2.2 PROBABILITÉ CONDITIONNELLE ET ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS

(1)

cours 7

2.2 PROBABILITÉ

CONDITIONNELLE ET ÉVÈNEMENTS

INDÉPENDANTS

(2)

Au dernier cours, nous avons vu

(3)

Au dernier cours, nous avons vu

P (A) = lim

n!1

n(A) n

(4)

Au dernier cours, nous avons vu

P (A) = lim

n!1

n(A) n 0  P (A)  1

A1

(5)

Au dernier cours, nous avons vu

P (A) = lim

n!1

n(A) n 0  P (A)  1

A1 A2

^P ^(S^{) = 1}

(6)

Au dernier cours, nous avons vu

P (A) = lim

n!1

n(A) n 0  P (A)  1

A1 A2

^P ^(S^{) = 1}

P

[1 i=1

A_i

!

=

X1 i=1

P (A_i)

A3

_A_i _\ _A_j ₌ _;

(7)

Au dernier cours, nous avons vu

P (A) = lim

n!1

n(A) n 0  P (A)  1

A1 A2

^P ^(S^{) = 1}

P

[1 i=1

A_i

!

=

X1 i=1

P (A_i)

A3

_A_i _\ _A_j ₌ _;

P (;) = 0

(8)

Au dernier cours, nous avons vu

P (A) = lim

n!1

n(A) n 0  P (A)  1

A1 A2

^P ^(S^{) = 1}

P

[1 i=1

A_i

!

=

X1 i=1

P (A_i)

A3

_A_i _\ _A_j ₌ _;

P (;) = 0 P ( ¯A) = 1 P (A)

(9)

Au dernier cours, nous avons vu

P (A) = lim

n!1

n(A) n 0  P (A)  1

A1 A2

^P ^(S^{) = 1}

P

[1 i=1

A_i

!

=

X1 i=1

P (A_i)

A3

_A_i _\ _A_j ₌ _;

P (;) = 0 P ( ¯A) = 1 P (A) P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B)

(10)

Au dernier cours, nous avons vu

P (A) = lim

n!1

n(A) n

P (A) = |A|

|S| 0  P (A)  1

A1 A2

^P ^(S^{) = 1}

P

[1 i=1

A_i

!

=

X1 i=1

P (A_i)

A3

_A_i _\ _A_j ₌ _;

P (;) = 0 P ( ¯A) = 1 P (A) P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B)

(11)

Aujourd’hui, nous allons voir

(12)

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

Probabilité conditionelle

(13)

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

Probabilité conditionelle

✓

Évènements indépendants

(14)

Il arrive parfois qu’on veuille connaître une probabilité, mais une certaine quantité d’informations sur l’expérience aléatoire est déjà

connue.

(15)

Exemple

On pige une carte d’un jeu de 52 cartes.

(16)

Exemple

Quelle est la probabilité d’obtenir une figure sachant que notre carte pigée est un trèfle ?

(17)

Exemple

L’évènement avoir une figure est

(18)

Exemple

A = {V }, D}, R}, V |, D|, R|, V ~, D~, R~, V , D, R}

(19)

Exemple

A = {V }, D}, R}, V |, D|, R|, V ~, D~, R~, V , D, R}

L’évènement avoir un trèfle est

(20)

Exemple

A = {V }, D}, R}, V |, D|, R|, V ~, D~, R~, V , D, R}

B = {A|, 2|, 3|, 4|, 5|, 6|, 7|, 8|, 9|, 10|, V |, D|, R|}

(21)

Exemple

A = {V }, D}, R}, V |, D|, R|, V ~, D~, R~, V , D, R}

B = {A|, 2|, 3|, 4|, 5|, 6|, 7|, 8|, 9|, 10|, V |, D|, R|}

Puisque est survenu l’ensemble des résultats possible devient donc B

B

(22)

Exemple

A = {V }, D}, R}, V |, D|, R|, V ~, D~, R~, V , D, R}

B = {A|, 2|, 3|, 4|, 5|, 6|, 7|, 8|, 9|, 10|, V |, D|, R|}

B

|A \ B|

|B|

(23)

Exemple

A = {V }, D}, R}, V |, D|, R|, V ~, D~, R~, V , D, R}

B = {A|, 2|, 3|, 4|, 5|, 6|, 7|, 8|, 9|, 10|, V |, D|, R|}

B

= 3 13

|A \ B|

|B|

(24)

