On note X le chiffre correspondant au tirage de la première boule, et Y celui correspondant au tirage de la deuxième.

Terminale – spécialité mathématiques – 2020 / 2021 P₂ – cours

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1) Opérations sur les variables aléatoires

Exemple 1

Une urne contient 3 boules marquées du chiffre 0 et 2 boules marquées du chiffre 1.

On effectue deux tirages successifs d’une boule sans remise.

On note X le chiffre correspondant au tirage de la première boule, et Y celui correspondant au tirage de la deuxième.

La loi de la variable aléatoire X est donnée par le tableau suivant :

Valeurs de X 0 1

Probabilités 3

5

2 5

La loi de la variable aléatoire Y dépend du résultat du premier tirage (cf arbre).

Valeurs de Y sachant que X = 0 0 1

Probabilités 1

2

1 2

Valeurs de Y sachant que X = 1 0 1

Probabilités 3

4

1

4

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X+ Y prend donc les valeurs 0, 1 ou 2.

Par exemple P( X+ Y =0) = P ((X=0)∩( Y =0)) = 3 5 × 1

2 = 3 10 .

De même, P (X +Y =1) = P(( X=0)∩(Y =1))+ P(( X=1)∩(Y =0)) = 3 5 × 1

2 + 2 5 × 3

4 = 3 5 . Enfin, P( X+ Y =2) = P ((X =1)∩(Y =1)) = 2

5 × 1 4 = 1

10 .

D'où la loi de X +Y :

Valeurs de X+ Y 0 1 2

Probabilités 0,3 0,6 0,1

Exemple 2

Lors du jeu précédent, on organise des paris :

• si la première boule tirée porte le numéro 0, on gagne 5€ ;

• si la première boule tirée porte le numéro 1, on perd 7€.

On appelle G le gain du joueur.

La loi de G est alors :

Valeurs de G 5 -7

Probabilités 3

5

2 5 L'organisateur décide de tripler les gains et les pertes.

La variable donnant les nouveaux gains du joueur est alors 3G , dont la loi est donnée par :

Valeurs de 3G 15 -21

Probabilités 3

5

2

5

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Définition

On considère deux variables aléatoires X et Y sur un même univers Ω, ainsi qu'un réel a non nul.

On dispose des lois de X et Y :

• La variable aléatoire X+ Y prend toutes les valeurs x

+y

où 1  i  n et 1  j  m.

Si s est un réel, P (X +Y =s ) = 

x_i+y_j=s

P ( ( ^X=x

) ^∩ ( ^{Y =y}

) ) c’est-à-dire la somme des probabilités d'avoir à la fois X = x

et Y = y

pour chaque couple ( ^x

^{; y}

) de somme égale à s.

• La variable aléatoire a X prend toutes les valeurs ax

où 1  i  n.

Si t est un réel, P( aX =t ) = 

axi=t

p

c’est-à-dire la somme des probabilités d'avoir X = x

pour chaque x

tel que ax

= t.

Lien avec l'espérance

On reprend les exemples précédents.

• Dans l'exemple 1, E( X) = 0× 3

5 +1× 2 5 = 2

5 .

La loi "complète" de Y est donnée par la formule des probabilités totales : P (Y =0) = P(( X=0)∩( Y =0))+ P(( X=1)∩( Y=0)) = 3

5 × 1 2 + 2

5 × 3 4 = 3

5 . P (Y =1) = 1−P (Y =0) = 2

5 . Donc :

Valeurs de Y 0 1

Probabilités 3

5

2 5

Valeurs de X x

x

… x

Probabilités p

= P ( ^X=x

) p

= P ( ^{X= x}

) … p

= P ( ^X=x

)

Valeurs de Y y

y

… y

Probabilités q

= P ( ^{Y =y}

) ^q

^{= P} ( ^{Y =y}

) ^{… q}

^{= P} ( ^{Y =y}

)

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Et ainsi E (Y ) = 0× 3

5 +1× 2 5 = 2

5 . On a alors E( X)+ E( Y) = 2

5 + 2 5 = 4

5 = 0,8.

Et d'après la loi de X+ Y , E( X+ Y) = 0×0,3+1×0,6+2×0,1 = 0,8.

On retrouve bien le fait que E (X +Y ) = E (X)+ E (Y ).

Par contre, calculons les variances.

V (X ) = E ( ) X

− E( X)

= 0

× 3

5 +1

× 2 5 −

 

 

2

= 2 5 − 4

25 = 6 25 . V (Y ) = E ( ) Y

− E( Y)

= 6

25 .

V (X +Y ) = E ( (X +Y )

) − E(X + Y)

= 0

×0,3+1

×0,6+2

×0,1-0,8

= 0,6+0,4−0,64 = 0,36.

Mais V( X)+ V( Y) = 6 25 + 6

25 = 12

25 = 0,48.

On constate que V( X+ Y) ' V( X)+ V( Y ).

• Dans l'exemple 2, E (G) = 5× 3

5 −7× 2 5 = 1

5 (le joueur gagne en moyenne 20cts par partie), tandis que E (2G ) = 15× 3

5 −21× 2 5 = 3

5 = 3E( G).

Théorème : linéarité de l'espérance

Soit X et Y deux variables aléatoires et a un réel non nul.

Alors :

• E (X +Y ) = E( X)+ E (Y )

• E (a X ) = a E(X )