Première spécialité G2 Mercredi 14 octobre.
DM 1 : Probabilité conditionnelle.
Ex 42 :
a) On aC1=(X=1), donc on obtient :
P(C1∩E)=P(C1)PC1(E)=0,3×0,3=0,09 b) Dans le cas on deux clients exactement vient acheter du carburant. On notant :
• E1l’évènement "le premier client achète de l’essence".
• E2l’évènement "le deuxième client achète de l’essence".
On obtient l’arbre avec deux clients :
C2
E1 E2 0,3
E¯2
0,3 0,7
E¯1
E2 0,3
E¯2 0,7 0,7
DoncPC2(E)=PC2(E1∩E¯2)+PC2( ¯E1∩E2)=0,3×0,7+0,7×0,3=0,42.
DoncP(C2∩E)=P(C2)×PC2(E)=0,4×0,42=0,168
c) Il ne nous manque plus queP(C3∩E). Pour cela il faut faire un arbre à trois branches (et non deux comme précédemment) et obtenir l’expression :
PC3(E)=PC3(E1∩E¯2∩E¯3)+PC3( ¯E1∩E2∩E¯3)+PC3( ¯E1∩E¯2∩E3)=3×0,3×0,7×0,7=0,491 D’oùP(C3∩E)=P(C3)×PC3(E)=0,2×0,491=0,0982. ET enfin :
P(E)=P(C1∩E)+P(C2∩E)+P(C3∩E)=0,09+0,168+0,0982=0,3562 Ex 70 :
1. a. .
H
F 0,05
F¯ 0,04 0,95
H¯
F 0,05
F¯ 0,95 0,96
Lycée Paul Rey 1
Première spécialité G2 Mercredi 14 octobre.
b. On obtient :P(A)=P( ¯H∩F¯)=0,96×0,95=0,912 puisP(B)=P(H∩F¯)+P( ¯H∩F)=0,04×0,95+0,96×0,05=0,086 et enfin P(C)=P(H∩F)=0,04×0,05=0,002.
2. a. On obtient l’arbre :
A
0,1 E
E¯ 0,9
0,912
B
0,3 E
E¯ 0,7
0,086
C
0,5 E
E¯ 0,5
0,002
DoncP(E)=P(A∩E)+P(B∩E)+P(C∩E)=P(A)×PA(E)+P(B)×PB(E)+P(C)×PC(E)=0,912×0,1+0,086×0,3+0,002×0,5= 0,118
b. On obtient :
PE(A)=P(A∩E)
P(E) =P(A)×PA(E)
P(E) =0,912×0,1
0,118 '0,773 à 10−3 près PE( ¯A)=1−PE(A)'0,227 à 10−3 près.
L’interprétation : Comme le nombre de couples non asthmatiques est très élevé, même s’ils ont moins de chances d’avoir un enfant asthmatique, la probabilité sachant que l’enfant est asthmatique qu’il soit issu d’un couple non asthmatique est très importante (77 %).
c.
PE¯(B∪C)=PE¯(B)+PE¯(C)−PE¯(B∩C)
| {z }
=0
=P(B∩E¯)
P( ¯E) +P(C∩E¯)
P( ¯E) =P(B)×PB( ¯E)
1−P(E) +P(C)×PB( ¯E) 1−P(E)
=0,086×0,7
1−0,118 +0,002×0,5 1−0,118 '0,069 à 10−3 près
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