probabilité,probabilité conditionnelle,arbre, tableau à double entrée

(1)

TP PROBABILITE MATHEMATIQUES BTSGO 2008-2009 Exercice 1-2003

Dans un magasin spécialisé, on trouve trois logiciels de géométrie, que pour simplifier, nous nommerons A, B et C. Deux catégories d'acheteurs sont intéressées par l'acquisition d'un de ces logiciels: les

enseignants et les étudiants. Au cours du premier trimestre de l'année, 360 logiciels ont été vendus. 80 % des logiciels ont été achetés par des étudiants. Les enseignants ont une préférence pour le logiciel A; ils en ont acheté 36. En revanche, ils n'ont acquis que 12 logiciels B. De plus les étudiants ont acheté 144 logiciels A et 96 logiciels C.

1. a. Reproduire et compléter le tableau suivant : b. en utilisant le tableau ci-dessus, traduire les données à l’aide des arbres .

2. On interroge un acheteur au hasard. Les probabilités demandées seront données sous forme de fraction irréductible.

a. Quelle est la probabilité que l'acheteur soit un étudiant ?

b. Quelle est la probabilité que l'acheteur soit un enseignant ayant acquis un logiciel de type A ? c. Quelle est la probabilité que l'acheteur soit un étudiant ou qu'il ait acquis un logiciel de type A ? 3. On interroge un étudiant au hasard .

Quelle est la probabilité que l’étudiant ait acheté un logiciel de type C ?

4. Quelle est la probabilité qu’un enseignant ait acheté un logiciel, sachant que c’est un logiciel de type B?

Exercice 2-2003

Une classe comprend 36 élèves âgés de 16, 17 ou 18 ans.

Il y a 22 garçons dont 3 garçons âgés de 18 ans.

50 % des élèves sont des garçons âgés de 17 ans et 25 % des élèves sont âgés de 18 ans.

50 % des filles sont âgées de 17 ans.

1. a. Reproduire et compléter le tableau d'effectifs suivants :

b. en utilisant le tableau ci-dessus ,

traduire les données à l’aide des arbres . Dans les questions suivantes, les résultats seront mis sous forme de fractions irréductibles.

2. Lors d'un cours de mathématiques, le professeur interroge au hasard un élève.

Calculer la probabilité des événements suivants : a. A: « l'élève interrogé a 16 ans » ;

b. B : « l'élève interrogé est un garçon ».

3. a. Définir sous forme d'une phrase les événements : C A B et D A B . b. Calculer la probabilité de l'événement C.

c. À l'aide des probabilités de A, B et C, calculer la probabilité de l'événement D.

4. Le professeur décide d’interroger au hasard un garçon .

Quelle est la probabilité de l’événement E : « l’élève interrogé a 17 ans » ? Exercice 3

En ce dimanche midi de début d’année, quatre amis A, B, C, D souhaitent tirer les rois.

Pour cela, ils disposent de 2 galettes (une frangipane et une brioche) qui contiennent chacune une fève.

Ils décident de couper les deux gâteaux en 4 parties égales et de manger tous une part de chaque galette. A, C sont des filles ; B, D sont des garçons.

On s’intéresse à la répartition des fèves.

1. a) Recopier et compléter l’arbre ci-dessous : b) Combien y a-t-il de résultats possibles pour la répartition des 2 fèves ?

c) En supposant que les tirages soient équiprobables, déterminer la probabilité des événements ci-dessous :

E : « A a au moins une fève » ; F : « A n’a pas de fève » ;

Logiciels de type Acheteur

A B C Total

Enseignant 36 12

Étudiant 144 96

Total 360

Sexes âges

Garçons Filles Total 16 ans

17 ans 18 ans

Total 36

Fève de la brioche (obtenue par)

Fève de la Frangipane (obtenue par)

A

B

C

D

AB C D

(2)

G : « aucun garçon n’a obtenu de fève » ; H : « les 2 fèves ont été obtenues par la même personne » . 2. Sachant que la fève de la brioche a été obtenue par une fille, déterminer la probabilité de

l’événement: I : « la fève de la frangipane est obtenue par B ».

