PROBABILITÉ CORRECTION DES EXERCICES

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PROBABILITÉ

CORRECTION DES EXERCICES

INDÉPENDANCE Exercice 1 :

Répondons par Vrai ou faux en justifiant notre réponse.

On considère trois évènements A, B et C d’un univers Ω tels que:

P(A) = 0,5, P(B) = 0,25, P(C) = 0,4, P(A∩B) = 0,13, P(A∩C) = 0,2 et P(B ∩ C) = 0,1.

1. Faux.

Les évènements A et B ne sont pas indépendants car la probabilité de l’intersection des évènements A et B, est différente du produit de la probabilité de ces évènements

P(A)× P(B) = 0,5 ×0,25 = 0,125 6= P(A∩ B) = 0,13.

2. Vrai.

Les évènements A et C sont indépendants car P(A)× P(C) = 0,5 × 0,4 = 0,2 = P(A∩ C).

3. Vrai.

Les évènements B et C sont indépendants car P(B) × P(C) = 0,25× 0,4 = 0,1 = P(B ∩ C).

Exercice 2 :

Répondons par Vrai ou faux en justifiant notre réponse.

On considère deux évènements E et B d’un univers Ω tels que:

P(E) = 0,45, P_E(F) = 0,4 et P_F(E) = 0,45.

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1. Vrai.

Les évènements E et F sont indépendants car PF(E) = P(E) = 0,45.

2. Faux.

On sait que P_E(F) = P(E ∩ F)

P(E) donc

P(E ∩ F) = P(E) ×P_E(F) = 0,45× 0,4 = 0,18.

P(E ∩ F) = 0,18 6= 0,25 d’où l’affirmation est bien fausse.

3. Vrai.

D’après la question 1) les évènements E et F sont indépendants donc PE(F) = P(F) = 0,4.

D’où l’affirmation est bien vraie.

Exercice 3 :

On considère deux évènements A et B tels que: P(A) = 0,2, P(B) = 0,5 et P(A ∪ B) = 0,6.

1. Calculons P(A ∩ B).

On sait que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A∩ B) donc P(A∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B)

Ainsi, P(A ∩ B) = 0,2 + 0,5− 0,6 = 0,1 D’où P(A∩ B) = 0,1

2. Oui, les évènements A et B sont indépendants car P(A)× P(B) = 0,2 ×0,5 = 0,1 = P(A ∩ B).

3. Déduisons la probabilité P_A(B).

PA(B) = P(B) car les évènement A et B sont indépendants.

D’où PA(B) = 0,5.

Exercice 4 :

On pioche au hasard un jeton dans un sac contenant 10 jetons numérotés de 1 à 10 indiscernable au touché.

On note A l’évènement « le jeton porte un nombre pair » et

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B l’évènement « le jeton porte un nombre multiple de trois ».

Nous sommes dans une situation d’équiprobabilité.

1. Calculons la probabilité P(A).

A : « le jeton porte un nombre pair » donc A = {2,4,6,8,10}

P(A) = Card(A)

10 = 5 10. D’où P(A) = 1

2

2. Calculons la probabilité P(A ∩ B). »

L’évènement A ∩ B est l’évènement « le jeton porte un nombre pair qui est un multiple de trois».

On a: A = {2,4,6,8,10} et 6 est le seul nombre multiple de trois parmi les éléments de A.

Ainsi, P(A ∩ B) = 1 10

3. Non, les évènements A et B ne sont pas indépendants.

La probabilité de tiré un jeton portant un nombre pair sachant que ce nombre est un nombre est un multiple de trois est PB(A).

Le jeton portant le numéro 6 est le seul jeton portant à la fois un nombre pair qui est un multiple de trois donc P_B(A) = 1 or P(A) = 1

2. PB(A) 6= P(A) alors les évènements A et B ne sont pas indépendants.

Exercice 5 :

On lance un dé parfaitement équilibré, à six faces et on note les événements suivants :

• E : « le résultat est 2 ; 3 ou 6 » ;

• F : « le résultat est un nombre pair ».

Vérifions si les événements E et F sont indépendants.

Nous sommes dans une situation d’équiprobabilité.

E = {2,3,6}.

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F = {2,4,6}.

E ∩ F = {2,6}.

P(E) = 3 6 = 1

2, P(F) = 3 6 = 1

2 et P(E ∩ F) = 2 6 = 1

3. P(E) × P(F) = 1

2 × 1 2 = 1 1 4

3 6= 1

4 donc P(E ∩ F) 6= P(E) × P(F) donc les évènements E et F ne sont pas indépendants.

Exercice 6 :

On note A l’évènement « la boule porte un nombre pair » et B l’évènement « la boule porte un nombre multiple de cinq ».

1. Les évènements A et B ne sont pas incompatibles car le nombre 10 est un nombre pair et en même temps un multiple de 5 c’est-à-dire : A∩ B = {10} 6= φ.

