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Probabilités et variable aléatoire

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

et variable aléatoire

Première ES/L

I Un peu d’histoire

Naissance d’une notion

Les probabilités sont aujourd’hui l’une des branches les plus importantes et les plus pointues des mathématiques. Pourtant,c’est en cherchant à résoudre des problèmes posés par les jeux de hasard que les mathématiciens donnent naissance aux probabilités.

Le problème initial le plus fameux est celui de la répartition équitable des enjeux d’une partie in- achevée, à un moment où l’un des joueurs a un pris un avantage, non décisif évidemment. Le ma- thématicien italien Luca Pacioli l’évoque dans sonSumma de Arithmetica, Geometrica, Proportio et Proportionalita, publié en 1494.

Le premier traité de probabilité par Christiaan Huygens (1629-1695).

Le physicien et mathématicien hollandais, Christiaan Huygens publie un traité en 1657,Tractatus de ratiociniis in aleae ludo(Traité sur les raisonnements dans le jeu de dés). C’est le premier traité consa- cré à cette nouvelle théorie des probabilités.

Le contenu du livre de Huygens est assez limité mais il y introduit ce qui deviendra la notion d’espérance mathématique.

Pour en savoir plus: Beaucoup de compléments sur le site www.math93.com

II Variable aléatoire

Dans tout ce qui suit, les lettres n et i désignes des entiers naturels non nul.

II.1 Notion de variable aléatoire (v.a.)

SoitΩ(lire Oméga) l’univers associé à une expérience aléatoire, c’est à dire l’ensemble des issues de l’expérience aléatoire.

On définit une variable aléatoireXsurΩquand on associe un nombre réel à chaque issue deΩ. On dit que l’ensemble de ces réels est l’ensemble des valeurs prises parX.

Définition 1

Exemple 1

Une urne contient 8 boules. Deux portent le n°1, deux portent le n°2, trois portent le n°3, une porte le n°4.

Soit le jeu suivant :

• on gagne 10 euros si la face sortie est 1 ou un 2 ;

• et 5 euros si c’est un 3 ;

• on perd 50 euro si c’est un 4.

On définit alors la variable aléatoireXsurΩqui correspond au gain (ou perte). La v.a.X associe :

• 10 à l’issue ou évènement élémentaire {1} ;

• 10 à l’issue ou évènement élémentaire {2} ;

• 5 à l’issue ou évènement élémentaire {3} ;

• et−50 à l’issue ou évènement élémentaire {4} .

(2)

II.2 Évènement lié à une variable aléatoire SoitX une variable aléatoire définie sur l’universΩ.

L’ensemble des valeurs prises parX estF={x1; x2;x3;· · ·;xn}, où les valeurs sont rangés par ordre crois- sant. Le nombrexiest associé à une ou plusieurs des issues deΩ.

1. L’évènement «X=xi» est l’ensemble des issues deΩauxquelles on associe le réelxi.

2. L’évènement «Xxi» est l’ensemble des issues deΩauxquelles on associe un réel qui est supérieur ou égal àxi.

Définition 2(Évènement et v.a.)

Exemple 1

Dans l’exemple 1 ,Ω={1 ; 2 ; 3 ; 4} et l’ensemble des valeurs prises parXest : F={x1= −50 ;x2=5 ; x3=10}

b

1

b

4

b

+ 10

b

− 50

E

b

2

b

3

b

+ 5

1. L’évènement «X=10 » est l’ensemble des issues deΩauxquelles on associe le réelx3=10. L’évènement

«X=10 » est donc formé des issues qui octroient un gain de 10 euros, c’est à dire les issues {1} et {2}.

2. L’évènement «X≥5 » est l’ensemble des issues deΩauxquelles on associe un réel qui est supérieur ou égal à 5. L’évènement «X≥5 » est donc formé des issues qui octroient un gain supérieur ou égal à 5 euros, c’est à dire les issues {1} , {2} et {3}.

3. L’évènement «X <0 » est l’ensemble des issues deΩauxquelles on associe un réel qui est inférieur strictement à 0. L’évènement «X<0 » est donc formé des issues qui octroient une perte, c’est à dire l’issue {4}.

4. On peut remarquer que les évènements «X<0 » et «X<4 » sont identiques. De même «X≥5 »=«X≥ 3 ».

(3)

II.3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire

La probabilité de l’évènement «X =xi» est la probabilité de l’évènement formé de toutes les issues associées au nombrexi.

Définition 3

Exemple 1

L’urne contient 8 boules. Deux portent le n°1, deux portent le n°2, trois portent le n°3, une porte le n°4.

L’univers associé est alors

Ω={e1=1 ;e2=2 ;e3=3 ;e4=4}

b

1

b

4

b

+ 10

b

− 50

E

b

2

b

3

b

+ 5

• Il y a deux boules qui portent le n°1 sur 8, donc en supposant que chaque boule à la même chance d’être tirée on a :

p(e1)=2 8=0,25 On obtient de la même façon :

P(e2)=2

8=0,25 ;P(e3)=3

8=0,375 ;P(e4)=1

8=0,125

• La loi de probabilité correspondante est décrite par le tableau :

ei 1 2 3 4 Total

P(ei) 0,25 0,25 0,375 0,125 1

• La probabilité de l’évènement «X= +5 » par exemple est la probabilité de l’ évènement élémentaire {3} on a donc :

P(X= +5)=0,375

• La probabilité de l’évènement «X≥ +5 » par exemple est la probabilité de l’ évènement {1 ; 2 ; 3} on a donc :

P(X≥ +5)=0,25+0,25+0,375=0,875

(4)

SoitXune variable aléatoire associée à un univers finiΩetFl’ensemble des valeurs prises par la variableX.