Exemple

A = {V }, D}, R}, V |, D|, R|, V ~, D~, R~, V , D, R}

B = {A|, 2|, 3|, 4|, 5|, 6|, 7|, 8|, 9|, 10|, V |, D|, R|}

B

= 3

13 =

|A\B|

|S|

|B|

|S|

|A \ B|

|B|

(25)

Exemple

A = {V }, D}, R}, V |, D|, R|, V ~, D~, R~, V , D, R}

B = {A|, 2|, 3|, 4|, 5|, 6|, 7|, 8|, 9|, 10|, V |, D|, R|}

B

= 3

13 =

|A\B|

|S|

|B|

|S|

= P (A \ B) P (B)

|A \ B|

|B|

(26)

Définition

On défini la probabilité conditionnelle que l’évènement se produise sachant que l’évènement s’est produit A

B

(27)

Définition

B

P (A|B)

(28)

Définition

B

P (A|B) = P (A \ B) P (B)

(29)

Définition

B

P (A|B) = P (A \ B) P (B)

Remarque:

(30)

Définition

B

P (A|B) = P (A \ B) P (B)

Remarque:

Il est toujours sous-entendu, lorsqu’on parle de probabilité conditionnelle que

(31)

Définition

B

P (A|B) = P (A \ B) P (B)

Remarque:

P (B) 6= 0

(32)

Définition

B

P (A|B) = P (A \ B) P (B)

Remarque:

P (B) 6= 0

puisque s’est produit!B

(33)

Exemple

Un étudiant estime à 1/3 ses chances d’avoir plus de 80% dans le cours de calcul 3 et à 1/2 ses chances d’avoir plus de 80% dans le

cours d’astrophysique. Il ne peut prendre qu’un de ces cours et décide de tirer à pile ou face pour choisir.

(34)

Exemple

Quelle est la probabilité qu’il obtienne plus de 80% au cours de math?

(35)

Exemple

A : prendre le cours de calcul 3

(36)

Exemple

B : obtenir plus de 80% à son cours

(37)

Exemple

B : obtenir plus de 80% à son cours ^P ^(A ^\ ^B⁾

(38)

Exemple

P (B|A) = P (A \ B) P (A)

(39)

Exemple

P (B|A) = P (A \ B)

P (A) =) P (A [ B) = P (B|A)P (A)

(40)

Exemple

P (B|A) = P (A \ B) P (A)

P (A \ B) =

✓ 1 3

◆ ✓ 1 2

◆

=) P (A [ B) = P (B|A)P (A)

(41)

Exemple

P (B|A) = P (A \ B) P (A)

P (A \ B) =

✓ 1 3

◆ ✓ 1 2

◆

=) P (A [ B) = P (B|A)P (A)

(42)

Exemple

P (B|A) = P (A \ B) P (A)

P (A \ B) =

✓ 1 3

◆ ✓ 1 2

◆

=) P (A [ B) = P (B|A)P (A)

(43)

Exemple

P (B|A) = P (A \ B) P (A)

P (A \ B) =

✓ 1 3

◆ ✓ 1 2

◆

= 1 6

=) P (A [ B) = P (B|A)P (A)

(44)

Exemple

Une urne contient 9 boules bleues et 15 boules rouges.

(45)

Exemple

On tire deux boules sans remise et on veut savoir la probabilité qu’elles soient les deux rouges.

(46)

Exemple

R₁ : La première boule est rouge

(47)

Exemple

R₁ : La première boule est rouge R₂ : La deuxième boule est rouge

(48)

Exemple

P (R₁ \ R₂)

(49)

Exemple

P (R₁ \ R₂) = P (R₁)P (R₂|R₁)

(50)

Exemple

P (R₁ \ R₂) = P (R₁)P (R₂|R₁) =

✓ 15 24

◆

P (R₂|R₁)

(51)

Exemple

P (R₁ \ R₂) = P (R₁)P (R₂|R₁) =

✓ 15 24

◆

P (R₂|R₁)

=

✓ 15 24

◆ ✓ 14 23

◆

(52)

Exemple

P (R₁ \ R₂) = P (R₁)P (R₂|R₁) =

✓ 15 24

◆

P (R₂|R₁)

