Cours : probabilité conditionnelle

- 1 - Chapitre

Probabilités conditionnelles.

HISTORIQUE.

Le calcul des probabilités est né en 1654, à l’occasion d’une correspondance entre Pascal et Fermat, sur des problèmes posés par le chevalier de Méré. Il s’agissait de savoir comment partager une somme mise en jeu lorsque la partie est interrompue avant son terme (« problème des partis »).

C’est donc en se posant des questions sur les jeux de hasard que les calculs de probabilités sont apparues.

Aujourd’hui, elles sont bien plus que cela : elles sont entre autre, présentes

> sur le marché boursier, grâce en particulier à la formule de Black et Sholes (1973) pour laquelle ses auteurs reçurent le prix Nobel d’économie en 1997.

> dans le domaine médicale, où la notion de probabilité conditionnelle permet par exemple de déterminer la probabilité qu’un individu soit malade sachant qu’il présente certaines symptôme, ou encore permet de mettre en place la notion de fiabilité d’un test : « sachant que le test à une maladie est positif, quelle est la probabilité d’être réellement malade ? »

> en physique, et plus précisément dans le domaine de la mécanique quantique, où contrairement à la mécanique classique (appelée mécanique newtonienne), on ne peut déterminer avec certitude la position d’une particule et sa vitesse à un instant donné, intervient alors la notion de probabilité de présence…

> en mathématiques : en effet, pour un très grand nombre donné n, nous ne sommes capable à l’heure actuelle que de déterminer la probabilité qu’il soit premier !

…

Objectifs.

Tout d’abord, nous rappellerons le vocabulaire rencontré en classe de première : univers, équiprobabilité, variable aléatoire… que nous illustrerons à travers plusieurs exemples.

Nous mettrons ensuite en place la notion de probabilité conditionnelle, notion très naturelle qui en fait à déjà été rencontrée l’année dernière, bien qu’on ne l’appelât pas comme ça… Des exemples de construction d’arbres pondérés permettront une approche intuitive de la chose, et mettront en évidence la simplicité des méthodes à mettre en œuvre.

Les deux théorèmes centraux seront ensuite énoncés : formule des probabilités totales et formule de Bayes. Ils seront le point de départ d’exercices intéressants, tels que la fiabilité d’un test en médecine.

La notion d’indépendance, contre intuitive parfois, clôturera le chapitre.

Rappels de Premières S

Voici quelques rappels en vrac du vocabulaire normalement rencontré en première.

Précisons que même si ce chapitre n’a pas été traité [comme parfois, faute de temps], ces

définitions sont intuitives et peuvent être facilement compréhensibles notamment lors de la mise en œuvre des exercices corrigés de cette première partie.

A. Généralités - Définitions EPREUVE :une épreuve est une expérience.

Par exemple un lancer un dé,le tirage d’une carte, remplir une grille de loto…

EXPERIENCE ALEATOIRE : c’est une épreuve dont chaque résultat est lié au hasard.

Quant à définir le hasard !

Contentons nous de dire que c’est « une situation dont l’issue est imprévisible » [voir vos cours de philosophie pour plus de précisions…]

ISSU / EVENEMENT : c’est le résultat possible d’une expérience aléatoire.

Par exemple, lors d’une tirage d’une carte dans un jeu de 32, le roi de trèfle est une issue, la dame en est une autre…

ISSU ELEMENTAIRE/ EVENEMENTELEMENTAIRE: c’est une issue à un seul élément.

Dans l’exemple précédent, le roi de trèfle est une issue élémentaire, la dame non : c’est un évènement à 4 quatre issues élémentaires (dame de cœur, de trèfle…).

Pour illustrer les notions qui suivent, nous considérons l’expérience suivante : « on lance successivement 2 dès non pipés [non truqués] à 6 faces».

Remarque.

