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Physique du boson W-prime au LHC : calcul de précision a l'ordre NLO en QCD

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Academic year: 2021

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(1)

REPUBUQUE ALGERlENNE OEMOCRATIQUE ET POPUlAlRE

MlNlSTERE OE VENSElGNEMENT SUPERlEUR ET OE LA RECHERCHE SOENTIFIQUE

N° d'ordre:

Serie: ... .

UN1VERS1TE MOHAMED SEOOlK BEN YAHlA - JlJEL

FACUL TE DES SOENCES EXACfES ET 1NFORMA11QUE OEPARTFMENT OE PHYSlQUE

MEMO IRE

presente pour obtenir le diplome de master Filiere : physique

Specialite : Physique Theorique Presente par

Rekaik Chahra

lntitule

Physique du boson W-prime au LHC : calcul de precision

a

l'ordre NLO en QCD

Soutenue le: 30/06/2018

Devant le i.!!!Y:

President: DJ. Bouaziz Prof. Univ. MSBY, Jijel Rapporteur : M. S. Zidi MCB. Univ. MSBY, Jijel Examinateur : A. Ahriche Prof. Univ. MSBY, Jijel

....

セゥ@

(2)

I ... PNq N セN\ャZᆪ@ .... : セセi@

REPUBUQUE ALGERlENNE DfMOCRATIQUE ET POPULAlRE

MlNlSTERE DE L 'ENSElGNfMENT SUPERlEUR ET DE LA RECHERCHE SOENTIFIQUE

N° d'ordre:

Serie: ... .

UN1VERS1TE MOHAMED SEDDIK BEN YAHlA - JlJEL

FACUL TE DES SOENCES EXACTES ET lNFORMATIQUE DEPARTFMENT DE PHYSIQUE

MEMO IRE

presente pour obtenir le diplome de master Filiere : physique

Specialite : Physique Theorique Presente par

Rekaik Chahra

lntitule

Physique du boson W-prime au LHC : calcul de precision

a

l'ordre NLO en QCD

Soutenue le : 30/06/2018

Devant le jury:

President: DJ. Bouaziz Prof. Univ. MSBY, Jijel

Rap.'°rteur : M. S. Zidi MCB. Univ. MSBY, Jijel Examinateur : A. Ahriche Prof. Univ. MSBY, Jijel

'*

(3)

Remerciements

Ce travail a ete realise au laboratoire de physique theorique a

l'universite Mohammed Saddik Ben Yahia de Jij el.

En premier lieu, je tiens

a

remercier "Allah" qui m'a donnes la patience, la volonte et le courage durant ces annees d'etude.

Mes

ー セ オウ@

vifs remerciements s'adressent au Dr. Mohamed Sadek Zidi

qui m'a encadre, je le remercie tout particulierement pour m'avoir fait le confiance, et de m'avoir propose ce sujet tres interessant.

Je remercie sincerement les membres du jury d'avoir accepte de juger et evaluer ce travail, le Professeur Amine Ahriche et le Professeur Djamil Boua;;iz.

Bien sur je n'oublie pas de remercier mes enseignants de la poste graduation de physique theorique et specialement Professeur Salah Haouat pour son aide et pour I' encourager et me donner la volonte vraiment merci, Un grand merci pour Prof. T.Boudjedaa, Prof.

Kh.Nouicer, Prof. A.Bounames, Dr. N.Ferkous, Dr. N. Tilbi.

Un grand merci pour Lamri Houria, secretaire du laboratoire de physique theorique.

Et enflnje remercie tous mes amis de la promotion M2 Physique Theorique.

(4)

Dedicace

je dedie ce travail

A iPes yeux mes parents pour l'amour, leur contribution que <lieu les protege.

A mes cheries mes soeurs: Ilhem, Manel, Sara et la petite Lamisse pour le soutien l'amour et l'ecoute.

J e ti ens a remercier tres chaleureusement mon frere Islem pour son aide.

A mes grands parents.

A mes beaux freres Soufiane et Hakim.

A toute ma famille.

J e remercie mes tres proches amies Imene, Soulef et Sahar qui sont toujout s avec moi m'encourager me conseiller et me donner la volonte de faire mieux, et Wiam, Rahma, Sadjia, Ahlam, Loubna, Nassira, Saida, IFatima, Aida, Halima, Soraya, Amina, Karima, Aya, Ilhem, Rokia, Mouna, Hadjer, Leila, Salwa et Selma pour m'aidez surtout dans cette

ー セイゥッ、・L@

pour leurs encouragement et pour les conseils.

Entin je tiens

a

remercier tous ceux qui de pres ou de loin ont contribue

a

la realisation de ce travail.

(5)

Table des matieres

1 Introduction generale

2 lntroduction au Modele standard et ses extensions 12.1 Modcle Standard .. . . .