=

✓ 15 24

◆ ✓ 14 23

◆

⇡ 0, 38

(53)

On peut généraliser cette idée à trois évènements

(54)

P (C|A \ B)

(55)

P (C|A \ B) = P (A \ B \ C) P (A \ B)

(56)

P (C|A \ B) = P (A \ B \ C)

P (A \ B) = P (A \ B \ C) P (A)P (B|A)

(57)

P (C|A \ B) = P (A \ B \ C)

P (A \ B) = P (A \ B \ C) P (A)P (B|A)

(58)

P (C|A \ B) = P (A \ B \ C)

P (A \ B) = P (A \ B \ C) P (A)P (B|A) P (A \ B \ C) = P (A)P (B|A)P (C|A \ B)

(59)

P (C|A \ B) = P (A \ B \ C)

Ou à n évènements

(60)

P (C|A \ B) = P (A \ B \ C)

P (A₁ \ · · · \ A_n) = P (A₁)P (A₂|A₁)P(A₃|A₁ \ A₂) . . . P (A_n|A₁ \ · · · \ A_n ₁)

Ou à n évènements

(61)

La probabilité conditionnelle peut être considérée comme une probabilité en soit.

(62)

Ceci découle du fait qu’elle respecte les axiomes de probabilités.

(63)

Si on fixe tel que et qu’on note _B _⇢ _S _P _(B₎ ₆_{= 0}

(64)

Si on fixe tel que et qu’on note _B _⇢ _S _P _(B₎ ₆_{= 0} Q(A) = P (A|B)

(65)

Vérifions que cette fonction définit bien une probabilité

(66)

A1

(67)

A1

^{Q(A) =} ^P ^(A_|^B⁾

(68)

A1

^{Q(A) =} ^P ^(A_|^B) = P (A \ B) P (B)

(69)

A1

^{Q(A) =} ^P ^(A_|^B) = P (A \ B) P (B) A \ B ⇢ B

(70)

A1

^{Q(A) =} ^P ^(A_|^B) = P (A \ B) P (B)

A \ B ⇢ B P (A \ B)  P (B)

(71)

A1

^{Q(A) =} ^P ^(A_|^B) = P (A \ B) P (B)

A \ B ⇢ B 0  P (A \ B)  P (B)

(72)

A1

^{Q(A) =} ^P ^(A_|^B) = P (A \ B) P (B)

A \ B ⇢ B 0  P (A \ B)  P (B)

0  P (A \ B)

P (B)  1

(73)

A1

^{Q(A) =} ^P ^(A_|^B) = P (A \ B) P (B)

A \ B ⇢ B 0  P (A \ B)  P (B)

0  P (A \ B)

P (B)  1 0  Q(A)  1

(74)

A2

(75)

A2

_Q(S_{) =} _P _(S_|_B_{) =} ^P ^(S ^\ ^B⁾

P (B)

(76)

A2

_Q(S_{) =} _P _(S_|_B_{) =} ^P ^(S ^\ ^B⁾

P (B) B ⇢ S

(77)

A2

_Q(S_{) =} _P _(S_|_B_{) =} ^P ^(S ^\ ^B⁾

P (B)

S \ B = B B ⇢ S

(78)

A2

_Q(S_{) =} _P _(S_|_B_{) =} ^P ^(S ^\ ^B⁾

P (B) = P (B) P (B) S \ B = B

B ⇢ S

(79)

A2

_Q(S_{) =} _P _(S_|_B_{) =} ^P ^(S ^\ ^B⁾

P (B) = P (B)

P (B) = 1 S \ B = B

B ⇢ S

(80)

A2

_Q(S_{) =} _P _(S_|_B_{) =} ^P ^(S ^\ ^B⁾

P (B) = P (B)

P (B) = 1 S \ B = B

B ⇢ S

A3

(81)

A2

_Q(S_{) =} _P _(S_|_B_{) =} ^P ^(S ^\ ^B⁾

P (B) = P (B)

P (B) = 1 S \ B = B

B ⇢ S

A3

^Q

[1 i=1

A_i

!

(82)

A2

_Q(S_{) =} _P _(S_|_B_{) =} ^P ^(S ^\ ^B⁾

P (B) = P (B)

P (B) = 1 S \ B = B

B ⇢ S

A3

^Q

[1 i=1

A_i

!