La notion de successif est une précision importante : elle suggère que l’on traite les deux dés de manière isolée, cad que le résultat (Dé 1 = 6 et Dé 2 = 2) est différent de celui (Dé 1 = 2 et Dé 2 = 6).

En probabilités, il faudra être vigilant quant aux termes employés : successif, simultané, avec ou sans remise…

UNIVERS : c’est ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire, souvent noté Ω,

→ Dans notre exemple : Ω =

{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1,1 , 1, 2 , 1, 3 , ..., 2,1 , 2, 2 , ... 6, 5 , 6, 6

}

où on a présenté les couples sous la forme

(

^dé1,dé2

)

, ce qui signifie qu’il y a un ordre [sinon, on parle d’ensemble et on note entre accolades].

CARDINAL DE ΩΩΩΩ : c’est le nombre d’éléments de l’univers, cad de que lors d’une expérience aléatoire d’univers Ω, l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience est le nombre d’éléments de Ω^.

On le note card Ω.

→ Dans notre exemple, card Ω = 6*6 = 36 puisqu’il y a 6 possibilités de face pour le dé 1, et 6 possibilités pour le dé 2.

Remarque.

Plus précisément [au sens mathématique de la chose], un événement ou une issue représente un sous ensemble de l’univers.

Note

Tous les exercices ou les démonstrations des

propriétés de ce chapitre se trouvent à la

fin de ce document.

- 3 -

Le premier problème du chevalier de Méré est le suivant : lorsqu’on jette deux dés, combien de lancers doit on réaliser pour avoir plus d’une chance sur 2 de faire un double 6 ? Nous n’avons pas encore suffisamment d’outils pour y répondre, une analyse viendra dans en fin de chapitre.

→ Dans notre exemple, soit A l’évènement « la somme des face des dés est égale à 6 », soit B l’évènement

« Faire un double 6 ».

> L’évènement A ci-dessus des constitué des 5 évènements élémentaires suivants :

( ) ( ) ( ) ( )

1, 5 , 2, 4 , 3, 3 , 4, 2 , et

( )

5,1 .

> L’événement B est lui constitué d’un seul évènement :

( )

^{6, 6 .}

En première S, les calculs de probabilités se font principalement :

> dans un cadre discret : cela signifie que l’univers Ω a un nombre fini d’éléments.

Cette année, nous étudierons aussi le cas des probabilités continues (autre chapitre).

> sous hypothèse d’équiprobabilité : cela signifie que chaque évènement élémentaire a la même probabilité d’apparition.

DEFINIR UNE PROBABILITE ou une LOI DE PROBABILITE : signifie donner la probabilité de chaque événement élémentaire, d’un expérience aléatoire donnée.

Ce point est important, il sera repris au cours du chapitre.

Propriété.

La somme des probabilités des évènements élémentaires est égale à 1.

→ Dans notre exemple, chaque évènement élémentaire a la probabilité 1

36 de se réaliser.

En effet, chaque évènement élémentaire est équiprobable et l’univers Ω possède 36 éléments.

Pour calculer la probabilité d’un évènement A :

→ Cas général :

p(A) = somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.

→ Cas d’équiprobabilité :

p(A) = nombre de cas favorables

nombre de cas possibles = card A card Ω

→Dans notre exemple, ^{p A}

( )

⁼₃₆⁵ puisqu’il y a 5 évènements élémentaires dans A, chacun de probabilité 1 36 ^et

( )

₃₆¹

p B = ^.

Remarque.

Evidemment, pour tout évènement A, 0 ≤ p(A) ≤ 1.

EVENEMENT CERTAIN : c’est Ω et on a p(Ω) = 1.

EVENEMENT IMPOSSIBLE : noté ∅ : c’est un évènement qui n’arrive jamais.

On a p(∅) = 0 (par exemple : « la somme des deux dés est 13 »).

EVENEMENT « AETB » : si A et B sont deux évènements, l’évènement A ∩ B est l’évènement constitué des évènements élémentaires communs à A et B.