2.1.1 P articules du Srvl et interaction . . . 2.1.2 Theories de jauge . . . . 2.1.3 Modele de Glashow-\Veinberg-Salam h.2 Extension du MS ct le boson W'.

2.2.1 Desintegration de W'

3 Production d'un top et un bottom a l'ordre LO

3.1 Elements de base et outils de calcul

3 .1.1 Section efficace hadronique . . . . 3.1.2 Fonction de distribution . . . . 3. 1.3 Grand collisionneur hadronique LHC 3.1.4 Calcul de la section efficace partonique : 3 .1. 5 Section efficace differentielle . . . . 3.1.6 Programmes de calcul de la section efficace .

S.2 Calcul de la reaction pp--+ tb + tb ... ... .. . . 3.3 Section cfficace hadronique de la reaction pp--+ tb + tb BA Sections efficaces p our d'autres processus

3.4.1 La reaction p p--+ µ- Liµ . . . . 3.4.2 La reaction p p--+ t µ- Liµ . . . . . 3.4.3 La reaction p p--+ t /j (t--+ be+ Ve) 3.4.4 Production directe de W' : pp--+ t I iv'+

4 Production d'un top et d'un bottom a l'ordre N LO .11.1 Theorerne de factorisation . . . .

4. 2 Section cfficace partonique a l'ordre NLO . 4.3 Methode de soustraction ..

4.4 P arton shower . . . . 11.5 Calcul LO+PS et NLO+PS 5 Conclusion

B il:Hiographie

1 3 3 3 4

16 17 21 21 21 22 22 23 25 26 27 31 35 35 37

38

40 4 3 43 46 48

50

51 55 57

(6)
(7)

CHAPITRE 1

Introduction generale

Dains notre vie quotidienne nous utilisons beaucoup le mot matiere. Mais c'est quoi la matiere? Quelle est sa structure? Est ce qu'il existe plusieurs types de matierc? On sait quy la matiere ordinaire est constitue de molecules , ces derniers sont compose d 'atomes.

L'atome est constitue d'electrons et d 'un nouveau compose de protons et neutrons (ou nucleon). Les nucleon ne sont pas des particules elementaires mais ils sont formes de particules fondamentales appelees quarks. Grace aux interactions fondarnentales : l'ill!teraction electromagnetique et forte l'atome et le noyau reste stable. La physique de particule (OU physique des hautes energies) est la branche de la physique qui etudie la :irelation entre les constituants elementaires de la matieres ( comme les electrons, les protons et les neutrinos) et les forces fondamentales (interaction electromagnetique, forte et faible). Elle permet aux physiciens d'en savoir plus sur la matiere en etudiant ses constituants. Le modele le plus connu de la physique des particules s·appellent modele standard. Ce modele decrit les trois interactions fondamentalc clans le cardre de itheorie quantique des champs. Les responsable des interactions entre les fermions (qlliarks et leptons) sont les boson de jauge (mediateur de !'interaction) : le photon, les bosons massifs et Z et les gluons. Le photon est le mediateur de !'interaction electromagnetique, les bosons massifs sont les mediateur de !'interaction faible et les gluons sont les mediateurs

、セ@

!'interaction forte. La theorie electrofaible est basee sur le groupe de symetrie SU(2)L 0 U(l)y, qui est brise spontanement via le mecanisme de Higgs . Ce mecanisme permet de donner une masse pour les boson de jauge (W ,Z et H) [l].

Le modele standard de la physique des part icules fournit la meilleure description de toutes les donnees exprimentale, mais il rest e des problemes ouverts ou il n 'a pu fournir des reponses[2, 3, 4]. Comme: les constituant de la matiere noire , la masse des neutri- nos , ... etc. P our cela, les physiciens ont propose plusieurs extension de ce modele pour resdudre ces problemes. En general, ces nouvelles theories exigent !'existence de nou- velles particules qu 'elles ne sont pas encore decouvertes dans les collisionneurs comme, par exemple, le boson massif W'.

Le grand collisionneur hadronique teste de nombreux nouveaux modeles de physique clans le domaine de l'energie a l'echelle de TeV [GJ . La recherche de cctte physique est importante car elle peut repondre a quelques questions, en particulier sur la composition de llunivers. La nouvelle physique represente la physique associee au top quark , qui se caracterise par des proprietes qui en font un out il merveilleux clans la recherche, ou il joue un role cle, Surtout en couplage avec de nouvelles grandes particules , l'une de ces

(8)

2 Chapitre 1. Introduction generale pa!rticules est w'.

Le but de ce travail est etudie la production directe et indirecte du boson W' clans le coHisionneur hadronique LHC a l'ordre de Born (LO) et au dela de l'ordre de Born (NLO) en utilisant le programme du calcul automatique MadGraph ct le modele UFO VPrimeNLO.

