Introduction à la probabilité Exercices solutionnés

Introduction à la probabilité Exercices solutionnés

Geneviève Gauthier

dernière mise à jour : 16 octobre 2000

Exercice. Deux balles sont successivement tirées dans une urne con- tenant 3 balles blanches, 2 balles rouges et 1 balle noire (tirages sans remise).

a) Quel est l’ensemble fondamental correspondant à cette expérience aléa- toire?

b) Déterminez la mesure de probabilité correspondant à l’expérience aléatoire.

c) Calculez la probabilité associée à chacun des événements suivants : A : la premi ere balle est rouge

B : les deux balles sont rouges

C : les deux balles sont de m^ eme couleur D : les deux balles sont de couleurs di erentes E : aucune des balles n

est rouge

F : la seconde balle est rouge

d) Deux événements A et B sont dits incompatibles s’ils ne peuvent survenir en même temps, c’est-à-dire si A \ B = ; . Parmi les événements précédents, lesquels sont indépendants et lesquels sont incompatibles?

e) Refaites l’exercice d en supposant que les tirages se font avec remise.

f) En supposant que les tirages se font sans remise, calculez P [B j A ], P [C j A ] ; P [D j A ], P [E j A ], P [F j A ] ; P [A j F ] ; P [B j F ], P [C j F ] ; P [D j F ] et P [E j F ].

Réponse.

a) L’ensemble fondamental contient 8 éléments. Chacun d’eux peut être représenté par deux lettres, la première indiquant la couleur de la balle choisie au premier tirage et la deuxième représentant la couleur de la deuxième balle

1

tirée : = f BB; BR; BN; RB; RR; RN; N B; N R g : b)

! P [!]

BB

=

BR

=

BN

=

RB

=

! P [!]

RR

=

RN

=

N B

=

N R

=

:

c) P [A] =

, P [B ] =

, P [C] =

, P [D] =

, P [E] =

; P [F ] =

. d) Aucun couple d’événements indépendants, et les couples d’événements incompatibles sont A et E, B et D, B et E, C et D et E et F .

e)

P [A \ B] =

6 =

= P [A] P [B ] dépendants compatibles P [A \ C] =

6 =

= P [A] P [C] dépendants compatibles P [A \ D] =

6 =

= P [A] P [D] dépendants compatibles P [A \ E] = 0 6 =

= P [A] P [E] dépendants incompatibles

P [A \ F ] =

= P [A] P [F ] indépendants compatibles P [B \ C] =

6 =

= P [B] P [C] dépendants compatibles P [B \ D] = 0 6 =

= P [B] P [D] dépendants incompatibles

P [B \ E] = 0 6 =

= P [B] P [E] dépendants incompatibles P [B \ F ] =

6 =

= P [B] P [F ] dépendants compatibles P [C \ D] = 0 6 =

= P [C] P [D] dépendants incompatibles P [C \ E] =

6 =

= P [C] P [E] dépendants compatibles

P [C \ F ] =

6 =

= P [C] P [F ] dépendants compatibles P [D \ E] =

6 =

= P [D] P [E] dépendants compatibles P [D \ F ] =

6 =

= P [D] P [F ] dépendants compatibles P [E \ F ] = 0 6 =

= P [E] P [F ] dépendants incompatibles f) P [B j A ] =

, P [C j A ] =

; P [D j A ] =

, P [E j A] = 0, P [F j A ] =

; P [A j F ] =

; P [B j F ] =

, P [C j F ] =

; P [D j F ] =

et P [E j F = 0] :

2

Exercice. Vous faites face à trois cavernes et vous devez entrer dans l’une d’elles. Une seule est sans danger. Un gardien, placé à l’entrée des trois cavernes, sait laquelle des trois est sécuritaire. Vous devez faire un premier choix. Le gardien vous indiquera alors parmi les deux cavernes non- choisies, une caverne dangereuse. Vous aurez alors l’opportunité de changer d’avis. Le ferez-vous? Justi…ez votre réponse.

Solution. Supposons que la caverne sécuritaire soit la première.

Considérons le cas où vous ne changerez pas d’avis.

Choisir la caverne # Le gardien indique que la caverne #... est dangereuse

Puisque la décision reste la même, la caverne choisie est

la caverne #

1 avec probabilité

2 avec probabilité

3 avec probabilité

1 avec probabilité

1 avec probabilité

2 avec probabilité

3 avec probabilité 1 2 avec probabilité

3 avec probabilité

2 avec probabilité 1 3 avec probabilité

Donc la probabilité de choisir la caverne sécuritaire (c’est-à-dire la caverne

#1) est

.

Considérons le cas où vous changerez d’avis :

Choisir la caverne # Le gardien indique que la caverne #... est dangereuse

Vous changez d’idée, donc la caverne choisie

est la caverne #

1 avec probabilité

2 avec probabilité

3 avec probabilité

3 avec probabilité

2 avec probabilité

2 avec probabilité

3 avec probabilité 1 1 avec probabilité

3 avec probabilité

2 avec probabilité 1 1 avec probabilité

Donc la probabilité de choisir la caverne sécuritaire (c’est-à-dire la caverne

#1) est

.

Vous avez donc avantage à changer d’avis.

3

Formellement, la solution est la suivante : posons

A = choix de la caverne sécuritaire (caverne #1), B

= le gardien vous indique la caverne # i, i 2 f 2; 3 g ; C

= votre premier choix est la caverne j i, i 2 f 1; 2; 3 g : Si vous ne changez pas d’avis

P [A] = P [A j B

\ C

] P [B

\ C

] + P [A j B

\ C

] P [B

\ C

] +P [A j B

\ C

] P [B

\ C

] + P [A j B

\ C

] P [B

\ C

] +P [A j B

\ C

] P [B

\ C

] + P [A j B

\ C

] P [B

\ C

]

= 1 P [B

\ C

] + 1 P [B

\ C

] +0 P [B

\ C

] + 0 P [B

\ C

] +0 P [B

\ C

] + 0 P [B

\ C

]

= P [B

\ C

] + P [B

\ C

]

= P [B

j C

] P [C

] + P [B

j C

] P [C

]

= 1

2 1 3 + 1

2 1 3 = 1

3 : Mais si vous changez d’avis, alors

P [A] = P [A j B

\ C

] P [B

\ C

] + P [A j B

\ C

] P [B

\ C

] +P [A j B

\ C

] P [B

\ C

] + P [A j B

\ C

] P [B

\ C

] +P [A j B

\ C

] P [B

\ C

] + P [A j B

\ C

] P [B

\ C

]

= 0 P [B

\ C

] + 0 P [B

\ C

] +0 P [B

\ C

] + 1 P [B

\ C

] +1 P [B

\ C

] + 0 P [B

\ C

]

= P [B

\ C

] + P [B

\ C

]

= P [B

j C

] P [C

] + P [B

j C

] P [C

]

= 1 1

3 + 1 1 3 = 2

3 :

4