A_i \ A_j = ;

(83)

A2

_Q(S_{) =} _P _(S_|_B_{) =} ^P ^(S ^\ ^B⁾

P (B) = P (B)

P (B) = 1 S \ B = B

B ⇢ S

A3

^Q

[1 i=1

A_i

!

A_i \ A_j = ;

= P ((S₁

i=1 A_i) \ B) P (B)

(84)

A2

_Q(S_{) =} _P _(S_|_B_{) =} ^P ^(S ^\ ^B⁾

P (B) = P (B)

P (B) = 1 S \ B = B

B ⇢ S

A3

^Q

[1 i=1

A_i

!

A_i \ A_j = ;

= P ((S₁

i=1 A_i) \ B) P (B)

= P (S₁

i=1(A_i \ B)) P (B)

(85)

A2

_Q(S_{) =} _P _(S_|_B_{) =} ^P ^(S ^\ ^B⁾

P (B) = P (B)

P (B) = 1 S \ B = B

B ⇢ S

A3

^Q

[1 i=1

A_i

!

A_i \ A_j = ;

= P ((S₁

i=1 A_i) \ B) P (B)

= P (S₁

i=1(A_i \ B)) P (B)

(A_i \ B) \ (A_j \ B) = ;

(86)

A2

_Q(S_{) =} _P _(S_|_B_{) =} ^P ^(S ^\ ^B⁾

P (B) = P (B)

P (B) = 1 S \ B = B

B ⇢ S

A3

^Q

[1 i=1

A_i

!

A_i \ A_j = ;

= P ((S₁

i=1 A_i) \ B) P (B)

= P (S₁

i=1(A_i \ B)) P (B)

=

P₁

i=1 P (A_i \ B) P (B)

(A_i \ B) \ (A_j \ B) = ;

(87)

A2

_Q(S_{) =} _P _(S_|_B_{) =} ^P ^(S ^\ ^B⁾

P (B) = P (B)

P (B) = 1 S \ B = B

B ⇢ S

A3

^Q

[1 i=1

A_i

!

A_i \ A_j = ;

= P ((S₁

i=1 A_i) \ B) P (B)

= P (S₁

i=1(A_i \ B)) P (B)

=

P₁

i=1 P (A_i \ B) P (B)

=

X1 i=1

P (A_i \ B) P (B)

(A_i \ B) \ (A_j \ B) = ;

(88)

A2

_Q(S_{) =} _P _(S_|_B_{) =} ^P ^(S ^\ ^B⁾

P (B) = P (B)

P (B) = 1 S \ B = B

B ⇢ S

A3

^Q

[1 i=1

A_i

!

A_i \ A_j = ;

= P ((S₁

i=1 A_i) \ B) P (B)

= P (S₁

i=1(A_i \ B)) P (B)

=

P₁

i=1 P (A_i \ B) P (B)

=

X1 i=1

P (A_i \ B)

P (B) =

X1 i=1

Q(A_i)

(A_i \ B) \ (A_j \ B) = ;

(89)

Donc les théorèmes qu’on a vus au dernier cours sont vrais pour les probabilités conditionnelles

(90)

P (;|B) = 0

(91)

P ( ¯A|B) = 1 P (A|B) P (;|B) = 0

(92)

P ( ¯A|B) = 1 P (A|B) P (;|B) = 0

P (A [ C|B) = P (A|B) + P (C|B) P (A \ C|B)

(93)

Faites les exercices suivants

#2.22 à 2.24

(94)

Il arrive parfois que

(95)

P (A|B) = P (A)

(96)

P (A|B) = P (A)

Dans ce cas, le fait que soit arrivé n’a aucun impact sur le fait que arrive ou non.

B A

(97)

P (A|B) = P (A)

P (A|B) = P (A) = P (A \ B) P (B)

B A

(98)

P (A|B) = P (A)

P (A|B) = P (A) = P (A \ B) P (B) P (A \ B) = P (A)P (B)

B A

(99)

P (A|B) = P (A)

B A

(100)

P (A|B) = P (A)

et donc

B A

(101)

P (A|B) = P (A)

et donc

P (B|A) = P (A \ B) P (A)

B A

(102)

P (A|B) = P (A)

et donc

P (B|A) = P (A \ B)

P (A) = P (A)P (B) P (A)

B A

(103)

P (A|B) = P (A)

et donc

P (B|A) = P (A \ B)

P (A) = P (A)P (B)

P (A) = P (B)

B A

(104)

Définition

Si et sont deux évènements tels que P (A \ B) = P (A)P (B)

A B

(105)

Définition

Alors on dit que c’est évènements sont indépendants A B

(106)

Définition

Alors on dit que c’est évènements sont indépendants

Exemple

A B

(107)

Définition

Exemple

On lance une pièce de monnaie deux fois. Quelle est la probabilité que le deuxième lancé donne pile sachant que le premier lancé a donné face?