Dans le deuxieme chapitre, on donne une introduction sur le modele standard (Sl'vI) et ses extensions en presence d'un nouveau boson de jauge (appele le boson W') . Dans le troisieme chapitre, on etude la reaction p p -7 t b + tb dans des modeles au defa du modeles standard avec le boson W' a l'ordre dominant (LO ). en utilisant les prqgramme de calcul " hip" et " MadGraph".

d。セャs@

le quatrieme chapitre, on utilise les memes programmes qu 'on a utilise dans le

chq,pitre 3 pour calculer la section efficace hadroniquc (de la reaction p p -7 t b + t b) en fonction de la masse du boson W' et les echelles de renormalisation de factorisat ion.

On s'interesse aussi aux distributions differentielles en Pr des particules de l'etat final caltuler a l'ordre LO , NLO, LO+PS et NLO+PS

(9)

CHAPITRE 2

Introduction au Modele standard et ses extensions

Dans ce chapitre, on donne une introduction sur le modele standard (SM) et ses ex-

エセョウゥッョウ@

en presence d'un nouveau boson de jauge (appele le boson W' ) . Dans la

premiere section, on discute le modele de Glashow-Weinberg-Salam, la brisure spon- tanee de symetrie et l'inclusion du quarks. On conclut cette section par les regles de Feynman du MS. Dans la deuxieme section, on presente une theorie effective capable de decrire !'interaction du boson W' avec les fermions du MS.

2.1 Modele Standard

Le modele standard est une theorie quantique des champs, elle reunit les trois inter- actions fondamentales ( electromagnetique, faible et forte) en une seule theorie ( mais pas les interactions gravitationnelles) 1. Elle decrit l'interaction de toutes les particules elementaires connues dans la nature. Le modele standard est aussi une theoric de jauge non abelienne basee sur le groupe de symetrie SU(3)c 0 SU(2)L 0 U(l)y, ou SU(3)c est le groupe de couleur (interaction forte), SU(2)L est le groupe d'isospin (interaction faible), et U(l)y est le groupe d 'hypercharge.

2.1.1 Particules du SM et interaction

On regroupe les particules du modele standard en fermions et boson. Les fermions sont des particules de spin demi-entier qui obeissent a la statistique de Fermi-Dirac. La fonction d'onde associee aces particules est antisymetrique (Les quarks et les leptons).

Les bosons sont des particules de spin entier qui obeissent a la statistique de Bose- Einstein. La fonction d'onde associee aces particules est symetrique (les bosons de jauge et le boson de Higgs). Dans le tableaux suivant, on represente toutes les particules du modele standard :

1. L'interaction gravitationnelle n 'est pas unifie avec les deux autres interactions fondamentale, elle est juste rajourer had-hoc dans le SM.

(10)

4 Chapitre 2. Introduction au Modele standard et ses extensions Fermion I B oson

( e µ T ) I photon I

lie ZIµ llr

( u d s c b

t)

I

z

H iggs

T'ous les processus physiques , peuvent etre expliques a l'aide des quatres iuteractions fdmdamentales. Chaque interaction a ses propres boson de jauge qui appelees aussi

mediateur de l 'interaction.

L 'interaction gravitationnelle : c'est !'interaction la plus faible dans les quatre irlteractions fondamentales, le graviton c'est le mediateur de cette interaction.

L'interactions electromagnetiques : c'est la force de liaison des particules electriquement chargees. Elle est plus forte que !'interaction gravitationnelle, le photon c'est le mediateur de cette interaction.

L'interactions faibles : est !'interaction responsables de la radioactivite, et permet de decrire l'intrication des neutrinos avec la matiere. Il existe y trois mediateurs de l 'ihteraction faible : les bosons charges w+ (interaction courant charge (CC)) et le boson neutre Z0 (interaction courant neutre ( CN)).

L ' interaction forts : la force nucleaire forte est la force qui relie les quarks dans les protons et les neutrons. Cette force explique la stabilite du noyau atomique malgre la force de la dissonance electrique entre les protons. Le gluon est le mediateur de

!'interaction forte. Comme les quark, il porte une charge de couleur .

2.1.2 Theories de jauge

Dans cette section, on presente les theories de jauge les plus connus. Il s'agit de l'electrodynamique quantique, la Chromodynamique quantique et le modele de Glashow- Salam-Weinberg.

