TS 8 DS 4 : Probabilit´es et fonction exponentielle 9 d´ecembre 2015 Dur´ee 2 heures. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Restitution organis´ee des connaissances (15 minutes) (3 points) L’objet de cette question est de d´emontrer que lim
x→+∞ex= +∞.
On supposera connus les r´esultats suivants :
• la fonction exponentielle est d´erivable surRet est ´egale `a sa fonction d´eriv´ee ;
• e0= 1 ;
• pour tout r´eel x, on a ex>0.
• Pour toutxe−x= 1 ex
• Soient deux fonctionsϕet ψd´efinies sur l’intervalle [A; +∞[ o`uAest un r´eel positif.
Si pour toutxde [A ; +∞[,ψ(x)6ϕ(x) et si lim
x→+∞ψ(x) = +∞, alors lim
x→+∞ϕ(x) = +∞.
1. Montrer que lim
x→+∞ex= +∞ 2. En d´eduire que lim
x→−∞ex= 0
Exercice 2 : Exercices classiques (15 minutes) (4 points)
1. R´esoudre e3x+5>1 2. Calculer lim
x→+∞
ex+ 1 ex+x 3. Calculer lim
x→+∞
ex x2
4. Donner sans justification la d´eriv´ee def d´efinie surRparf(x) = ex2 5. Dresser le tableau de variations deg:x7→xe−x sur [0; 5]
Exercice 3 : Probl`eme 1 : Probabilit´e (45 minutes) (7 points)
Dans un zoo, l’unique activit´e d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique ´equip´e d’un toboggan et d’un plongeoir.
On a observ´e que si un manchot choisit le toboggan, la probabilit´e qu’il le reprenne est 0,3.
Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilit´e qu’il le reprenne est 0,8.
Lors du premier passage les deux ´equipements ont la mˆeme probabilit´e d’ˆetre choisis.
On choisit au hasard un manchot dans un zoo.
Pour tout entier naturelnnon nul, on consid`ere l’´ev`enement :
— Tn :le manchot utilise le toboggan lors de sonn-i`eme passage.
— Pn :le manchot utilise le plongeoir lors de son n-i`eme passage.
On consid`ere alors la suite (un) d´efinie pour tout entier naturel n>1 par : un =p(Tn), o`u p(Tn) est la probabilit´e de l’´ev`enement Tn.
1. (a) Donner les valeurs des probabilit´es p(T1), p(P1) et des probabilit´es conditionnelles pT1(T2), pP1(T2) puis illustrer le tout `a l’aide d’un arbre pond´er´e.
(b) Montrer que p(T2) =1 4.
(c) Les ´ev´enementsT1 etT2 sont-ils ind´ependants ?
(d) Sachant que le manchot a utilis´e le tobogan lors du 2`eme passage, quelle est la probabilit´e qu’il ait utilis´e le tobogan lors du 1er passage ?
2. D´emontrer que pour tout entiern>1, un+1= 0,1un+ 0,2.
3. On consid`ere la suite (vn) d´efinie pour tout entier natureln>1 par :vn=un−2 9. (a) D´emontrer que la suite (vn) est g´eom´etrique de raison 1
10. Pr´eciser son premier terme.
(b) Exprimervn en fonction den. En d´eduire l’expression deun en fonction den.
(c) Calculer la limite de la suite (un).
TS 8 DS 4 : Probabilit´es et fonction exponentielle, Page 2 sur 2 2015-2016 4. L’algorithme ci-dessous permet de d´eterminer la plus petite valeur de n`a partir de laquelleun−29 est inf´erieur `a
0,001.
(a) Compl´eter les parties manquantes de cet algorithme.
Variables : nest un entier naturel uest un r´eel
Initialisation : Affecter `a nla valeur 0 Affecter `a ula valeur 185
Traitement : Tant que . . . , faire : Affecter `a ula valeur . . . . Affecter `a nla valeur . . . . Fin Tant que
Sortie : Afficher . . . . (b) Expliquer pourquoi cet algorithme s’arrˆete.
5. Un zoo va ouvrir `a Saint-Cloud. Le nouveau propri´etaire souhaite installer de nouveaux manchots.
Il choisit de fa¸con al´eatoire dans les zoo du monde 36 manchots. On admettra que ce pr´el`evement revient `a effectuer un tirage avec remise de 36 manchots parmi l’ensemble des manchots de zoo.
On appelleX la variable al´eatoire ´egale au nombre de manchots qui utilisent le tobogan lors du second plongeon.
(a) Justifier queX suit une loi binomiale, dont on pr´ecisera les param`etres.
(b) D´eterminer l’esp´erance et l’´ecart-type deX.
Exercice 4 : Probl`eme 2 : Fonction exponentielle (45 minutes) (6 points) Partie 1
Soitg la fonction d´efinie sur [0 ; +∞[ parg(x) = ex−xex+ 1.
1. D´eterminer la limite deg en +∞.
2. Dresser le tableau de variations deg.
3. (a) D´emontrer que l’´equationg(x) = 0 admet sur [0 ; +∞[ une unique solution. On noteαcette solution.
(b) `A l’aide de la calculatrice, d´eterminer un encadrement d’amplitude 10−2 deα.
(c) D´emontrer que eα= 1 α−1.
4. D´eterminer le signe de g(x) suivant les valeurs dex.
Partie 2
SoitA la fonction d´efinie et d´erivable sur [0 ; +∞[ telle queA(x) = 4x ex+ 1.
1. D´emontrer que pour tout r´eelxpositif ou nul,A0(x) a le mˆeme signe queg(x), o`u gest la fonction d´efinie dans la partie 1.
2. En d´eduire les variations de la fonction Asur [0 ; +∞[.
Partie 3
On consid`ere la fonction f d´efinie sur [0 ; +∞[ par f(x) = 4
ex+ 1.
On note (C) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere ortho- norm´e
O,−→ ı ,−→
.
La figure est donn´ee ci-contre :
Pour tout r´eel xpositif ou nul, on note : M le point de (C) de coordonn´ees (x; f(x)), P le point de coordonn´ees (x; 0),
Qle point de coordonn´ees (0 ; f(x)).
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5 1 1.5 2
O C
1. D´emontrer que l’aire du rectangleOP M Q est maximale lorsqueM a pour abscisseα.
On rappelle que le r´eelαa ´et´e d´efini dans la partie 1.
2. Le pointM a pour abscisseα.
La tangente (T) enM `a la courbe (C) est-elle parall`ele `a la droite (P Q) ?
Dans cette question, toute trace de recherche, mˆeme incompl`ete, ou d’initiative, mˆeme non fructueuse, sera prise en compte dans l’´evaluation.