EVENEMENTS INCOMPATIBLES : ce sont des évènements qui ne peuvent arriver simultanément : A ∩ B = ∅ (A et B sont disjoints).

EVENEMENT « A OU B » : si A et B sont deux évènements, l’évènement A ∪ B est l’évènement constitué des évènements élémentaires de A ou de B.

Il a été vu en première que : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A∩B).

Corollaire.

Quand A et B sont incompatibles, on a p(A ∪ B) = p(A) + p(B).

EVENEMENT CONTRAIRE DE A : noté A. C’est l’événement constitué des éléments de Ω qui sont hors de A.

Propriété.

Pour tout événement A, p(A) + p(A) = 1.

Les évènements contraires seront fréquemment utilisés dans les questions du type « Déterminer la probabilité qu’au moins 2 machines soient en panne ».

Il sera alors beaucoup plus rapide de passer par l’évènement contraire « aucune machine ou une seule machine est en panne » puis d’appliquer la formule ci-dessus.

Cette année, les calculs de probabilités seront étroitement liés aux variables aléatoires.

B. Variable aléatoire (discrète)

Pour illustrer les notions qui suivent, nous considérons l’expérience suivante : « On lance deux dés non pipés.

On gagne 5 € lorsque leur somme vaut 6, 2€ si on a un double 6, on perd 1 € sinon ».

Question classique : le jeu est il favorable à la banque ou au joueur ?

→ On reconnaîtra les évènements A et B abordés dans la partie précédente.

Question.

Déterminer la probabilité de gagner à l’issu d’une partie.

Réponse.

Pour gagner, il faut avoir une somme de dé égale à 6 ou faire un double 6 donc la probabilité de gagner est ^{p A}

(

^∪B

)

^.

Comme ces deux évènements sont incompatibles (si on fait un double 6, la somme des dés est 12), on a ^{p A}

(

^∪B

)

^{= p A}

( ) ( )

^{+p B =}₃₆^{5 +}₃₆^{1 =1}₆, d’après les résultats de la partie A.

La probabilité de gagner est donc 1

6, celle de perdre 5

6 : bien entendu, cela ne suffit pas pour dire si le jeu est équitable ou pas, tout dépend de ce qu’on perd et de ce qu’on gagne.

C’est l’objet de la suite des rappels…

VARIABLE ALEATOIRE X (v.a.).

Une variable aléatoire est une fonction X définie sur l’univers Ω et qui à chaque élément ω de Ω on associe un nombre réel ^X

( )

^{ω : on a X:Ω →ℝ.}

→ Dans notre exemple, on considère la variable aléatoire X, « gain du joueur ».

A l’évènement ω="la somme des dés est impairs", elle associe par exemple 0.

LOI DE PROBABILITE D UNE VARIABLE ALEATOIRE X(DISCRETE)

La loi de probabilité d’une v.a. est la probabilité de chacune des valeurs xi que peut prendre X. On notera en général pi = p(X = xi) et on présentera les probabilités associées sous forme de tableau.

- 5 -

Exemple/Méthode générale (IMPORTANT) Comment déterminer la loi d’une v.a. (discrète) ?

X désigne toujours la variable aléatoire « gain du joueur ».

1. On détermine toutes les valeurs que peut prendre la v.a. X.

Ici X, gain du joueur, ne peut prendre que les valeurs 5, 2 et -1: on écrit X ∈ {5 ; 2 ; -1}.

2. On détermine la probabilité que X prenne chacune de ces valeurs.

D’après les calculs précédents :

> p(X=5) = p(A) = 5/36,

> p(X=2) = p(B) = 1/36

> p(X=-1) = p(“perdre”) = 30/36 = 5/6

On représente la loi de X en général sous la forme d’un tableau :

3. (facultatif) On vérifie que Σ pi =1,où on a noté pi = p X

(

=xi

)

^.