Exercice 4

La médiathèque d'une université possède des DVD de deux provenances, les DVD reçus en dotation et les DVD achetés. Par ailleurs, on distingue les DVD qui sont de production européenne et les autres. On choisit au hasard un de ces DVD. On note :

D l'évènement « le DVD a été reçu en dotation » etD l'évènement contraire,

U l'évènement « le DVD est de production européenne » etUl'évènement contraire.

On modélise cette situation aléatoire par l'arbre incomplet suivant dans lequel figurent quelques probabilités :

Par exemple, la probabilité que le DVD ait été reçu en dotation est ^{p D}^{( ) 0, 25}^

On donne, de plus, la probabilité de l'évènement U : p U( ) 0, 7625 . 1.a. Donner la probabilité de U sachant D

b.Calculer p(_D).

2.a. Calculer la probabilité que le DVD choisi ait été reçu en dotation et soit de production européenne ( donner la valeur exacte).

b.Montrer que la probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de production européenne est égale à 0,6.

3.Sachant que le DVD choisi a été acheté, calculer la probabilité qu'il soit de production européenne Exercice 5

Une entreprise fabrique des cartes graphiques pour ordinateurs.

Deux ateliers de fabrication se répartissent la production d’une journée de la façon suivante : l’atelier A produit 900 cartes et l’atelier B produit 600 cartes.

Les contrôles de qualité ont montré qu’un jour donné, 2 % des cartes produites par l’atelier A et 1 % des cartes produites par l’atelier B sont défectueuses.

On prélève au hasard une carte dans le production d’une journée. On note : – A l’évènement « la carte prélevée sort de l’atelier A » ;

– B l’évènement « la carte prélevée sort de l’atelier B » ; – D l’évènement « la carte prélevée est défectueuse ».

1. À l’aide des informations ci-dessus, déterminer les probabilités ^{P A}^{( )}, ^{P B}^{( )}, P DA^{( )}, et P DB^{( )}. 2. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

3. Définir les évènements A D et BD, puis calculer leurs probabilités.

4. Montrer que P D( ) 0,016 . 5. Calculer ^{P A}_D^{( )}.

6. Les évènements A et D sont-ils indépendants ? Justifier.

Exercice 6

Dans cet exercice, on donnera les valeurs exactes des probabilités.

Lue achète un lot de 20 clés USB de deux marques, Cralinte et Kincoss, toutes les clés ayant la même forme extérieure. De la première marque il a pu acquérir cinq clés de capacité 512 Mo, deux de 1 Go et une de 2 Go. De la seconde il ramène huit clés de capacité 512 Mo, deux de 1 Go et deux de 2 Go.

D

U

U U 0,25 U

0,65

(3)

(1 Go = 1 000 Mo). Il choisit au hasard l’une de ces clés.

On note dans la suite les évènements suivants :

 G : « La clé choisie est de marque Gralinte » ;

 K : « La clé choisie est de marque Kincoss » ;

 A : « La capacité de la clé choisie est de 512 Mo » ;

 B : « La capacité de la clé choisie est de 1 Go » ;

 C : « La capacité de la clé choisie est de 2 Go ».

1. a. Donner la probabilité de l’évènement K,

b. Donner la probabilité de l’évènement A sachant K.

c. Recopier et compléter l’arbre de probabilité suivant, en écrivant sur chaque branche la probabilité correspondante :

2. Quelle est la probabilité que Luc ait choisi une clé de 512 Mo ? Exercice 1

I. Tableau de données

.Des étudiants ont acheté 80 % des 360 logiciels Ils en ont donc acheté : ⁸⁰ ^{360 288} 100 

.Il y a donc 360 -288 = 72 logiciels qui ont été acheté par des enseignants . On en déduit que les enseignants ont acheté 72- (36 + 12) = 24 logiciels C.

