Probabilités Conditionnelles / Combinaisons et probabilité / Loi Binomiale

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TS Probabilités Conditionnelles / Combinaisons et probabilité / Loi Binomiale 2010-2011

EXERCICE 1 :

Un cirque possède 10 fauves dont 4 lions. Pour chaque représentation, le dompteur choisit 5 fauves au hasard.

soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de lions présentés au cours d’une représentation.

1. Combien de groupes de 5 fauves le dompteur peut-il constituer ?

2. (a) Combien de groupes de 5 fauves comportant 2 lions peut-il former ? (b) En déduire p(X = 2)

3. Déterminer la loi de probabilité de X (résultats sous forme de fractions) 4. Calculer l’espérance mathématique de X

EXERCICE 2 : Le "Loto National".

Nous ne considérons ici que des tirages de 5 numéros parmi 1,2,...,49.

1. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : E 1 :"Le tirage ne comporte que des nombres pairs."

E 2 :"Le tirage comporte les numéros fétiches de Marcel : 29 et 6."

E 3 :"Un même numéro (au moins) est dans les deux tirages suivants."

2. Peut-on dire qu’en moyenne, un numéro donné apparaît dans un tirage 1 fois sur 10 ? EXERCICE 3 : type bac

Dans un zoo, l’unique activité d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique équipé d’un toboggan et d’un plongeoir.

On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu’il le reprenne est 0, 3.

Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu’il le reprenne est 0, 8.

Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d’être choisis.

Pour tout entier naturel n non nul, on considère l’évènement :

• T ⁿ : « le manchot utilise le toboggan lors de son n-ième passage. »

• P ⁿ : « le manchot utilise le plongeoir lors de son n-ième passage. » On considère alors la suite (u ⁿ ) définie pour tout entier naturel n > 1 par :

u n = p (T n )

où p (T n ) est la probabilité de l’évènement T n .

1. (a) Donner les valeurs des probabilités p (T 1 ) , p (P 1 ) et des probabilités conditionnelles p T

₁

(T 2 ) , p P

₁

(T 2 ).

(b) Montrer que p (T 2 ) = 1 4 .

(c) Recopier et compléter l’arbre suivant :

b

T n

u n

T n+1

. . .

P n+1

. . .

P n

. . . . . . T n+1

P n+1

. . . (d) Démontrer que pour tout entier n > 1, u n+1 = 0, 1u n + 0, 2.

(e) À l’aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite (u n ).

2. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n > 1 par :

v ⁿ = u ⁿ − 2 9 .

(a) Démontrer que la suite (v n ) est géométrique de raison 1

10 . Préciser son premier terme.

(b) Exprimer v n en fonction de n. En déduire l’expression de u n en fonction de n.

(c) Calculer la limite de la suite (u n ). Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1. e. ?

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(2)

TS Probabilités Conditionnelles / Combinaisons et probabilité / Loi Binomiale 2010-2011

EXERCICE 4 : type bac

On considère un questionnaire comportant cinq questions.

Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites (A, B et C), une seule d’entre elles étant exacte.

Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres.

Par exemple, le mot « BBAAC » signifie que le candidat a répondu B aux première et deuxième questions, A aux troisième et quatrième questions et C à la cinquième question.

1. (a) Combien y-a-t’il de mots-réponses possible à ce questionnaire ?

(b) On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.

Calculer la probabilité des événements suivants : E : « le candidat a exactement une réponse exacte ».

F : « le candidat n’a aucune réponse exacte ».

G : « le mot-réponse du candidat est un palindrome » (On précise qu’un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche : par exemple, « BACAB » est un palindrome).

2. Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire. On désigne par X le nombre d’élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte.

(a) Justifier que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 28 et p = 32 243 . (b) Calculer la probabilité, arrondie à 10 ⁻ ² , qu’au plus un élève n’ait fourni que des réponses fausses.