MAIS QUEL EST ALORS L’INTERET DE CETTE LOI DE PROBABILITE ??

ESPERANCE MATHEMATIQUE D UNE V.A (DISCRETE).

Avec les notations ci-dessus, l’espérance d’une v.a. est le nombre réel

( )

i

(

i

)

i

E X =

∑

x×p X =x ^. L’espérance mathématique correspond en fait à la moyenne (pondérée) des valeurs que prends la variable X.

→Dans notre exemple, l’espérance de la v.a. gain est donc

E(X) = 5 × ^{5/36 + 2}× 1/36 + (-1)× 5/6 = -1/12 = 1.5€ : le jeu n’est donc pas équitable pour le joueur.

Celui-ci perdra en moyenne 1/12 d’euro par partie, ou encore il perdra en moyenne 1 euro toutes les 12 parties.

C’est à l’aide de cette notion d’espérance, dont il est en quelque sorte l’inventeur, que Pascal put résoudre le problème énoncé par le chevalier de Méré (voir introduction).

VARIANCE D UNE V.A.

En soit, la variance ne servira qu’à calculer l’écart type.

Notons pi = p X

(

=xi

)

^{, m=E X}

( )

^{. On a}

( )

i

(

i

)

² i i^{2 2}

i i

V X =

∑

p x −m =

∑

p x −m ^.

ECART−−−−TYPE D UNE V.A.

La formule est simplement (sigma) σ = V.

Remarque.

L’écart type est un indicateur important : il sert à mesurer la dispersion des valeurs autour de leur moyenne.

Plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées.

Plus il est faible, plus les valeurs sont centrées autour de leur moyenne m.

Si a un ds, la moyenne des notes est de 13, un écart-type de 5 (élevé par rapport à 13) suggérera que les notes sont hétérogènes, et qu’il y a eu de très bonnes notes et donc de très mauvaises.

On peut donc difficilement conclure que « la classe est bonne » mais plutôt qu’il y a de très bons élèves et des élèves en grande difficulté.

Fini de blablater, passons au programme !!

Valeurs x_i de X 5 2 1

(

ⁱ

)

p X =x 5

36 1 36

5 6

Chapitre

Probabilités Conditionnelles

I. Arbre pondéré

Nous présenterons ici la notion d’arbre pondéré à travers un exemple, pour plus de clarté.

Exemple.

On tire successivement et sans remise 2 boules d’une urne contenant 2 blanches et 3 noires.

L’objectif d’un arbre pondéré est de permettre une lecture plus pratique des probabilités associées à la situation.

Dans notre exemple, nous avons deux tirages :

1. A l’issu du premier, il y a deux issues : piocher N ou piocher B.

A ce que l’on appelle le premier nœud, il y aura donc deux branches.

On fait alors apparaître la probabilité de chaque issue au dessus de la branche.

2. A l’issu du second tirage, il y a de nouveau deux issues : piocher N ou piocher B, mais nous devons distinguer 4 situations :

« piocher N sachant qu’on a pioché N au premier tirage » : il reste donc 4 boules dans l’urne dont 2 N, soit une probabilité de 2

4.

« piocher B sachant qu’on a pioché N au premier tirage » : : il reste donc 4 boules dans l’urne dont 2 B, soit une probabilité de 2

4.

« piocher N sachant qu’on a pioché B au premier tirage » : il reste donc 4 boules dans l’urne dont 3 N, soit une probabilité de 3

4.

« piocher B sachant qu’on a pioché B au premier tirage » : il reste donc 4 boules dans l’urne dont 1 B, soit une probabilité de 1

4.

On obtient ainsi l’arbre suivant :

Vocabulaire Important. Lorsqu’on est sur la première branche B (donc sachant que B s’est

réalisé), la probabilité de piocher N est de ¾ : on dira que « la probabilité de piocher N sachant B » est de ¾ et on notera pB

( )

N =^{3 4}.

Remarque.

