On considère deux variables aléatoires X et Y dénies sur un même espace probabilisé ni. La fonction probabilité est notée P .

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Le but du problème

est l'étude du coecient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires qu'on aborde d'abord de façon générale (partie I), puis dans un cas particulier (partie II).

PARTIE I

On considère deux variables aléatoires X et Y dénies sur un même espace probabilisé ni. La fonction probabilité est notée P .

On rappelle que V (X) = 0 si et seulement si, avec une probabilité égale à 1 , X est constante ; on dit alors que X est constante presque surement.

On suppose ici que V (X) > 0 .

1. Covariance des variables aléatoires X et Y

a. Donner la dénition de la covariance de X et Y , notée Cov(X, Y ) .

b. Soit λ un réel. Exprimer Cov(λX + Y, λX + Y ) en fonction de V (λX + Y ) et en déduire la formule :

V (λX + Y ) = λ

V (X ) + 2λCov(X, Y ) + V (Y ).

c. En déduire que

(Cov(X, Y ))

6 V (X)V (Y ).

A quelle condition nécessaire et susante a-t-on l'égalité (Cov(X, Y ))

= V (X)V (Y )

2. Coecient de corrélation linéaire des variables aléatoires X et Y.

On suppose dans cette question les variances V (X ) et V (Y ) strictement positives. On rappelle que le coecient de corrélation linéaire ρ des variables aléatoires X et Y est

ρ = Cov (X, Y ) σ (X ) σ (Y ) .

a. Montrer que ρ ∈ [−1, +1] . Préciser, de plus, à quelle condition nécessaire et susante ρ est égal à −1 ou +1 .

b. Quelle est la valeur de ρ lorsque les variables aléatoires X et Y sont indépen- dantes ?

1d'après ESSEC, option éco, maths 2, 2001

PARTIE II

1. Calculs préliminaires

a. On considère deux entiers naturels q et n tels que n > q . Établir la formule

suivante :

X

k=q

k q

= n + 1

q + 1

b. En déduire une expression factorisée des quatre sommes suivantes :

n

X

k=1

k,

n

X

k=2

k(k − 1) et

n

X

k=1

k

,

n

X

k=3

k(k − 1)(k − 2).

On considère dans toute la suite de cette partie un nombre entier n > 2 et une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n .

On extrait de cette urne successivement et sans remise deux jetons et on désigne alors par :

• N

la variable aléatoire indiquant le numéro du premier jeton tiré.

• N

la variable aléatoire indiquant le numéro du second jeton tiré.

• X la variable aléatoire indiquant le plus petit des numéros des deux jetons tirés.

• Y la variable aléatoire indiquant le plus grand des numéros des deux jetons tirés.

2. Lois conjointe et marginales de N

et N

.

a. Déterminer les probabilités P (N

= i) pour 1 6 i 6 n et P (N

= j/N

= i) pour 1 6 j 6 n .

En déduire P (N

= j) pour 1 6 j 6 n , puis comparer les lois de N

et N

. b. Calculer les espérances E(N

) et E(N

) , les variances V (N

) et V (N

) .

c. Déterminer les probabilités P (N

= i ∩ N

= j) pour 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 n en distinguant les deux cas i = j et i 6= j et déterminer E(N

N

) . En déduire la covariance et le coecient de corrélation linéaire de N

et N

.

d. Exprimer enn sous forme factorisée la variance V (N

+ N

) . 3. Lois conjointe, marginales et conditionnelles de X et Y .

a. Soit (i, j) ∈ [[1, n]]

. Déterminer la probabilité P((X = i) ∩ (Y = j)) .

b. En déduire les probabilités P(Y = j) pour 2 6 j 6 n et P(X = i) pour 1 6 i 6 n − 1 .

(On vériera que les formules donnant P(Y = j) et P (X = i) restent valables si j = 1 ou i = n ).

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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c. Déterminer les probabilités P

(X = i) et P

(Y = j) pour 1 6 i < j 6 n , puis reconnaître la loi de X conditionnée par Y = j et la loi de Y conditionnée par X = i.

d. Comparer les lois des variables aléatoires n+1−X et Y . En déduire les expressions de E(X ) en fonction de E(Y ) et de V (X ) en fonction de V (Y ) .

4. Espérances et variances de X et Y .

a. Exprimer les espérances E(Y ) et E(X ) en fonction de n .

b. Exprimer sous forme factorisée E[(Y (Y − 2)] , puis E(Y

), V (Y ) et V (X ) en fonc- tion de n .

5. Covariance et coecient de corrélation linéaire de X et Y .

a. Vérier que X + Y = N

+ N

, puis en déduire sous forme factorisée la variance de X + Y et la covariance de X et Y .

b. En déduire le coecient de corrélation de X et Y .

On remarquera que ce coecient de corrélation linéaire de X et Y est indépendant de n .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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