2.1.2.1 (I) Electrodynamique quantique

L'electrodynamique quantique (QED ) est une theorie quantique des champs qui decrit

!'interaction entre les particules charges. C'est la theorie de jauge la plus simple. Dans cette theorie , les Fermions sont representes par des spineurs a 4 dimensions , dont la dynamique est decrite par l'equation de Dirac [6] :

(i/µ8µ - m) 'l/; = 0 (2.1 )

(11)

2.1. Modele Standard 5

ou (pour µ = 0, 1, 2, 3) sont les matrices de Dirac, la densite lagrn.ngienne corres- pondante est :

LD = 'ljJ (i/µ8µ - m) 1/; (2.2) Cette equation est invariante sous la transformation de j auge glo bale 1/; ( x) -+ 'l/J' ( x) =

exp(iea) 'l/J (x) (a independant des coordonnees), mais n 'est pas invariante sous la trans- formation de jauge locale 'ljJ (x) -7 'l/J' (x) = exp(iea (x))V; (x)(a (x) depend des coor- donees de l'espace temps). Le terme de masse reste toujours invariant, mais le terme dinetique n 'est pas invariant a cause de la derive 8µ- Pour resoudre ce probleme, nous remplac;ons la derive normale par la derive covariantc D µ= 8µ-ieAµ , ou est un qhamp vecteur qui se transforme comme suit :

-7

aセK@ セX ᄉ。@

e (x) (2.3)

1Je lagrangien apres la quantification s'ecrit sous la forme,

1 - 1 2

LQED = -4Fµv Fµv + 1/; (ifµ Dµ - m) V' -

2a (8µ

aセI@

. (2.4) ou le premier terme est le terme cinetique du champ Aµ , et

セ@ H{IᄉaセI@

2 est le terme de fixation de jauge 2.

Finalement, !'interaction entre les fermions charges et le photon est decrite par ce lagrangien est representee par le vertex suivant :

2.1.2.2 (II) Chromodynamique quantique

La Chromodynamique quantique (QCD) est une theorie quantique des champs qui decrit les interactions fortes entre les quarks et les gluons. Elle est basee sur le groupe de symetrie SU(3)c. Le lagrangien pour un quark libre £ =q(ifµ8µ - m)q est invariant sous 2. Pour eliminer les degres superficiels du champ vectoriel, on doit fixer la jaugc. Cette etape est indispensable pour la quantification.

(12)

6 Chapitre 2. Introduction au Modele standard et ses extensions la transformation de j auge globale q ( x) = U q ( x) (car la matrice U ne depend pas de x) , mais il n'est pas invariant sous la transformation local q (x) = U (x ) q (x)(ou U (x) =

eiaa(x )Ta et les Ta sont les generateur du groupe SU (3) . D'.a (x) sont les para.metres du groupe ) . Pour resoudre ce probleme, on remplace la d6rivec covariantc par la deriv6e normale [6, 7] :

8 ),

D µ -_ ;::i - igs . "'"' JGj

セ@

2 µ

j=l

(2.5 ) ou g5 la constante de couplage forte , AJ les matrices de Gell-Mann et Gt sont les huit champs des gluons.

Done, le lagrangien de QCD total comprend des champs de quarks et les champs de gluon:

. 3 1 8 .

LQCD = Lqj (irµ Dµ - mj)qj - 4LFivFjv (2.6)

j=l j=l

avec Fiv = 8vAt - 8µA[ -

ァヲ Q セ Q aセaセ

Q@

(

ヲ Q セ Q@

est les constantes de structure). Apres la quantification le lagrangien de QCD est donne par :

LQCD = La+ Lp +Lap+ Lahost (2.7)

ou La est le lagrangien du gluons, Lp est le lagrangien du fermions, LaF est le terme d'interaction entre les fermions et les gluons, et Lahast est le lagrangien des ghost 3. Les vertex decrivant les interactions entre les quarks et les gluons et les gluons entre eux sont donnes par,

2.1.2.3 (III) Theorie des Fermi

Fetmi a developpe sa theorie pour expliquer la desintegration f3 (n-+ p + e- +lie)· 11 a propose une interaction courant-courant decrite par le lagrangien suivant [8, 9] :

Lp = - Jµ(x)J+(x) Gp

J2 µ (2 .8)

3. Le lagrangien des ghosts vient de la fixation de jauge covariante. Si on utilise la jauge 11011- covariante, y auras pas de ghosts mais le propagateur du gluon dcvient tres complique.

(13)

2.1. Modele Standard 7

en\ Gp est la constante de Fermi , est le courant faible (lµ(x) = lµ(x) + hµ (x)).