.Le nombre d'étudiants ayant acheté le logiciel B est égal à : 288- (144 + 96) = 48 . En faisant les totaux par colonne, on obtient alors le tableau suivant

Logiciels de type Acheteur

A B C Total

Enseignant 36 12 24 72

Étudiant 144 48 96 288

Total 180 60 120 360

2. a. Probabilité que l'acheteur soit un étudiant

Soit A l' événement « l'acheteur est un étudiant » .Puisque les acheteurs sont interrogés au hasard parmi les 360 acheteurs, on fait l'hypothèse d'équiprobabilité des événements élémentaires . On sait alors que la probabilité de l'événement A est donnée par la formule :

( ) '

360

nombre d éléments de ET

P ET  Or, il y a 288 étudiants parmi les acheteurs, d'où : ⁽ ⁾ ²⁸⁸ ⁴ 360 5 P ET   b. Probabilité que l'acheteur soit un enseignant ayant acquis un logiciel de type A

Soit B l'événement: « l'acheteur est un enseignant ayant acquis un logiciel de type A ».

Il y a 36 enseignants ayant acquis un logiciel de type A, donc, en appliquant la formule vue à la question précédente : ^{( )} ³⁶ ¹

360 10 P B  

c. Probabilité que l'acheteur soit un étudiant ou qu'il ait acquis un logiciel de type A Soit C l'événement : « l'acheteur est un étudiant ou il a acquis un logiciel de type A » . Il y a 288 étudiants et 36 non-étudiants (enseignants) qui ont acquis un logiciel de type A.

0,4

G

A B

A B C

1/6 C K

0,8 ET

A B

A B C

1/3 C 0,2 EN0,5

1/6 0,5

1/6 1/3

(4)

Le nombre d'éléments de C est ainsi : 288 + 36 = 324 . D'où: ^{( )} ³²⁴ ⁹ 360 10 P C   On en déduit : ^{( )} ⁹

P C 10 Autre méthode : ⁽ ⁾ ⁴

P ET 5 , 180 1

( ) 360 2

p A   , 144 2

( )

360 5

p ETA   , donc

4 1 2 2 1 9

( ) ( ) ( ) ( )

5 2 5 5 2 10

p ETA  p ET  p A p ETA      

* Remarque: ^{C ET}^ ^^B, avec ETet B incompatibles, d'où ^{( )} ⁽ ⁾ ⁴ ¹ ⁹ 5 10 10 P C P ETB   

En effet, l'événement « l'acheteur a acquis un logiciel de type A » est la réunion de l'événement A 1 « l'acheteur est un étudiant ayant acquis un logiciel de type A » et de « l'acheteur est un enseignant ayant acquis un logiciel de type A »,soit l'événement B .

Alors: C A (A1B) ( AA1)  B A B , car A1 est contenu dans A.

3. Probabilité que le client ait acheté un logiciel de type C, sachant que c'est un étudiant Dans cette question, l'univers des possibles est à présent l'ensemble des 288 étudiants.

Parmi ces 288 étudiants, 96 ont acheté un logiciel de type C. Il y a toujours équiprobabilité des choix, donc la probabilité demandée est égale à : ( ) ⁹⁶ ¹

288 3 PET C  

4. la probabilité qu’un enseignant ait acheté un logiciel, sachant que c’est un logiciel de type B?

Dans cette question, l'univers des possibles est à présent l'ensemble des 60 logiciels B.

12 enseignant ont acheté un logiciel de type B. Il y a toujours équiprobabilité des choix, donc la probabilité demandée est égale à : ⁽ ⁾ ¹² ¹

60 5 P ENB  

Exercice 2

1. Tableau d'effectifs

.50 % des élèves étant des garçons âgés de 17 ans, il y a donc ⁵⁰ ^{36 18}

100  .18 garçons âgés de 17 ans.

.25 % des élèves étant âgés de 18 ans, cela fait ²⁵ ^{36 9}

100  élèves âgés de 18 ans.

