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Probabilités conditionnelles Indépendance
Pour reprendre contact no1 à 3 p 371
I. Probabilités conditionnelles
Activité no1 p 372
Définition 1
SoientAetB deux événements,B étant de probabilité non nulle.
Laprobabilité deAsachantB est le nombre notéPB(A) défini par :
PB(A)=P(A∩B) P(B) Propriétés 1
SiAetB sont deux événements de probabilités non nulles.
âP(A∩B)=PB(A)×P(B)
âP(A∩B)=PA(B)×P(A)
Illustration sur un arbre de probabilité
Exercices no7 - 8 - 10 p 383
II. Conditionnement et arbre de probabilité
Règle de construction et utilisation des arbres pondérés
¶ La somme des probabilités sur les branches partant d’un même noeud vaut 1. (Loi des noeuds)
· La probabilité d’un événement représenté par un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin. (Loi des chemins)
¸ La probabilité d’un événement E est la somme des probabilités des événements associés aux chemins qui mènent à E. P(E)=P(A1∩E)+P(A2∩E)+ · · · +P(An∩E)
Propriété 2 Formule des probabilités totales
Quand des événements de probabilité non nulle : A1,A2, . . . ,An sont deux à deux incompatibles et ont pour réunion l’universΩ, on dit qu’ils forment une partition deΩ.
Pour tout événementE, on a :P(E)=PA1(E)×P(A1)+PA2(E)×P(A2)+ · · · +PAn(E)×P(An)
Exercices no5 - 6 - 9 - 12 - 13 p 383 - 384 Exercices no14 - 16 à 23 p 384 - 386
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III. Événements indépendants Propriété 3
SoitΩun univers etP une loi de probabilité surΩ.
SiAetB sont deux événements de probabilités non nulles, les trois propositions suivantes sont équi- valentes :
(1)P(A∩B)=P(A)×P(B) (2)PA(B)=P(B)
(3)PB(A)=P(A) Définition 2
SoitΩun univers etP une loi de probabilité surΩ.
Deux événementsAetB sontindépendantsrelativement à la probabilitéP si, et seulement si, P(A∩B)=P(A)×P(B).
Remarques
âNe pas confondre «AetB indépendants » et «AetB incompatibles ».
AetB sontincompatiblessignifie queA∩B= ;.
âSiP(A)6=0, dire queAetB sont indépendants signifie quePB(A)=P(A).
Propriété 4
SoitΩun univers etP une loi de probabilité surΩ.
SiAetB sont deux événements indépendants, alors (1)A¯etB sont indépendants.
(2)Aet ¯B sont indépendants.
(3)A¯et ¯B sont indépendants.
Démonstration ROC
(1)Aet ¯Aforment une partition de l’universΩ, on a doncP(B)=P(A∩B)+P( ¯A∩B) D’oùP( ¯A∩B)=P(B)−P(A∩B).
OrAetBétant indépendants,P(A∩B)=P(A)×P(B).
D’où,P( ¯A∩B)=P(B)−P(A)×P(B)=P(B) [1−P(A)]=P(B)×P( ¯A) Donc ¯AetBsont indépendants.
(2) Même type de démonstration.
(3) Même type de démonstration.
Exercices no24 à 26 - 28 - 31 à 32 p 386 - 387 Exercices no56 - 60 à 65 p 390 - 391
Exercices no67 à 70 p 392 - 394 Entrainement no27 - 30 - 57 - 59 p 387 - 390
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