La loi de probabilité de la variable aléatoireXest la donnée de toutes les probabilitésP(X=xi), oùxiprend toutes les valeurs deF.

On présente généralement ces données sous la forme d’un tableau : xi x1 x2 x3 · · · xm

P(X=x1) p1 p2 p3 · · · pm

Définition 4(Loi de probabilité)

Exemple 1

L’urne contient 8 boules. Deux portent le n°1, deux portent le n°2, trois portent le n°3, une porte le n°4 :

ei 1 2 3 4 Total

P(ei) 0,25 0,25 0,375 0,125 1

b

1

b

4

b

+ 10

b

− 50

E

b

2

b

3

b

+ 5

La loi de probabilité deXest décrite par le tableau :

xi −50 5 10 Total

P(X=xi) p(e4)=0,125 p(e3)=0,375 p(e1)+p(e2)=0,5 1

III Propriété d’une variable aléatoire et espérance mathématique

III.1 Somme des probabilitésP(X =xi)

SoitXune variable aléatoire associée à un univers finiΩetFl’ensemble des valeurs prises par la variableXde loi de probabilité :

Propriété 1

(5)

III.2 Espérance mathématique d’une variable aléatoire

SoitXune variable aléatoire associée à un univers finiΩetFl’ensemble des valeurs prises par la variableXde loi de probabilité :

xi x1 x2 x3 · · · xm Total P(X=x1) p1 p2 p3 · · · pm 1

Alors on a l’espérance mathématique deXest le nombre réel, notéE(X) , donné par : E(X)=x1×p1+x2×p2+ · · · +xm×pm

Cela peut aussi s’écrire :

E(X)=

m

X

i=1

xi×pi

Définition 5(Espérance mathématique)

Point Historique

Le physicien et mathématicien hollandais, Christiaan Huygens publie un traité sur les probabilités en 1657, Tractatus de ratiociniis in aleae ludo(Traité sur les raisonnements dans le jeu de dés). C’est le premier traité consacré à cette nouvelle théorie des probabilités.

Le contenu du livre de Huygens est assez limité mais il y introduit ce qui deviendra la notion d’espérance mathématique.

Exemple 1

La loi de probabilité deXest décrite par le tableau :

xi −50 5 10 Total

P(X=xi) p(e4)=0,125 p(e3)=0,375 p(e1)+p(e2)=0,5 1 Donc l’espérance est :

E(X)= −50×0,125+5×0,375+10×0,5=0,625

Cela signifie que le gain moyen au jeu de l’exemple 1 est de 0,625 euros soit environ 62 centimes.

Avec la calculatrice

On entre dans l’éditeur de listes de la calculatrice (touche StatspourTexas,menu STATpourCasio) les valeursx1 etpi, comme en statistiques. L’espérance mathématique sera alors la moyenne pondérée des données. Elle est donc notéex.

(6)

IV Répétition d’expériences identiques et indépendantes

IV.1 Modélisation d’une expérience à deux ou trois issues

A

C

p(A)

p(C)

On a alors dans ce casC=A: p(A)+p(C)=1

A

B

C

p(A) p(B)

p(C)

On a alors :

p(A)+p(B)+p(C)=1

La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

Règle 1

IV.2 Expériences indépendantes

Deux expériences sont dites indépendantes si le résultats de l’une n’a aucune influence sur le résultat de l’autre.

Définition 6(La véritable définition sera donnée en terminale)

Par exemple le fait de lancer deux fois de suite une pièce de monnaie constitue la répétition de deux épreuves indépendantes et identiques.

(7)

IV.3 Modélisation de la répétition de deux expériences identiques et indépendantes

• L’événement associé à un chemin est l’intersection des évènements présent sur le chemin.

• La probabilité d’un chemin (ou d’une liste) est le produit des probabilités figurant sur ses branches.

• La probabilité d’un évènement est la somme des probabilités de tous les chemins menant à un sommet où apparaît cet évènement.

Propriété 2

Exemple 2

Une agence de sondage interroge des consommateurs sur l’utilisation d’un site internet. On noteAl’évè- nement « la personne interrogée est satisfaite du site ». La probabilitéP(A) qu’une personne soit satisfaite du site est de 0,2. On interroge deux consommateurs de façon indépendantes.

On résume les données dans un arbre pondéré.

On note par exempleA Aou (A; A) l’évènement : «la première et la deuxième personne sont satisfaites»

A

A =⇒A A

A =⇒A A

A

A =⇒A A

A =⇒A A P(A)=0,2

P(A)=0,2 P³

A´

=0,8

P³ A´

=0,8

P(A)=0,2 P

³ A

´

=0,8

1. Calculer la probabilité qu’ils soient tous deux satisfaits du site.

La probabilité qu’ils soient tous deux satisfaits du site est la probabilité de la liste (ou chemin)A A. D’après le cours, elle est égale au produit des probabilités figurant sur ses branches soit :

P(A A)=0,2×0,2=0,04

2. Calculer la probabilité qu’au moins un des deux soit satisfaits du site.

• Méthode 1

La probabilité qu’au moins un des deux soit satisfaits du site est celle de l’évènement B=«n

A A; A A; A Ao

». On a donc d’après le cours : P(B)=P³

A A´ +P³

A A´

+P(A A)

=0,2×0,8+0,8×0,2+0,04 P(B)=0,36

• Méthode 2

L’évènement contraire de l’évènement « au moins un des deux soit satisfaits du site» est celle de l’évènement « aucune n’est satisfaite du site». On a donc d’après le cours :

³ ´

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