.Il y a en tout 22 garçons, donc 36 22 = 14 filles, et 50% de celles-ci ont 17 ans, d'où il y a 7 filles âgées de 17 ans. On peut alors compléter le tableau d'effectifs :

Sexes

âges Garçons Filles Total

16 ans 1 1 2

17 ans 18 7 25

18 ans 3 6 9

Total 22 14 36

2. a. Probabilité de A

Comme le professeur interroge un élève au hasard, on peut supposer l'équiprobabilité des 36 événements élémentaires. La probabilité de l'événement A est alors donnée par la formule :

( ^{( )} ^'

36

nombre d éléments de A

P A  . Il y a 2 élèves âgés de 16 ans dans cette classe, d'où ^{( )} ² ¹ 36 18 P A   . b. Probabilité de B

Le tableau d'effectifs montre qu'il y a 22 garçons dans la classe, donc une formule similaire à celle utilisée en 2. a. permet de calculer la probabilité de l'événement B : ^{( )} ^{22 11}

36 18

P B   soit : ^{( )} ¹¹ P B 18 3. a. Définition des événements C et D

C A B est l'événement: « l'élève interrogé est un garçon âgé de 16 ans ».

D A B est l’événement : « l'élève interrogé est un garçon ou est âgé de 16 ans ».

b. Probabilité de C

11/18 G

A B

A B C

3/7 C F

7/18 1/14 1/2 1/22

9/11 3/22

(5)

Il y a dans la classe un seul garçon âgé de 16 ans, donc la probabilité de C est égale à : ^{( )} ¹ P A 36 c. Probabilité de D. Une formule du cours permet de déterminer la probabilité de D A B :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P D P A B P A P B P A B .Ainsi 1 11 1 23

( ) ( ) ( ) ( )

18 18 36 36

P D P A P B P C     4. Probabilité de E

Comme le professeur décide d'interroger au hasard un garçon, on est toujours dans une situation d'équiprobabilité, mais l'univers des possibles est à présent l' ensemble des 22 garçons.

Parmi ceux-ci, il yen a 18 qui ont 17 ans. On en déduit la probabilité de l'événement E:

18 9 ( ) 22 11

P E   ,soit : ^{( )} ⁹ P E 11 Exercice 3

1.Arbre des répartitions possibles b. Nombre de répartitions possibles L' arbre construit à la question 1. a.

montre qu' il y a 16 répartitions possibles pour les 2 fèves, puisque chacune des quatre premières branches de l'arbre donne naissance à quatre nouvelles branches.

c. Probabilité des événements E, F, G, H"

Puisqu'on suppose l'équiprobabilité des tirages, et puisqu'il ya 16 tirages possibles en tout, on en déduit que la probabilité d'un événement X est donnée par la formule :

^{( )} ^'

16

nombre d éléments de X

P X  .

.Probabilité de E : L'événement « A a au moins une fève » est formé des branches suivantes de l'arbre:

E = AA, AB, AC, AD, BA, CA , DA

 

. D'où : ^{( )} ⁷ P E 16

.Probabilité de F: L'événement « A n'a pas de fève » est l'événement contraire de E. Ainsi : ^{( ) 1} ^{( ) 1} ⁷ ⁹

16 16 P F  P E   

.Probabilité de G : G est l' événement « aucun garçon n' a obtenu de fève » ; il correspond donc aux cas où les fèves ont été obtenues par les deux filles. Cet événement est donc formé des branches de l'arbre suivantes: G



AA, AB, BA , BB



. D' où : ^{( )} ⁴ ¹

16 4 P G  

.Probabilité de H: L'événement « les 2 fèves ont été obtenues par la même personne » est réalisé dans les quatre cas suivants: A tire les deux fèves (branche AA), B tire les deux fèves, C tire les deux fèves, D tire les deux fèves. H 



AA, BB, CC , DD



Ainsi : ^{( )} ⁴ ¹

16 4 P H   2. Probabilité de l'événement I

Dans cette question, on sait déjà que la fève de la brioche a été obtenue par une fille (A ou B).

L'univers des possibles change alors: il est formé de 8 éventualités, qui correspondent aux huit premières branches de l' arbre.