A B

(108)

Définition

Exemple

S = {(p, p), (f, p), (p, f ), (f, f )} A B

(109)

Définition

Exemple

S = {(p, p), (f, p), (p, f ), (f, f )} A = {(f, p), (f, f )} A B

(110)

Définition

Exemple

S = {(p, p), (f, p), (p, f ), (f, f )} A = {(f, p), (f, f )} B = {(f, p), (p, p)} A B

(111)

Définition

Exemple

S = {(p, p), (f, p), (p, f ), (f, f )} A = {(f, p), (f, f )}

B = {(f, p), (p, p)} P (A) = 2

4

A B

(112)

Définition

Exemple

S = {(p, p), (f, p), (p, f ), (f, f )} A = {(f, p), (f, f )}

B = {(f, p), (p, p)} P (A) = 2

4 = 1 2

A B

(113)

Définition

Exemple

S = {(p, p), (f, p), (p, f ), (f, f )} A = {(f, p), (f, f )}

B = {(f, p), (p, p)} P (A) = 2

4 = 1 2

A B

P (A|B) = |A \ B|

|B|

(114)

Définition

Exemple

S = {(p, p), (f, p), (p, f ), (f, f )} A = {(f, p), (f, f )}

B = {(f, p), (p, p)} P (A) = 2

4 = 1 2

A B

P (A|B) = |A \ B|

|B|

(115)

Définition

Exemple

S = {(p, p), (f, p), (p, f ), (f, f )} A = {(f, p), (f, f )}

B = {(f, p), (p, p)} P (A) = 2

4 = 1 2

A B

P (A|B) = |A \ B|

|B| = 1

2

(116)

Définition

Exemple

S = {(p, p), (f, p), (p, f ), (f, f )} A = {(f, p), (f, f )}

B = {(f, p), (p, p)} P (A) = 2

4 = 1 2

A B

P (A|B) = |A \ B|

|B| = 1

2

Les deux évènements sont donc indépendants

(117)

Théorème

Si et sont des évènements indépendants A B alors

(118)

Théorème

Si et sont des évènements indépendants A B alors A et _B^¯ ,

(119)

Théorème

Si et sont des évènements indépendants A B alors A et B^¯ , _A^¯ et _B ,

(120)

Théorème

Si et sont des évènements indépendants A B alors A et B^¯ , _A^¯ et _B , ainsi que _A^¯ et _B^¯

(121)

Théorème

Si et sont des évènements indépendants A B alors A et B^¯ , _A^¯ et _B , ainsi que _A^¯ et _B^¯ le sont aussi.

(122)

Théorème

Preuve:

(123)

Théorème

Preuve:

(124)

Théorème

Preuve:

P (A)

(125)

Théorème

Preuve:

P (A) = P (A \ (B [ B¯))

(126)

Théorème

Preuve:

P (A) = P (A \ (B [ B¯)) = P ((A \ B) [ (A \ B¯))

(127)

Théorème

Preuve:

P (A) = P (A \ (B [ B¯)) = P ((A \ B) [ (A \ B¯))

= P (A \ B) + P (A \ B¯)

(128)

Théorème

Preuve:

P (A) = P (A \ (B [ B¯)) = P ((A \ B) [ (A \ B¯))

= P (A \ B) + P (A \ B¯)

(129)

Théorème

Preuve:

P (A) = P (A \ (B [ B¯)) = P ((A \ B) [ (A \ B¯))

= P (A \ B) + P (A \ B¯)

P (A \ B¯) = P (A) P (A \ B)

(130)

Théorème

Preuve:

P (A) = P (A \ (B [ B¯)) = P ((A \ B) [ (A \ B¯))

= P (A \ B) + P (A \ B¯)

