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Contrôle continu : Statistique Correction du sujet 1

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Academic year: 2022

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Contrôle continu : Statistique

Correction du sujet 1 Exercice 1

Bertrand change de téléphone portable tous les ans, le jour de son anniversaire. Il conserve toujours un téléphone une année entière. Si le téléphone tombe en panne dans l’année, il le fait réparer et change tout de même de téléphone à la date prévue. On suppose que la probabilité qu’un téléphone portable tombe en panne dans l’année est de p. On suppose aussi qu’un téléphone ne peut pas subir plus d’une panne dans son année de possession par Bertrand. On note X la variable aléatoire « nombre de téléphones tombés en panne dans les dix premières années ».

Question 1 Quelle loi suit la variable aléatoireX? Correction

Chaque année, la probabilité d’avoir une panne est de p. En supposant les années indépendantes, on répète donc 10 fois une épreuve de Bernoulli de paramètre fixé p.X compte les succès et suit donc loi Binomiale de paramètres10 etp.

Question 2 Donner la probabilité que Bertrand subisse5 pannes de portables sur les dix premières années.

Correction

On cherche P(X = 5) qui est donné par C105 p5(1−p)5 d’après les formules connues de la loi Binomiale.

Question 3 Donner l’espérance et la variance deX.

Correction

On applique aussi les formules connues qui donnent E(X) = 10p etV(X) = 10p(1−p).

On suppose qu’un nouveau téléphone portable coûte100euros. Lors de l’achat, Bertrand peut l’assurer pour 10euros auquel cas le portable sera réparé gratuitement (pendant un an). Si le portable n’est pas assuré, le coût d’une réparation est de 50euros. On noteY la variable aléatoire « montant dépensé par Bertrand en téléphonie s’il ne s’assure jamais » (on compte donc dansY l’achat des téléphones ainsi que les réparations éventuelles).

Question 4 Donner Y(Ω)et la loi deY. On pourra exprimerY en fonction de X.

Correction

Comme Bertrand achète 10 téléphones, il dépense 1000pour ces achats. Le nombre de réparations est donné par X et les dépenses associées sont donc de50X. Donc la dépense totale de Bertrand (sans assurance) est deY = 1000 + 50X. On en déduit que

Y(Ω) ={1000,1050,1100, . . . ,1500}.

Pour déterminer la loi de Y, on remarque que P(Y = 1000 + 50k) =P(X =k). On a donc P(Y = 1000 + 50k) =C10kpk(1−p)10−k.

Question 5 Combien dépensera Bertrand en téléphonie les dix premières années s’il assure tous ses téléphones ?

(2)

Correction

Si Bertrand assure tous ses téléphones, il paye au total 1100 euros (pas de réparation et 10 assurances).

Question 6 Pour quelles valeurs dep est-il préférable d’assurer son téléphone ? Correction

On peut comparer les espérances des dépenses. En utilisant la linéarité de l’espérance on a E(Y) = 1000 + 50E(X), soit donc

E(Y) = 1000 + 500p.

De ce fait, E(Y)−1100 = 500p−100. Quand cette valeur est positive, il faut mieux assurer les téléphones (et vice versa). Or E(Y)−1100≥0si et seulement sip≥ 15. Il vaut donc mieux assurer son téléphone si la probabilité de panne est supérieure à 20 %.

On s’intéresse ici à la première panne de téléphone que connaît Bertrand. On noteZ la variable aléatoire donnant l’année pendant laquelle Bertrand subit sa première panne téléphonique, en numérotant les années à partir de 1 pour l’année d’achat du premier téléphone.

Question 7 Quelle loi suit la variable aléatoireZ? Correction

Comme pour la question 1, on considère les années comme indépendantes et on étudie donc le nombre d’années qui doivent passer pour qu’on obtienne une première panne. La probabilité de panne étant fixe, Z suit une loi géométrique de paramètrep.

Question 8 Donner la probabilité que la première panne que connaît Bertrand soit sur son troisième portable.

Correction

D’après les propriétés de la loi géométrique P(Z = 3) =p(1−p)2.