La theorie de Fermi soufre de problemes theoriques et phenomenologiques. D'abord , elle n 'est pas renormalisable car sa constante de couplage (la constante de Fermi) est dimensionne (sa dimension naturelle est [Gp]= - 2). En plus. ses predictions sont va- lables que a basse energie. A haute energies, la section efficace augmente d 'une maniere tres rapide et viole la condition de d'unitarite de Froissart-Martin (O" ::; ln (s)2 pour s --7 oo). P our ameliorer cette theorie, on rajoute un boson intermediaire massive (W), au lieu d'interaction courant-courant (interaction directe entre 4 fermions ) .

u

=*"

Ve/ '\ d

F er mi H -exchange

2.1.2.4 (IV) La theorie de Yang-Mills

Une theorie de Yang-Mills c'est toute theorie des champs non-abelienne basee sur le groupe SU(N )(ou N > 1). Par analogies elle est construite comme electrodynamique, elle est invariante sous transformation de jauge locale pour les champs fennioniques

[16]

1/; (x) --7 1/J' (x) = U (x) 1/; (x) = exp(-iTiei)'l/J (x) , uut =I (2.9) OU ei sont les parametres de groupe et Ti sont les generateurs de groupe. Ces generateurs verifient : [Ta' T b J = i rbcrc (f abc = - j bac)

Alors le lagrangien :

£ = ?f;i ( iiµBµ - m) 1/Ji (2.10)

n'est pas invariant sous cette taransformation, et pour resoudre ce probleme on in- troduit la derivee covariante --7 = 8µ+

ゥァaセt。 N@

P our que [, soit invariant les champs

aセ@

doivent suivant la transformation :

--7

aセ]@

u Aµu-1 + !._ (oµU) u-1

g done le lagrangien de Yang-Mills est :

- 1

LY M = 1/;i (i/µ Dµ - m) 'l/Ji - 4Tr (Faµv F:v)

(2.11)

(2.12)

(14)

8 Chapitre 2. Introduction au Modele standard et ses extensions OU . · µ v p a = D µ v Aa - D v µ Aa + gfabc Ab Ac µ v

Les champs de jauge de cette theorie ne peuvent pas avoir une masse. Car le terme de ma$se brise !'invariance de jauge. Dans la section suivant on montre comment resoudre

ce

セイッ「ャ・ュ・ウN@

2.1.3 Modele de Glashow-Weinberg-Salarn

Le lmodele de Glashow-Weinberg-Salam ( GWS ) est une theorie de jauge qui unifie

!'interaction electromagnetique avec !'interaction faible. Elle est basee Sur le groupe SU (2h 0 U (l)y, o"l1 SU (2h , U (l )y representent les groupes d'isospin faible et d'hy-

ー・イセィ。イァ・L@

respectivement [10].

2.l l3.1 Fermions clans le modele GWS

Da*s ce modele, les leptons de chiralite gauche sont represente sous forme de doublets [17] :

( : : ) L ' (

セZ@

) L ' ( : : ) L (2.13)

et les leptons de chiralite droite sont representes sous forme de singlets :

eR, µR , TR (2. 14)

Il existe deux types d'interaction electrofaible. Interaction chargee, elle est decrite par le cburant :

l; (x)

1-;_ (x)

1

2V('(µ (1 - /'5) l

2hµ l- (1 - /'5) Vz

(2 .15 ) (2.16) On peut exprimer ces derniers sous forme vectoriel (en fonction des matrices de P auli et les doublets L) :

l+ µ, 1-µ

L /'µ T+ L

L /'µ T-L

(2.17) (2.18)

l+· 2

(0 1)

1 . 2

(0

avet T+ = r 2ir = 0 0 et T- = r

セ ゥイ@

= 1

セI@

. Les partie gauches et droites des champs des fermions sont definit par , comme :

L R

- (1 -1 l's) 'l/J1

2

- (1 1 + l's) 'l/J1

2

(2.19) (2.20)

(15)

2.1. Modele Standard 9

Dans les interactions faibles, nous devons inclure les composantes droite et gauche des fermions dans differentes representations de groupes. Tous les fermions gauche sont regroupes comme des doublets, et les fermions droite sont des singlets de SU (2).

L'hypercharge faible est une quantite invariante sous la transformation de groupe U ( 1 }y , reliee a la charge electrique Q et l 'isospin faible T3 par la relation de Gell- Man:

Q = T3 + y 2

ou est Q la charge electrique, T3 est la troisieme composante de l'isospin faible.

2 .1.3.2 Lagrangien invariant SU(2)L ®U(l)y

(2.21 )

Le lagrangien invariant sous la transformation SU(2}L® U{1} y est definit comme:

Lp =Rn µ (aµ +ig1Bµ) R+ I n µ (aµ -

セァt ゥ aセ@

+

セァ Q bᄉI@

L (2.22)

ou iJJi = 1-;-Ys (1/Jv;) , R = 1+2-y51/Ji , (i = 1, 2, 3) et

aセ@

et sont des champs de bosons 1/J,

de jauge associes a SU(2)L et U(l}y , respectivement, g et g' sont lcs constantes de couplage de jauge sont relie avec e par la relation suivante :

(2 .23) Le lagrangien pour les champs de jauge est donne par :

£ - - 1 p i p iµ,v 1 B B µv

gauge - 4 µv - 4 µv (2.24)

OU

fセカ@

=

Xᄉaセ@

-

Xカaセ@

+

ァcZゥェォaセaセ@

et Bµv = 8µ Bv - Ov B µ

Remarque : les champs de jauge sont de masse nulle. P our generer la masse de ces derniers, on a besoins du mecanisme de Higgs.