De manière générale, un arbre pourra contenir plus de deux nœuds verticaux (imaginez 3 tirages) ou horizontaux (imaginez une troisième couleur).

Le principal intérêt d’un arbre réside dans les deux règles suivantes.

La première sera justifiée dans la partie suivante : Règle 1 (prouvée plus loin)

Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin (on travaille en horizontale).

N

35

2 B

5

1/2 1/2

3/4 1/4 3/5

2/5 N

N B

B

N B

- 7 - Question.

Calculer les probabilités de piocher deux boules noires et celle de piocher la blanche puis la noire.

Réponse.

La probabilité de piocher deux boules noires est p(N,N) = 3 1 3

5× =2 10 celle de piocher la blanche puis la noire est : p(B,N) = 2 3 6 3

5× =4 20=10.

Règle 2 : loi des nœuds. (« évident » !)

La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1 (on travaille en verticale).

Explication : lorsqu’on se place sur un nœud, les branches qui en sont issues forment une partition, les évènements associés sont complémentaires.

La somme de leurs probabilités vaut donc 1, la probabilité de l’univers.

Voici quelques exercices avant d’aborder le cours à proprement parlé, juste pour se convaincre que si on comprend la stratégie, on n’en a même pas besoin…

Exercice I-1.

Bien que ce type d’exercice puisse se traiter à l’aide de tableaux par exemple, nous l’aborderons à l’aide d’un arbre de probabilités.

On réalise une enquête sur un échantillon de 10 000 personnes : parmi eux, 40% sont des adolescents de moins de 16 ans.

20% d’entre eux se déclarent intéressés par l’hebdomadaire « Jeux vidéo sur le Web » aisni que 10% des personnes de plus de 16 ans.

On notera J l’événement « être un adolescent de moins de 16 ans », I l’événement « être intéressé par le magazine ».

1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

2. En déduire les probabilités (ou proportions ici) ^{p J}

(

^∩I

)

^{et p I}

( )

^.

Exercice I-2.

Deux urnes U1 et U2 contiennent pour U1 3 boules rouges, 2 vertes et pour U2, 2 boules rouges et 1 verte.

On choisit une urne au hasard (hypothèse d’équiprobabilité), puis on tire une boule au hasard dans cette urne.

On note U1 : « l’urne choisie est U1 », U2 : « l’urne choisie est U2 », R : « la boule tirée est rouge » et V : « la boule tirée est verte ».

1. Construire l’arbre de probabilité associée à cette situation.

2a. Déterminer la probabilité de tirer une boule rouge de l’urne 1.

2b. Déterminer la probabilité de tirer une boule rouge sachant qu’on ait dans l’urne 1.

3. Déterminer la probabilité de tirer une boule rouge.

Remarque.

Un des objectifs de la partie suivante est de pouvoir répondre à la question « Sachant que la boule tirée est rouge, quelle est la probabilité qu’elle provienne de l’urne 1 ? ». On dit qu’on inverse cause et conséquence (c’est le même principe quand on teste la fiabilité d’un test en médecine).

Nous mettrons en place aussi de manière plus rigoureuse la règle n°1 précédemment citée, la formule des probabilités totales et la notion de partition.

II. Probabilité conditionnelle.

Définition.

Soit B un événement de probabilité non nulle, A un évènement quelconque.

On appelle probabilité conditionnelle de A par rapport à B, la probabilité que de A sachant que B est réalisé. On la note p_B(A) (ou parfois p(B|A)).

Propriété II-1.

On a p(A ∩ B) = p(B) × pB(A) soit encore

( ) ( ) ( )

B

p A B p A

= p B∩ .

^[admis] L’application A -> p_B(A) est une probabilité, autrement dit :

> ^pB

( )

^{A = −1 pB}

^{( )}

^A

> pB

(

A∪C

)

=pB

( )

A +pB

( )

C −pB

(

A∩C

)

Remarque.