P (A \ B¯) = P (A) P (A \ B)

(131)

Théorème

Preuve:

P (A) = P (A \ (B [ B¯)) = P ((A \ B) [ (A \ B¯))

= P (A \ B) + P (A \ B¯)

P (A \ B¯) = P (A) P (A \ B)

= P (A) P (A)P (B)

(132)

Théorème

Preuve:

P (A) = P (A \ (B [ B¯)) = P ((A \ B) [ (A \ B¯))

= P (A \ B) + P (A \ B¯)

P (A \ B¯) = P (A) P (A \ B)

= P (A) P (A)P (B)

= P (A)(1 P (B))

(133)

Théorème

Preuve:

P (A) = P (A \ (B [ B¯)) = P ((A \ B) [ (A \ B¯))

= P (A \ B) + P (A \ B¯)

P (A \ B¯) = P (A) P (A \ B)

= P (A) P (A)P (B)

= P (A)(1 P (B))

= P (A)P ( ¯B)

(134)

Par symétrie, on obtient la preuve de

Théorème

Preuve:

P (A) = P (A \ (B [ B¯)) = P ((A \ B) [ (A \ B¯))

= P (A \ B) + P (A \ B¯)

P (A \ B¯) = P (A) P (A \ B)

= P (A) P (A)P (B)

= P (A)(1 P (B))

= P (A)P ( ¯B)

(135)

Théorème

Preuve:

Si et sont des évènements indépendants A B alors A et B^¯ , _A^¯ et _B , ainsi que _A^¯ et _B^¯ le sont aussi

(136)

Théorème

Preuve:

P ( ¯A \ B¯) =^? P ( ¯A)P ( ¯B)

(137)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B)) P ( ¯A \ B¯) =^? P ( ¯A)P ( ¯B)

(138)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= 1 P (A) P (B) + P (A)P (B) P ( ¯A \ B¯) =^? P ( ¯A)P ( ¯B)

(139)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= 1 P (A) P (B) + P (A)P (B) 1 = P (S) = P ((A [ A)¯ \ (B \ B¯))

P ( ¯A \ B¯) =^? P ( ¯A)P ( ¯B)

(140)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= P ((A \ B) [ ( ¯A \ B) [ (A \ B¯) [ ( ¯A \ B¯)) P ( ¯A \ B¯) =^? P ( ¯A)P ( ¯B)

(141)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= P ((A \ B) [ ( ¯A \ B) [ (A \ B¯) [ ( ¯A \ B¯))

= P (A \ B) + P ( ¯A \ B) + P (A \ B¯) + P ( ¯A \ B¯) P ( ¯A \ B¯) =^? P ( ¯A)P ( ¯B)

(142)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= P ((A \ B) [ ( ¯A \ B) [ (A \ B¯) [ ( ¯A \ B¯))

= P (A \ B) + P ( ¯A \ B) + P (A \ B¯) + P ( ¯A \ B¯)

= P (A)P (B) + P ( ¯A)P (B) + P (A)P ( ¯B) + P ( ¯A \ B¯) P ( ¯A \ B¯) =^? P ( ¯A)P ( ¯B)

(143)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= P ((A \ B) [ ( ¯A \ B) [ (A \ B¯) [ ( ¯A \ B¯))

= P (A \ B) + P ( ¯A \ B) + P (A \ B¯) + P ( ¯A \ B¯)

(144)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= P ((A \ B) [ ( ¯A \ B) [ (A \ B¯) [ ( ¯A \ B¯))

= P (A \ B) + P ( ¯A \ B) + P (A \ B¯) + P ( ¯A \ B¯)

(145)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= P ((A \ B) [ ( ¯A \ B) [ (A \ B¯) [ ( ¯A \ B¯))

= P (A \ B) + P ( ¯A \ B) + P (A \ B¯) + P ( ¯A \ B¯)

(146)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= P ((A \ B) [ ( ¯A \ B) [ (A \ B¯) [ ( ¯A \ B¯))

= P (A \ B) + P ( ¯A \ B) + P (A \ B¯) + P ( ¯A \ B¯)

(147)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= P ((A \ B) [ ( ¯A \ B) [ (A \ B¯) [ ( ¯A \ B¯))

= P (A \ B) + P ( ¯A \ B) + P (A \ B¯) + P ( ¯A \ B¯)

