(c) La probabilité d’un événement I est la somme des probabilités des événements associés aux chemins qui menent à I.
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