2.1.3.3 Mecanisme de Higgs et Brisure spontanee de symetrie

L'invariance de jaugc de SU (2h ®U (l )y est valable en absence des termes de masse, car si ils existent, le lagrangien ne deviendera pas invariant . Pour cela, Higgs, Braout e Englert ont propose un mecanisme appele "mecanism e de Higgs" [11 , 12, 13], qui permet de donner une masse aux bosons. Pour resoudre ce probleme, nous devons briser la symetrie suivante : SU(2}® U{l)-+ U(l }em· On choisi le champ suivant pour realiser cette brisure de symetrie.

¢ = (::) (2.25)

(16)

10 Chapitre 2. Introduction au Modele standard et ses extensions cp+, <pq sont des champs scalaires complexes.

Dans be cas le lagrangien s 'ecrit sous la forme :

.C<t> = (Dµ</>)t (Dµ</>) - V (</><Pt) ou le potentiel V est donne par,

V (</></>t) = -µ2</>t</> + ,\ (</>t</>)2

(2.26)

(2.27) avec f!tµ</> = ( - セァtゥ@ aセ@ - セァG@ Bµ) </>est la derivee covariante, .\, m sont des constantes

イ・・ャャ・セ@

(.\ > 0).

Al ors

.C<t> = (Dµ</>)t (Dµ</>) + µ 2¢t¢ - ,\ (¢t¢)2

(2.28)

lG・エ。セ@

fondamental du champ est appele "l'etat du vide" correspond a Ia valeur mini-

male セオ@ potentiel : セセ@ = 0 on a deux cas :

si µ 2 2: 0 : セセ@ =

g;

==> </> = ¢t = 0. Alors la valeur moyenne de </> clans l'etat fondatnentale est : ¢0 = ( </>) 0 = 0 , <Pb = ( </> t) 0 = 0 =? la symetrie existe ( n 'est pas brise) ,

( <!>)

._ / l<t>I

- - - -

M M セ@

..._.... ----=--- - - - -

si µ 2 .!::: 0 · -

ᄋセ@

av =

セ@

av la valeur minimale est ,1..,1..t

セ@

= l,i..1

セ@

2 = iE..

セ@

Cette equation est une equation de cercle de rayon R =

セ@

, done ¢0 prend plusieurs valeur clans l'etat fondamentale. Alors l'etat du vide n 'est pas invariante sous le groupe SU(2)L.

(17)

2.1. Modele Standard 11

V(l<l>I)

l<t>I = ..J<t> •<I>

La brisure spontanee de symetrie se produit quand un etat de vide est choisie. l'etat fondamentale que nous choisissons possede une composante nulle et une composante neutre non nulle :

(OI </> IO) = (

セ@

)

J2

avec µ

v= yf2 (2.29)

Notons que l'isospin T3 (e-ia3T3¢0 =/. <Po) et l'hypercharge Y (e-iP-f¢0 =f. </>o)sont des generateurs brises car ils n 'annihilent pas le vi de </>

3 1 (1 0 ) ( 0 ) -1 T </>o = 2 0 -1

セ@

= 2</>o

Y </>o = </>o

Mais la charge electrique Q (e-i<:Q</>o = </>o) n'est pas un generateur brise car 0

= (r'+ ;)ef>o= G セI@ (;,) =0

Dans la jauge unitaire, le doublet du champ de Higgs s'ecrit :

I ( 0 ) 1

</> = U HセI@ </> =

(v-yp

= ../2 (v + H) X

(2.30) (2.31)

(2.32)

(2.33)

-i? t .

ou x = HセI L@ U HセI@ = e 2v est une transformation unitaire du groupe SU(2}, セゥ@ sont

des bosons de Goldstone, et H est le boson de Higgs physique.