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EXERCICE 1 :

Un cirque possède 10 fauves dont 4 lions. Pour chaque représentation, le dompteur choisit 5 fauves au hasard.

soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de lions présentés au cours d’une représentation.

1. Combien de groupes de 5 fauves le dompteur peut-il constituer ?

2. (a) Combien de groupes de 5 fauves comportant 2 lions peut-il former ? (b) En déduire p(X = 2)

3. Déterminer la loi de probabilité de X (résultats sous forme de fractions) 4. Calculer l’espérance mathématique de X

EXERCICE 2 : Le "Loto National".

Nous ne considérons ici que des tirages de 5 numéros parmi 1,2,...,49.

1. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : E 1 :"Le tirage ne comporte que des nombres pairs."

E 2 :"Le tirage comporte les numéros fétiches de Marcel : 29 et 6."

E 3 :"Un même numéro (au moins) est dans les deux tirages suivants."

2. Peut-on dire qu’en moyenne, un numéro donné apparaît dans un tirage 1 fois sur 10 ? EXERCICE 3 : type bac

Dans un zoo, l’unique activité d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique équipé d’un toboggan et d’un plongeoir.

On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu’il le reprenne est 0, 3.

Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu’il le reprenne est 0, 8.

Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d’être choisis.

Pour tout entier naturel n non nul, on considère l’évènement :

• T n : « le manchot utilise le toboggan lors de son n-ième passage. »

• P n : « le manchot utilise le plongeoir lors de son n-ième passage. » On considère alors la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n > 1 par :

u n = p (T n )

où p (T n ) est la probabilité de l’évènement T n .

1. (a) Donner les valeurs des probabilités p (T 1 ) , p (P 1 ) et des probabilités conditionnelles p T

(T 2 ) , p P

(T 2 ).

(b) Montrer que p (T 2 ) = 1 4 .

(c) Recopier et compléter l’arbre suivant :

T n

u n

T n+1

. . .

P n+1

. . .

P n

. . . . . . T n+1

P n+1

. . . (d) Démontrer que pour tout entier n > 1, u n+1 = 0, 1u n + 0, 2.

(e) À l’aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite (u n ).

2. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n > 1 par :

v n = u n − 2 9 .

(a) Démontrer que la suite (v n ) est géométrique de raison 1

10 . Préciser son premier terme.

(b) Exprimer v n en fonction de n. En déduire l’expression de u n en fonction de n.

(c) Calculer la limite de la suite (u n ). Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1. e. ?

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EXERCICE 4 : type bac

On considère un questionnaire comportant cinq questions.

Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites (A, B et C), une seule d’entre elles étant exacte.

Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres.

Par exemple, le mot « BBAAC » signifie que le candidat a répondu B aux première et deuxième questions, A aux troisième et quatrième questions et C à la cinquième question.

1. (a) Combien y-a-t’il de mots-réponses possible à ce questionnaire ?

(b) On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.

Calculer la probabilité des événements suivants : E : « le candidat a exactement une réponse exacte ».

F : « le candidat n’a aucune réponse exacte ».

G : « le mot-réponse du candidat est un palindrome » (On précise qu’un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche : par exemple, « BACAB » est un palindrome).

2. Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire. On désigne par X le nombre d’élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte.

(a) Justifier que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 28 et p = 32 243 . (b) Calculer la probabilité, arrondie à 10 − 2 , qu’au plus un élève n’ait fourni que des réponses fausses.

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• T ⁿ : « le manchot utilise le toboggan lors de son n-ième passage. »

• P ⁿ : « le manchot utilise le plongeoir lors de son n-ième passage. » On considère alors la suite (u ⁿ ) définie pour tout entier naturel n > 1 par :

v ⁿ = u ⁿ − 2 9 .

(a) Justifier que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 28 et p = 32 243 . (b) Calculer la probabilité, arrondie à 10 ⁻ ² , qu’au plus un élève n’ait fourni que des réponses fausses.