2. Vérifions si les évènements A et B sont indépendants.

A = {2,4,6,8,10,12}

B = {5,10} et A∩ B = {10}

Étant dans une situation d’équiprobabilité on a:

P(A) = 6

12 = 1 2 P(B) = 2

12 = 1

6 et

P(A∩ B) = 1 12

Ainsi, P(A) × P(B) = 1 2 × 1

6 = 1

12 = P(A ∩ B).

D’où les évènements A et B sont bien indépendants.

3. Si on enlève de l’urne la boule portant le numéro 1, les évènements A et B restent inchangés:

A = {2,4,6,8,10,12}

B = {5,10} et

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A∩ B = {10}

Donc les évènements A et B ne sont pas incompatibles dans ce cas car A∩ B 6= φ.

Vérifions si ces évènements sont toujours indépendants.

Le nombre total de boule étant réduite maintenant à 11, on a:

P(A) = 6 11 P(B) = 2

11 et P(A∩ B) = 1

11

Ainsi P(A) × P(B) = 6

11 × 2

11 = 12

121 6= 1 Donc P(A∩ B) 6= P(A) ×P(B). 11

D’où les évènements A et B ne sont plus indépendants si on enlève la boule portant le numéro 1 de l’urne.

Exercice 7 :

Disons si les événements A et B sont indépendants en justifiant.

1. P(A) = 0,25, P(B) = 0,8 et P(A ∩ B) = 0,21.

Les évènements A et B ne sont pas indépendants car P(A)× P(B) = 0,2 6= P(A∩ B).

2. P(A) = 0,25, P(B) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,1.

Les évènements A et B sont bien indépendants car P(A)× P(B) = 0,25× 0,4 = 0,1.

3. P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 et P(A ∪ B) = 0,7.

Déterminons d’abord P(A ∩ B).

P(A∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0,5 + 0,4− 0,7 = 0,2 Donc P(A∩ B) = 0,2.

On a P(A) × P(B) = 0,5× 0,4 = 0,2 = P(A ∩ B) D’où les évènements A et B sont bien indépendants.

4. P(A) = 0,8, P(B) = 0,25 et P(A ∪ B) = 0,65.

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Déterminons d’abord P(A ∩ B).

P(A∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0,8 + 0,25− 0,65 = 0,4 Donc P(A∩ B) = 0,4.

De plus, P(A) × P(B) = 0,8 × 0,25 = 0,2 = P(A∩ B).

D’où les évènements A et B sont indépendants.

Exercice 8 :

1. Soient A et B deux événements indépendants tels que P( ¯A) = 0,6 et P(A∩ B) = 0,3.

Calculons:

• P(A).

P(A) = 1 − P( ¯A) = 1− 0,6 = 0,4.

D’où P(A) = 0,4

• P(B).

A et B étant deux évènements indépendants alors on a:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) donc P(B) = P(A ∩ B) P(A) . Ainsi, P(B) = 0,3

0,4 = 0,75

2. Soient A et B deux événements incompatibles de probabilité non nulle.

Démontrons que A et B ne sont pas indépendants.

Raisonnons par l’absurde.

Supposons que les évènements A et B sont indépendants.

Si A et B sont deux évènements indépendants alors P(A∩ B) = P(A) ×P(B).

De plus A et B étant deux évènements incompatibles alors P(A∩ B) = 0.

On en déduit donc que P(A∩B) = 0 ⇔ P(A)×P(B) = 0 ⇔ P(A) = 0 ou P(B) = 0; ce qui est absurde car les probabilités des évènements A et B sont non nulles.

Par conséquent, les évènements A et B ne sont pas indépendants.

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Exercice 9 :

Soient deux événements A et B tels que P(A) = p, P(B) = P( ¯A) et P(A∩ B) = 0,2p+ 0,15.

1. Prouvons que, pour tout p ∈ R; −p²+0,8p−0,15 = (0,5−p)(p−0,3).

(0,5 − p)(p− 0,3) = 0,5p− 0,5 × 0,3− p² + 0,3p

= −p² + 0,8p −0,15

D’où on a bien −p² + 0,8p − 0,15 = (0,5− p)(p −0,3).

2. Déterminons la probabilité p pour que les évènements A et B soient indépendants.

Si les évènements A et B sont indépendants alors on a P(A∩ B) = P(A) ×P(B).

P(A) = p, P(B) = P( ¯A) = 1− p et P(A ∩ B) = 0,2p + 0,15.

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ⇔ 0,2p+ 0,15 = p(1 − p) ⇔

p −p² − 0,2p −0,15 = 0 ⇔

−p²+0,8p− 0,15 = 0 Résolvons l’équation −p² + 0,8p− 0,15 = 0.

De la question précédente, on a: −p²+0,8p−0,15 = (0,5−p)(p−0,3).

Ainsi,

−p² + 0,8p− 0,15 = 0 ⇔ (0,5 − p)(p− 0,3) = 0

⇔ 0,5 −p = 0 ou p− 0,3 = 0

⇔ p = 0,5 ou p = 0,3

Par conséquent, les évènements A et B sont indépendants lorsque la probabilité p = 0,3 ou lorsque p = 0,5.