I. ( ) u n est la suite définie pour tout n de par

CONTROLE N°4 TS1.

Mercredi 14 décembre 2016.

2 heures.

PARTIE 1 (1 heure) : SUITES.

I. ( ) ^{u n} est la suite définie pour tout n de par



  u ₀ 0 u n 1

u _n 2 u _n 3

et f est la fonction définie sur ] 3 [ par f (x ) x 2

x 3 .

1. Déterminer le sens de variation de f sur ] 3 [.

2. Montrer par récurrence que, pour tout n de , 0 u n u n 1 1.

3. En déduire que la suite ( ) ^{u n} converge.

4. Déterminer la limite de la suite ( ) ^{u n .}

5. Compléter l algorithme ci-dessous, permettant de déterminer le plus petit entier n tel que

| ^{u n 1 u n} | ^{10 3 .}

Variables : n, a et b sont des nombres.

Initialisation : n prend la valeur 0 a prend la valeur 0 b prend la valeur ………

Traitement : Tant que | ^{b a} | ^……….

n prend la valeur ………….

a prend la valeur ………….

b prend la valeur ………….

Fin Tant que Sortie : Afficher……….

II. Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse et justifier (pour une proposition fausse, la justification consistera à donner un contre exemple).

1. Toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0.

2. Si pour tout n de , u _n v _n w _n avec lim

n

u _n 0 et lim

n

w _n 2, alors ( ) ^v n converge vers un réel compris entre 0 et 2.

3. La suite ( ) ^u n définie pour tout n de * ( n 1) par u n

2 n+1

3n −1 est majorée par 3 2 . III. Restitution de connaissances.

( ) ^{u n} est une suite croissante non majorée et A est un réel.

1. Montrer qu il existe un entier n 0 tel que, pour tout entier n n 0 , u n A.

2. Que peut-on en déduire ?

CONTROLE N°4 TS1.

Mercredi 14 décembre 2016.

2 heures.

PARTIE 2 (1 heure) : PROBABILITES CONDITIONNELLES.

I. Un disquaire range ses CD en trois catégories :

les CD de Variétés qui représentent 40% de l ensemble et dont 75% sont des albums les CD de Classique qui représentent 35% de l ensemble et dont 80% sont des albums les CD de Jazz qui représentent 25% de l ensemble et dont 99% sont des albums Partie A.

On choisit un CD au hasard dans le magasin.

On note V l événement : "le CD choisi est un CD de Variétéz"

C l événement : "le CD choisi est un CD de Classique"

J l événement : "le CD choisi est un CD de Jazz"

A l événement : "le CD choisi est un album"

1. A l aide de l énoncé, donner P( V) et P V (A).

2. Représenter la situation par un arbre pondéré.

3. Montrer que la probabilité que le CD choisi soit un album est 0,8275.

4. On choisit un album, quelle est la probabilité que ce soit un CD de Jazz ?

5. Les événements "choisir un album" et "choisir un CD de Jazz" sont-ils indépendants ? Partie B.

On choisit dix CD au hasard dans le magasin en on note X la variable aléatoire correspondant au nombre de CD de variétés parmi les dix.

1. Déterminer la loi de probabilité de X. Rédiger soigneusement.

2. Déterminer, à 10 ³ près, la probabilité que parmi les 10 CD, exactement 4 soient des CD de Variétés.

3. Déterminer, à 10 ³ près, la probabilité qu il y ait au moins 6 CD de variétés parmi les 10.

4. Déterminer E (X ) et interpréter.

II. Dans un zoo, un manchot partage son temps entre un toboggan et un plongeoir. Il a la possibilité de changer d activité chaque heure. On a observé que :

si le manchot choisit le toboggan, la probabilité qu il le choisisse à nouveau l heure suivante est 0,3 si le manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu il le choisisse à nouveau l heure suivante est 0,8 Au départ, le manchot est sur le toboggan.

Pour tout n de , on note T n l événement "le manchot choisit le toboggan n heures après le départ et t n P ( ) ^{T n .}

1. Donner t 0 .

2. Compléter l arbre suivant puis montrer que t n 1 0,1t n 2.

T n 1

T n

T n 1

T _{n 1} T n

T n 1

3. Pour tout n de , on pose v n t n

2 9 .

a. Montrer que ( ) ^v n est géométrique de raison 0,1.

b. Montrer que, pour tout n de , t n

7

9 0,1 ⁿ 2 9 .

……

…… ……

……

……

……

c. Déterminer la limite de la suite ( ) ^{t n} . Interpréter.

CORRECTION DU CONTROLE N°4 TS1.

PARTIE 1.

I.

1. f est dérivable sur ] 3 [. f ( x) 1

(x 3)² 0 donc f est strictement croissante sur ] 3 [.

2. Initialisation : u 0 0 ; u 1

2

3 et 0 2

3 1 donc 0 u 0 u 1 1. La propriété est vraie pour n 0 0.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que 0 u p u p 1 1. Montrons que 0 u p 1 u p 2 1.