La règle 1 est donc justifiée.

Définition.

Soit B et B_{1 2} deux ensembles. On dit que cette famille forme une partition de l’univers Ω si : ils sont non vides.

B1∪B2 = Ω (tout élément de Ω est dans B ou B_{1 2})

ils sont disjoints : B₁∩B₂= Ω (on ne compte aucun élément deux fois) Exemple.

Les évènements A et A forment toujours une partition de l’univers.

Ainsi, dans l’exercice I-1, J et J forment une partition et dans l’exercice I-2, U1 et U2 forment une partition de l’univers.

Remarque.

La définition de partition s’étend facilement à une famille finie

( )

Bi d’ensembles.

Exercice.

Dans l’exercice I-2, à l’aide de la notion de partition déterminer la probabilité de piocher une boule rouge.

Corrigé.

Les évènements U1 et U2 forment une partition de l’univers.

Ainsi, on a R = (R ∩ U1) ∪ (R ∩ U2) [« piocher rouge » c’est « piocher rouge de U1 » ou « piocher rouge de U2 »].

Mais R∩U1 et R∩U2 sont disjoints donc p(R) = p(R ∩ U1) + p(R ∩ U2)

= p(U1)× pU1(R) + p(U2)× pU2(R)

= (1/2)(3/5) + (1/2)(2/3)

= 19/30

Nous venons d’appliquer la formule des probabilités totales, sans l’avoir vu !

Formule des probabilités totales [démo au dessus !].

Si B1 et B2 forment une partition de Ω alors, pour tout événement A : p(A) = p(B₁) × pB1(A) + p(B₂) × pB2(A).

Remarque.

Cette formule se généralise pour les partitions de Ω à n éléments : B1, ... , B_n.

- 9 -

La formule de Bayes n’est pas au programme, mais son principe doit par contre être connu : elle consiste à inverser cause et conséquence (pour les exemples qui illustrent ce point, voir les exercices/ds du site).

L’idée est la suivante : par exemple dans l’exercice I-2, sachant qu’on a tiré une boule rouge, quelle est la probabilité qu’elle provienne de l’urne 1 ?

Autrement calculons pR(U1).

Toujours d’après la même formule,

( ) ( ) ( )

¹

1

1 3 2 5 9

19 19

30

R

p U R p U

p R

= ∩ = × =

.

Plus généralement,

( )

1 2

B

1 B 2 B

p(B)p (A) p(B )p (A) + p(B )p (A)

pA B = [ne pas l’apprendre].

Exercice II-2 [Bac].

Pour entretenir en bon état de fonctionnement le chauffage, une société immobilière fait contrôler les chaudières de son parc de logements pendant l’été.

On sait que 20% des chaudières sont sous garantie.

Parmi les chaudières sous garantie, la probabilité qu’une chaudière sois défectueuse est de

1 100

^.

Parmi les chaudières qui ne sont plus sous garantie, la probabilité qu’une chaudière sois défectueuse est de

1

10

^.

On appelle G l’évènement : « la chaudière est sous garantie ».

1. Calculer la probabilité des évènements suivants : A : « la chaudière est garantie et défectueuse » B : « la chaudière est défectueuse »

2. Dans un logement, la chaudière est défectueuse. Montrer que la probabilité qu’elle soit sous garantie est de

1

41

^.

3. Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie. Il coûte 80€ si la chaudière n’est plus sous garantie et n’est pas défectueuse. Il coûte 280€ si la chaudière n’est plus sous garantie et est défectueuse. On note X la variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d’une chaudière.

Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique.

III. Evénements indépendants.

Définition.

Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l’un n’a pas d’influence sur la

réalisation de l’autre, autrement dit lorsque pB(A) = p(A) ou encore lorsque pA(B) = p(B) [les deux contraintes sont équivalentes].

Attention.

Ne pas confondre indépendants et incompatibles…

Propriété III-1.