L' événement « la fève de la frangipane est obtenue par B » comprend deux éventualités: celle correspondant à la branche AB et celle correspondant à la branche BB. D'où : ^{( )} ² ¹

8 4 P I   . Exercice 4

Fève de la brioche (obtenue par)

Fève de la Frangipane (obtenue par)

A

B

C

D

A B C DA B C D A B C DA B C D

D

U

U U 0,25 U

0,65 0,35

0,75 0,80

0,20

(6)

D l’événement « le DVD a été reçu en dotation » et _D l’événement contraire

U l’événement « le DVD est de production européenne » et _U l’événement contraire. ^{P D}^{( ) 0, 25}^ et ( ) 0,7625

P U 

1. a. D'après les indications qui figurent sur l'arbre on a : ^{P U}_D^{( ) 0,65}^ b. P D( )P D( ) 1 , donc P D( ) 1 P D( ) 1 0, 25 0,75  

2. probabilité que le DVD choisi ait été reçu en dotation et soit de production européenne : P D U⁽  ⁾P D^{( )}P U_D( ) 0, 25 0, 65 0,1625  

La probabilité que le DVD choisi ait été reçu en dotation et soit de production européenne est P D U(  ) 0,1625

b. probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de production européenne est égale D et _D forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales :

On a : P U( )P D U(  )P D U(  ), d’où : P D U(  )P U( )P D U(  ) 0, 7625 0,1625 0, 6   La probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de production européenne est P D U(  ) 0,6 . 3.probabilité que le DVD soit de production européenne sachant qu’il a été acheté

( ) 0,6

( ) 0,8

( ) 0,75

D

P D U

P U P D

   

Sachant que le DVD choisi a été acheté, la probabilité qu'il soit de production européenne est^{P U}_D^{( ) 0,8}^ Exercice 5

1. L’atelier A produit 900 cartes sur les 1500 donc 900 3

( ) 0,6

1500 5

P A   

L’atelier B produit 600 cartes sur les 1500 donc 600 2

( ) 0, 4

1500 5

P B    .

2 % des cartes produites par l’atelier A sont défectueuses donc 2

( ) 0,02

A 100

P D   .

1 % des cartes produites par l’atelier B sont défectueuses donc 1

( ) 0,01

B 100

P D   .

2. voir arbre ci-contre

3. A D est l’événement « la carte provient de A et est défectueuse »

P A D⁽  ⁾P D_A^{( )}P A( ) 0,02 0, 6 0, 012  

BD est l’événement « la carte provient de B et est défectueuse » P B⁽ D⁾P D_B^{( )}P B( ) 0,01 0, 4 0, 004   .

4. P D

 

P A D







P B



D



0,012 0, 004 0,016 

5. ( ) 0,012 12 3

( ) 0,75

( ) 0,016 16 4

D P A D

P A P D

      .

6. ^{P A D}



^



^^0,012 ; P A^{( )}P D( ) 0,6 0,012 0,096   ,

donc ^{P A}^{( )}^^{P D}^{( )}^^{P A D}



^



. Par conséquent les événements A et D ne sont pas indépendants.

Exercice 6

 G : « La clé choisie est de marque Gralinte » ;

 K : « La clé choisie est de marque Kincoss » ;

 A : « La capacité de la clé choisie est de 512 Mo » ;

 B : « La capacité de la clé choisie est de 1 Go » ;

A

B

D

D D 0,6 D

0,02 0,98

0,4 0,01

0,99

(7)

 C : « La capacité de la clé choisie est de 2 Go ».

1.Luc ramène 12 clés de la marque Kincoss, sur les 20 clés qu’il ramène au total, donc: ^{( )} ¹² ³ ^0,6

20 5 P K   

b. parmi les clés de la marque Kincoss, il y en a 8 de capacité 512 Mo , donc : 8 2 ( ) 12 3 P AK   . c. On complète l’arbre de probabilité suivant :

2.

^{P A}

 

^^{P A G}



^



^^{P K}



^^A



^{P A}

 

^^{P G}

 

^^{P A}_G^{( )}^^{P K}

 

^^{P A}_K^{( )}

 

^{0, 4} ⁵ ^0,6 ² ^0,65

8 3

P A     

La probabilité que Luc ait choisi une clé de 512 Mo est de 0,65.

0,4

G

A B

A B C

1/6 C 0,6 K 2/3

1/6 5/8

1/4 1/8