0 u p u p 1 1 donc f(0) f ( ) ^{u p f} ( ^{u p 1} ) f(1) car f est croissante sur [0 [.

donc 2

3 u p 1 u p 2

3 4 donc 0 u p 1 u p 2 1 Conclusion : pour tout n de , 0 u n u n 1 1.

3. La suite ( ) ^{u n} est donc croissante et majorée par 1 donc elle converge vers un réel L avec 0 L 1.

4. On a u n 1 f ( ) ^{u n} . La suite ( ) ^{u n} converge vers un réel L compris entre 0 et 1 et la fonction f est continue sur [0 1]. Alors f (L ) L .

f (L ) L  L 2

L 3 L  L 2 L² 3L et L ≠ 3  L ² 2 L 2 0 et et L ≠ 3 12

 L 1 3 ou L 1 3

L étant compris entre 0 et 1, on peut en déduire que L 1 3 : la suite ( ) ^{u n} converge vers 3 1.

5.

Variables : n, a et b sont des nombres.

Initialisation : n prend la valeur 0 a prend la valeur 0 b prend la valeur 2/3 Traitement : Tant que | ^{b a} | ^{10 3}

n prend la valeur n 1 a prend la valeur b b prend la valeur b 2

b 3 Fin Tant que

Sortie : Afficher n II.

1. Faux : Soit ( ) ^u n la suite définie sur par u _n 1

n 1 3. La suite ( ) ^u n est décroissante et minorée par 3, et donc par 0 et elle converge vers 3.

2. Faux : ( ) ^{v n} ne converge pas forcément. Soit ( ) ^{v n} la suite définie sur par v n 1 ( 1) ⁿ . On pose u _n 1 et v _n 2. ( ) ^u n et ( ) ^v n vérifient les conditions de l énoncé mais ( ) ^v n ne converge pas.

3. Vrai : soit n un entier naturel, n 1 u n

3 2

2 n 1 3 n 1

3 2

4n 2 9 n 3 2(3 n 1)

5 5 n

2(3n 1)

n 1 donc 5 5 n 0 et 2(3 n 1) 0. Ainsi, u n

3

2 0 et u n

3

2 . La suite ( ) ^u n est donc majorée par 3

2 .

III. Restitution de connaissances.

1. Voir le cours.

2. La suite a pour limite + : on a montré qu une suite croissante non majorée tend vers .

PARTIE 2 .

I.

Partie A.

1. P( V) 40

100 0,4 et P V (A) 75

100 0,75.

2.

3. V,C et J forment une partition de l univers .

D après la form ule des probabilit és tot al es, on a donc : P (A ) P ( V) P V ( A) P (C ) P C (A) P( J) P J ( A)

04, 0,75 0,35 0,8 0,25 0,99 0,8275.

La probabilité que le CD choisi soit un album est 0,8275.

4. P _A ( J) P( A J)

P( A) 0,25 0,99 0,8275

99 331

On choisit un album, probabilité que ce soit un CD de Jazz est 99 331 . 5. P( A) 0,8275 ; P( J) 0,25 donc P (A ) P (J ) 331

1600 . D autre part, P (A J) 0,25 0,99 99

400

P (A ) P( J)≠ P (A J) donc A et J ne sont pas indépendants.

Partie B.

1. On répète 10 fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli qui consiste à choisir un CD et à noter s il est de variétés. La probabilité que ce soit un CD de variétés est 0,4. Alors X suit la loi binomiale de paramètres n 10 et p 0,4.

2. D après la calculatrice, P( X 4) 0,251. La probabilité que parmi les 10 CD, exactement 4 soient des CD de Variétés est environ 0,251.

3. P( X 6) 1 P( X 5) 0,166. La probabilité qu il y ait au moins 6 CD de variétés parmi les 10 est environ 0,166.

4. E( X) 10 0,4 4. Si on choisit un grand nombre de lots de 10 CD, on aura en moyenne 4 CD de variétés parmi les 10 CD.

II.

1. Le manchot est sur le toboggan au départ donc t 0 1.

2.

T n 1 t n 1 P ( ^{E n 1} ) ^{0,3t n 0,2} ( ^{1 t n} ) ^{0,1t n 0,2.}

T n

T n 1 T n 1

T n

T n 1

1 t n

t n 0,7

0,3

0,2

0,8

3. Soit n un entier naturel. Pour tout n de , on pose v n t n

2 9 . a. v _{n 1} t _{n 1} 2

9 0,1 t _n 0,2 2

9 0,1 t _n 1 45 0,1

 

  t _n ²

9 0,1v _n .

La suite ( ) ^{v n} est donc géométrique de raison 0,1 et de premier terme v 0 t 0

2

9 1 2 9

7 9 . b. Alors, pour tout n de , v n v 0 0,1 ⁿ 7

9 0,1 ⁿ et t n v n

2 9

7

9 0,1 ⁿ 2 9 . c. 1 0,1 1 donc lim

n

0,1 ⁿ 0 et donc lim

n

t _n 2 9 .

A très long terme, la probabilité que le manchot soit sur le toboggan est 2

9.