A et B sont indépendants ⇔ p(A ∩ B) = p(A) × p(B).

Propriété III-2.

A et B sont indépendants ⇔ A et B sont indépendants.

Une application importante de l’indépendance sera développée lors d’un chapitre ultérieur. Voici un aperçu :

Répétition d’épreuves identiques et indépendantes.

Reprenons le problème du chevalier de Méré : lançons donc consécutivement deux dés.

On se demande au bout de combien de lancés on a une probabilité d’apparition de 6-6 supérieure à 0.5.

On peut légitimement supposer que les lancés de dés sont indépendants : lors d’un lancé quelconque, on a donc 1 chance sur 36 de réussir donc 35 chances sur 36 d’échouer.

Soit A_n l’évènement « au moins un double 6 lors des n premiers lancés» : on cherche n tel que

( )

n ^0.5

p A ≥ .

On a ^{p A}

( )

^{n = −1 p A}

( )

^{n et} p A

( )

_n = p

(

^"echec au1 " ... "^er ∩ ∩ echec au n^ème"

) (

= p "echec au1 "^er

)

× ×.. p

(

"echec au n^ème"

)

par indépendance, et donc : ^{p A}

( )

^{n =}_36^35_^n.

Ainsi,

( )

n ^0.5

p A ≥

1 35 0.5

36

 n

⇔ −  ≥

 

35 0.5

36

 n

⇔  ≤

 

35

( )

ln ln 0.5

n 36

⇔  ≤

  puisque ln croit.

( )

ln 0.5 ln 35

36

⇔ ≥n

 

 

 

puisque 35

ln 0

36

 

 <

  ^.

C’est donc à partir de 25 lancers qu’on a plus d’une chance sur deux de faire au moins un double 6.

Corrigés des démonstrations et des exercices I. Arbre pondéré

Corrigé exercice I.

1. A l’aide de l’énoncé et de la loi des nœuds, on obtient :

2.

A l’aide de la première règle, on obtient : p(J ∩ I) = 0,4×0,2 = 0,08.

Il y a deux façons d’être intéressé : « être dans I∩J » ou « être dans I∩J ^».

Ces deux évènements forment une partition de Ω (ils sont disjoints : on ne compte aucun élément deux fois ; leur réunion est Ω : on n’oublie personne !).

Rappelons que pour des évènements disjoints A et B, on a ^{P A}

(

^∪B

)

^{=P A}

( ) ( )

^{+P B .}

Par conséquent, p I

( )

= p I

(

∩J

)

+p I

(

∩J

)

=0.4 0.2 0.6 0.1× + × =0.14^.

0,2 0,8

0,1 0,9 0,4

0,6 J

I I

J

I I

- 11 -

3/5 2/5

2/3 1/3 1/2

1/2 U1

R V

U2

R V Corrigé exercice I-2.

1. Il y a une chance sur deux de choisir chacune des urnes, l’arbre est donc le suivant :

2a. La probabilité de tirer une boule de l’urne U1 est

(

¹

)

^{1 3 3}

2 5 10 P U ∩R = × = ^, d’après la règle 1.

2b. La probabilité de tirer une boule sachant qu’on est dans l’urne U1 est 1

( )

3

U 5

P R = , puisque dans l’urne U1 il y a 3 boules rouges parmi 5 boules.

3. On veut déterminer la probabilité de tirer une boule rouge : il y a deux façons de réaliser cet événement « rouge de U1 » ou « rouge de U2 ».

Comme ces évènements forment une partition de Ω^{, on a}

( ) (

¹

) (

²

)

^{1 3 1 2 19}

2 5 2 3 30

P R =P R^∩U +P R^∩U = × + × = ^.

II. Probabilité conditionnelle.

Démonstration II-1.

Cette première propriété est cohérente avec l’intuition : jusqu’à présent, pour calculer la probabilité d’un évènement A sachant un évènement B on calculait

nbre de A dans les B nbre de A et B nbre de B = nbre de B ^. Notons card(E) le cardinal de l’ensemble E, cad son nombre d’élèments.

