A 510 Antoine Verroken
1. tout nombre puissant est représenté par a^2 * b^3
2. un naturel quelconque peut être représenté par la différence de deux nombres puissants.
cfr. Fibonacci Quaterly 20 1982 p . 85 – 87 Wayne L.Mc. Daniel Intern. J. Math.& ath. Sc. 9/4 1986 Mollin et Walsh p 801-806
3. – un nombre impair est la différence de deux nombres puissants de la manière suivante : 2*n + 1 = ( n + 1 )^2 – n^2 ( nombres noirs )
- un multiple de 8 par : 8 * c = ( 2*c + 1 )^2 – ( 2*c – 1 )^2 ( nombres rouges ) cfr . Am. Math. Monthl. Colomb 77 1970 p 848 – 852
- algorithme de Mollin ( cfr. 2 ) permet de déterminer la représentation de tout nombre par la différence de deux nombres puissants ( nombres bleus ).
- computer ( nombres verts ).
- nombre diff. deux nmbrs. puiss.
1 9 – 8
2 27 – 25
3 4 – 1
4 5^3 – 11^2
5 9 – 4
6 5^4*7^3 – 463^2
7 16 – 9
8 9 – 1
9 25 – 16
10 13^3 – 3^7
11 36 – 25
12 16 – 4
13 49 – 36
14 Cfr. infra et 33017^2 – 11^3 * 905^2
15 64 – 49
16 25 – 9
17 81 – 64
18 19^2 – 7^3
19 100 – 81
20 36 - 16
21 121 - 100
Nombre 14
L’algorithme de Mollin amène à :
( 528 + 23 * sqrt( 527 ))^274 * ( 24 + sqrt(527)) = M + N*sqrt(527) d’oú on déduit les deux nombres puissants d et e = M -+ 7 ( voir ann. 2 ) mais mon computer ne parvient pas à décomposer ces nombres en ses facteurs.
Un ami a trouvé :
M – 7 = 5^2 * 17^3 * 19^2 * 113^2 * 223^2 * 26171^2 * 860417^2 … M + 7 = 31^3 + 137^2 + 243^2 * 887^2 …
ce qui laisse supposer que M - 7 et M + 7 sont des nombres puissants.
L’équation Pell x^2 – D * y^2 = F (1) peut représenter une différence de deux nombres puissants égale à F , si D est un nombre premier p et y = p*q ; les deux nombres puissants se présentent alors comme x^2 et p^3 * q^2 (cfr.1) Pour F = 14 , (1) a une solution avec D = 11 et donne
33017^2 – 11^3*905^2 = 14.