= P (A)P (B) + P ( ¯A)P (B) + P (A)P ( ¯B) + P ( ¯A \ B¯) P ( ¯A \ B¯) = 1 P (A)P (B) P ( ¯A)P (B) P (A)P ( ¯B)

P ( ¯A \ B¯) =^? P ( ¯A)P ( ¯B)

(148)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= 1 P (A) P (B) + P (A)P (B) P ( ¯A \ B¯) = 1 P (A)P (B) P ( ¯A)P (B) P (A)P ( ¯B)

P ( ¯A \ B¯) =^? P ( ¯A)P ( ¯B)

(149)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= 1 P (B)(P (A) + P ( ¯A)) P (A)P ( ¯B) P ( ¯A \ B¯) =^? P ( ¯A)P ( ¯B)

(150)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

(151)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

(152)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= 1 P (B)(P (A) + P ( ¯A)) P (A)P ( ¯B)

= 1 P (B) P (A)P ( ¯B) P ( ¯A \ B¯) =^? P ( ¯A)P ( ¯B)

(153)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= 1 P (B)(P (A) + P ( ¯A)) P (A)P ( ¯B)

= 1 P (B) P (A)P ( ¯B)

= 1 P (B) P (A)P ( ¯B) P (A)P (B) + P (A)P (B) P ( ¯A \ B¯) =^? P ( ¯A)P ( ¯B)

(154)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= 1 P (B)(P (A) + P ( ¯A)) P (A)P ( ¯B)

= 1 P (B) P (A)P ( ¯B)

= 1 P (B) P (A)P ( ¯B) P (A)P (B) + P (A)P (B) P ( ¯A \ B¯) =^? P ( ¯A)P ( ¯B)

(155)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= 1 P (B)(P (A) + P ( ¯A)) P (A)P ( ¯B)

= 1 P (B) P (A)P ( ¯B)

= 1 P (B) P (A)P ( ¯B) P (A)P (B) + P (A)P (B)

= 1 P (B) P (A)(P ( ¯B) + P (B)) + P (A)P (B) P ( ¯A \ B¯) =^? P ( ¯A)P ( ¯B)

(156)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= 1 P (B)(P (A) + P ( ¯A)) P (A)P ( ¯B)

= 1 P (B) P (A)P ( ¯B)

= 1 P (B) P (A)P ( ¯B) P (A)P (B) + P (A)P (B)

= 1 P (B) P (A)(P ( ¯B) + P (B)) + P (A)P (B) P ( ¯A \ B¯) =^? P ( ¯A)P ( ¯B)

(157)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= 1 P (B)(P (A) + P ( ¯A)) P (A)P ( ¯B)

= 1 P (B) P (A)P ( ¯B)

= 1 P (B) P (A)P ( ¯B) P (A)P (B) + P (A)P (B)

= 1 P (B) P (A)(P ( ¯B) + P (B)) + P (A)P (B)

= 1 P (B) P (A) + P (A)P (B) P ( ¯A \ B¯) =^? P ( ¯A)P ( ¯B)

(158)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= 1 P (B)(P (A) + P ( ¯A)) P (A)P ( ¯B)

= 1 P (B) P (A)P ( ¯B)

= 1 P (B) P (A)P ( ¯B) P (A)P (B) + P (A)P (B)

= 1 P (B) P (A)(P ( ¯B) + P (B)) + P (A)P (B)

(159)

Théorème

Preuve:

= (1 P (A))(1 P (B))

= 1 P (B)(P (A) + P ( ¯A)) P (A)P ( ¯B)

= 1 P (B) P (A)P ( ¯B)

= 1 P (B) P (A)P ( ¯B) P (A)P (B) + P (A)P (B)

= 1 P (B) P (A)(P ( ¯B) + P (B)) + P (A)P (B)

(160)

Faites les exercices suivants

# 2.25 à 2.30

(161)

Quel devrait être la condition pour que trois évènements soient indépendants?

(162)

Est-ce suffisant de poser que les évènements soient deux à deux indépendant?

(163)

P (A \ B) = P (A)P (B)

(164)

P (A \ C) = P (A)P (C) P (A \ B) = P (A)P (B)

(165)

P (A \ C) = P (A)P (C) P (A \ B) = P (A)P (B)

P (B \ C) = P (B)P (C)