On calculait donc

( ) ( )

card A B card B

∩ .

Mais

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

card A B

p A B card card A B

card B

p B card B

card

= Ω =

Ω

∩

∩ ∩

d’où la première affirmation.

Corrigé exercice II-2.

→Faite un arbre pondéré : en général, les calculs avec des probabilités conditionnelles s’y prêtent.

Par lecture de l’énoncé :

G : « être sous garantie » : p(G) = 20%

B : « être défectueux »

( )

^1%

pG B = et pG

( )

B =^10%

d’où l’arbre suivant :

• B

0,01

• G

0,02 0,99

• B

•

0,78 0,1

• B

• G

0,9

• B

1. →A : « garantie et défectueux » donc A=G∩B.

On a donc p A^{( )}= p B

(

∩G

)

= p G

( )

×pG

( )

B =^{0, 2 0, 01}× =^{0, 002}=^{0, 2%}.

→On utilise alors la formule des probabilités totales puisque G et G forment une partition :

( ) ( ) ( ) ^{( ) ( )} ( ) ^{( )}

0, 2 0, 01 0,8 0,1 0, 082 8, 2%

G G

p B = p B∩G +p B∩G = p G p B +p G p B

= × + × = = ^.

2.

( )

( )

^{0, 2% 2 1}

( | )

8, 2% 82 41

p B G p G B

p B

= ∩ = = = ^.

3. Contrôle effectué : G → 0€

G^∩B → 80€

G^∩B → 280€

X la v.a. qui désigne le coût du contrôle d’une chaudière.

Déterminer la loi de a v.a. X signifie déterminer la probabilité de chaque valeur possible de X : X prend les valeurs 0 ; 80 et 280.

(

⁰

) ( )

^{0, 2}

p X = = p G =

(

⁸⁰

) ( )

^{0,8 0, 9 0, 72}

p X = = p G^∩B = × = (à l’aide d’un arbre)

(

²⁸⁰

) ( )

^{0,8 0,1 0, 08}

p X = = p G^∩B = × = (à l’aide d’un arbre)

On rappelle que l’espérance de X est donnée par la formule :

( )

i

(

i

)

i

E X =

∑

x p X =x Ici, nous avons donc E(X) = 0.p(X=0) + 80.p(X=80) + 280.p(X=280)

Soit E(X) = 80 : en moyenne, le coût de contrôles d’une chaudière est de 80€.

III. Evénements indépendants.

Démonstration III-1.

On sait que

( ) ( ) ( )

B

p A B p A

= p B^∩ ou encore, p A

(

^∩B

)

= p B p

( ) ( )

B A ^.

Donc A et B sont indépendants ⇔ pB(A) = p(A) ⇔ ^{p A}

(

^∩B

)

^{= p B p A}

( ) ( )

^.

Démonstration III-2.

On a A et B sont indépendants ⇔ p(A ∩ B) = p(A) × p(B).

Ajoutons p(A ∩ B) dans les deux membres, il vient :

A et B sont indépendants ⇔ p(A ∩ B) + p(A ∩ B) = p(A) × p(B) + p(A ∩ B).

Mais les évènements B et B forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales p(A ∩ B) + p(A ∩ B) = p(A).

On a ainsi :

A et B sont indépendants ⇔ p(A) = p(A) × p(B) + p(A ∩ B).

⇔ p(A) - p(A) × p(B) = p(A ∩ B).

⇔ p(A)[1- p(B)] = p(A ∩ B).

⇔ p(A) p(B) = p(A ∩ B).

⇔ A et B sont indépendants.

Plus d’exercices corrigés ??

> section Ds : http://mathemitec.free.fr/archives/Ts-ds.php

> section Bac : http://mathemitec.free.fr/bac/ts/bac-sujet-corrige.php