Dans le cas de jauge unitaire, le lagrangien de Higgs devient :

£¢> = (Dµ</>)1 (Dµ</>)1 - V (<t>'t<t>') (2.34) avec:

(Dµ</>)' (aµ-ig

セaセ@

-

セァGョセI@ uHセI@ HセI@

(2.35)

( ?' -t, i , , ) 1 ( H) 8µ-ig?:Aµ-2,9Bµ yf2 v+ X

(18)

12 Chapitre 2. Introduction au Modele standard et ses extensions Oh montre que le terme de masse s'ecrit sous la forme,

v t 2

Hセ@

r , 9 ,

i IHセ@

r , 9 ,

I )

L massP = 2x 92Aµ + 2Bµ 92A µ + 2Bµ x (2.36)

On ut ilisons la formule r i rj = 6ij + iEijkTk pour simplifier cette relation . On ecrit done _ v 2 ( 2 11 1 2 12 1 13 I I 2)

L masse - 8 9 AµA + 9 AµA + (9Aµ - 9 B µ) (2.37)

On definit les champs associes aux bosons de jauge charges comme suit : A' 1 ± ·A'2

± µ 'l µ

= v'2

et Jes champs associes aux bosons de jauge neutres comme suit : v2 (A'3 E') ( 92 ' -q9' )

Ha GセᄉI@

8 µ µ - 99 9 2 B µ Apres la diagonalisation de cette matrice , on trouve

v2 ( 8 Zµ. Aµ. ) (92 + 0 9'2

0)

0 (zµ) = O.AµAµ + v2 8 (g2 + 9'2) Z µZµ

on considere la transformation suivante

13 I

cosewAµ - sinewBµ

13 I

sinewAµ + cosew B µ

(2.38)

(2.39)

(2.40)

(2.41 ) (2.42) ou ew est appele l'angle de Weinberg, il s'ecrit en fonction des constantes de couplage comme suit:

I

cosew = J g et sinew=

d

92 + 9'2 v 92 + 9 '2 (2.43)

Aloirs, les masses des bosons de jauge sont donne par :

M -y = 0 (2.44)

Mz = :!_j92 + 9'2

2 (2.45)

Mw = 9v

2 = A1zcosew (2.46)

Le potentiel de Higgs apres la brisure spontannes de symetrie devient et la transfor- mation de jauge unitaire devient ,

v(<f>'t<t>) = 2

(0 カ セIH カ セhIuエHセIuHセIK^M{Hッ@

- µ2v2 >-

- - + µ2H2 + AvH3 + -H4

4 4

カ セI@

(

カ セI@

J 2 (Ut

H セ I@

U

HセII R@

(2.47)

(19)

2.1. Mo de le Standard 13

On deduit que : MH = fiiJi-. En terme des nouveaux champs, le lagrangien de Higgs s'ecrit sous la forme :

1 1 2 2 3 >. 4 92

( 2 )

£ ,,, = - 8 H aµ H-- M H ->.v H --H + - H +2Hv

"' 2 µ 2 H 4 8

x [ cos

;e

w Zµzµ + 2w:w-µ] +

NmセキZカカMᄉ@

+

セmゥzᄉコᄉ@

2 (2.48)

Finalement, on montre que les masses des bosons de jauge, l'angle de Weinberg et les constante de couplage sont relies par :

Mfv Mi

92v2

2 4 - 92

v4 (92 + 9'2) - 92 + 9'2 = cos2

ew

2 .1.3.4 Lagrangien de Yukawa

(2.49)

Nous devons rajouter une terme qui donne un masse aux fermions et qui decrit l'inter- action entre les fermions et le boson de Higgs apres la brisure de symetrie spontanee.

Ce terme est appele le lagrangien de " Yukawa ''

P umr une seule generation de lepton (la lere generation par exemple), le lagrangien de Yukawa est donne par :

L y = - Ge (L ¢R + R<p+ L ) + h.c .. (2 .50) Olil applique la transformation de jauge unitaire, on trouve

L y -Ge

(£'

¢' R1 + R1 ¢' + L1) + h. c ..

セ ・@ H・セHカK h I・セK・セHカK h I・セI@

+ h.c ..

-Ge ( J2 ve e + He e / 1 1 ' ) (2.51 ) Le premier t erme de la derniere ligne de cette equat ion correspond au terme de masse de !'electron. Sa masse est donne par :

- -Ge v

m e - J2 (2.52)

ou Ge est la const ante de couplage de Yukawa. Le deuxieme t erme decrit !'interaction entre le Higgs et !'electron.

Finalement, le lagrangien totale du Modele Standard est :

£ Ms = L QcD + L jauge + L F + L q, + L y (2.53) ou £ QcD est le lagrangien de la Chromodynamique, £ 1auge est le lagrangien des bosons de jauge, £F est le lagrangien de Dirac, L q, est le lagrangien de Higgs et L y est le lagrangien de Yukawa .

(20)

14 Chapitre 2. Introduction au Modele standard et ses extensions 2.1.3.5 Matrice de Cabibbo-Kobay ashi-Maskawa

Malgre les differences entre les quarks et les leptons, le modele de G\VS a pu integrer ces quarks en ajoutant un autre terme au lagrangien. Dans ce paragraphe , on Ya mon- trer brievement comment inclure les quarks dans le ivIS [14, 15]. On doit rajouter le lagrangien suivant au lagrangien des fermions :

r quarks

J...., F = 8QL;'l/ 3 - · µ ( - 29 'l. -;;J-I Aµ - 69 Bµ 'l1 . ) QL;

- 'l I

3

( 2 · )

セ セ u@

R;i/µ 8µ - 39 Bµ UR;

セ エd r[ゥMケB@ (a,,-ig'B,,) DR;

(2.5.J)

ou QL; =

Hセ ZI@

L pour i = 1, 2, 3. et au lagrangien de Yukawa, le terme suiva.nt

£ quarks Y = _ セ@L....t (r(D)Q iJ L;'f' RJ ,i,D . + f (U)Q iJ L;'f' RJ iu . + h.c) (2.55)

i,j

ou rW),

イ ゥヲセ@

sont des matrices complexes (3 x 3) ( couplage de Yukawa), ¢ est le champs du Higgs ( ¢ est son complexe conjugue) , Q L; sont des doublets de quark gauche, DR;(UR;) sont des singlets droit de quark down (up ) dans la base des etats faible.

On note que les autres termes (comme £ c, ... etc) reste les mernes.

On remplace les doublets de Higgs, dans ce lagrangien , par

¢ -+ .J2 ( 1 v + H )

HセI@

(2.56)

- 1

¢ -+ .J2 ( v + H )

HセI@

(2.57) On montre que le terme de masse des quarks est ,

1:, (mQ) = -

セ@

L....t D L , M (D ) i,J D RJ . -

セu@

L....t L , J..f (u) U 1.,J RJ . + h.c (2.58)

i,j i,j

. (D) _ (D) v (U) _ (U) v

Alors , la masse de chaque quarks est . Mi ,j - r i,j ../2 et Mi ,j - r i,j ../2.

Apres la diagonalisation de la matrice de couplages et se mettre dans la base des etats propres de masse, la forme final e du terme de masse est :

[, (mQ) = -D1m(D) D ' - u'mCU) u ' (2.59)

(21)

2.1. Modele Standard 15

ou: D' (U') sont des quarks de type down (up) dans les etats propre de masse , et m. (D.U )

sont des matrices diagonales d'elements reels. Elles s'ecrivent comme suit : comme :

(

md 0 0 )

(mu

0 0 )

m (D) = 0 ms 0 ; m (U) = 0 me 0

0 0 mb 0 0 mt

(2.60)

A partir de la relation (2.54), on extrait le terme qui decrit !'interaction entre les quarks et les bosons de jauge de !'interaction faible,

,[,Q cc --

v12L:

9 '"'u Lir µD L; µ w+ + J2 L DL;rµUL;w; 9 '"'- g _ , I

2J2U 1µ (1 - r5) v n'w: + h.c

- g - - - µ 1. - /5

( ( d)

- J2(uct)r - 2

-) VcKM セ@

w:+h.c

(2.61 )

(2.62)

avec VcKM est une mat.rice unitaire (n x n), appele matrice de Cabibbo-Kobayashi- Maskawa ( ou la mat.rice CKM). Cette derniere permet aux quarks de differente generation de se melanger via les bosons de jauge W. Elle s'ecrit sous la forme :

(

C12C13

VcKM = - s12C23 - C12S23S13ei013 S12S23 - C12C23S13e1 ·o 13

S12C13

C12C23 - S12S23S13e1 0 13

"c5 - C12S23 - S12C23S13e1 13

s13e - io13 ) S23 C13 C23C13

(2.63)

C;j = COS e ij; Sij = sin e i j ; (i, j = 1, 2, 3); e Sont des angles de melange et 0 est une phase , sij , Cij

セ@

0. Experimentalement , on trouve que s 13 < < s 23 < < s 12 < < 1. Dans la parametrisation de \7i/olfenstein, on ecrit

- \ = IVusl ' S23 = A>.2

=,\I セ 」「@ I

s12 - /\ ;

2 us

y 1Vudl2 + IVus l セMMMMM[M[[Mセ@

A>.3(.0 + ·i77)v'1 - A2>.4

S13eio = v:b = A>.3 (p + iTJ ) = v'l - >,2 [1 - A2,\4(p + iTJ)]

D'apres la relation (2.64) on ecrit la mat.rice CKM en terme de A,>. , p et T/ :

(

1- >.2 2

VcKM = -.A

A>.3 (1 - p - irJ)

>.

1 - >.2

2

- A>.2

A>.3 (p - irJ) ) A>.2

1

Les elements de la matrice CKM sont des parametres fondamentaux du Sl\IL

(2.64)

(2.65 )

(2.66)

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