Exercice 2

Soit deux urnes contenant chacune 3boules numérotées0,1, et2. On effectue l’expérience suivante : on tire une boule dans la première urne que l’on ajoute dans la deuxième urne. On tire ensuite une boule dans la deuxième urne. On note X la variable aléatoire correspondant au numéro de la boule tirée dans la première urne et Y le numéro de la boule tirée dans la deuxième urne. On suppose que le tirage dans chaque urne est uniforme.

Question 1 Donner X(Ω)et la loi deX.

Correction

La première boule est tirée dans une première urne contenant les boules numérotées0,1, et 2. On a donc X(Ω) ={0,1,2}. Sans mention contraire dans l’énoncé, on suppose les boules équiprobales.

(3)

X

x 0 1 2

P(X =x) 13 13 13

Question 2 Pour chaque x∈X(Ω), donner la loi conditionnelle deY sachant X=x.

Correction

Le contenu de la deuxième urne dépend du résultat du premier tirage. Si par exempleX = 0, alors la deuxième urne contient deux boules 0, une boule 1 et une boule 2. En supposant les boules discernables, on a donc comme contenu

U2={01,02,1,2}.

Comme dans la première question, on suppose que les boules sont équiprobles. La probabilité de tirer une boule particulière est donc de 14. Pour la probabilité conditionnelle P(Y =y|X= 0), on a par exemple P(Y = 1|X= 0) = 14 car il y a une seule boule 1dans U2 (sachant queX= 0). En revanche, P(Y = 0|X= 0) = 24 = 12 car il y a deux boules 0 dans cette situation. On trouve ainsi

y 0 1 2

P(Y =y|X= 0) 12 14 14 et de la même façon

y 0 1 2

P(Y =y|X= 1) 14 12 14 P(Y =y|X= 2) 14 14 12

Question 3 Déduire des lois précédentes la loi du couple (X, Y).

Correction

On utilise la définition de la loi conditionnelle, à savoir P(Y =y|X=x) = P(X=x,Y=y)

P(X=x) . On peut ainsi calculer P(X = x, Y = y) comme un simple produit des lois obtenues dans les questions précédents. On obtient

P(X=x,Y =y) y = 0 y= 1 y= 2

x= 0 16 121 121

x= 1 121 16 121

x= 2 121 121 16

Question 4 Donner la loi marginale Y.

Correction On utilise la propriété P(Y = y) =P

xP(X =x, Y =y), ce qui revient à sommer les lignes du tableau de la loi jointe. La loi deY est donc

y 0 1 2

P(Y =y) 13 13 13

Question 5 Montrer que X etY ne sont pas indépendantes.

(4)

Correction

On constate que P(X= 0, Y = 0) = 16 alors que P(X= 0)P(Y = 0) = 19. Or pour queX etY soit indépendantes, il faudrait que pour tout x et touty,P(X=x, Y =y) =P(X =x)P(Y =y). Le contre-exemple trouvé montre que X etY ne sont pas indépendantes.

Question 6 Calculer la loi conditionnelle de X sachant Y = 0.

Correction

On applique la définition, c’est-à-dire P(X=y|Y = 0) = P(X=x,Y=0)

P(Y=0) , ce qui donne

x 0 1 2

P(X =x|Y = 0) 12 14 14

Question 7 Calculer E(XY) et rappeler la formule decov(X, Y).

Correction Par le théorème de transport, on a E(XY) =P

x,yxyP(X=x,Y =y). Ici on obtient

E(XY) =X

x,y

xyP(X=x,Y =y),

= 1

6+ 2× 1

12 + 2× 1

12 + 4×1 6,

= 7 6.

On sait enfin quecov(X,Y) =E(XY)−E(X)E(Y), soit ici cov(X,Y) =E(XY)−E(X)E(Y),

= 7 6 −

1

3 + 2×1 3

2

,

= 1 6.

Exercice 3

Soit f la fonction définie parf(x) =−ax2+bsur [−1; 1]et 0sinon. Dans cette formuleaet bsont des paramètres à déterminer.

Question 1 À quelles conditions suraetbla fonctionfest-elle positive ou nulle pour toutx∈R? Correction

Il suffit d’étudier f sur [−1; 1]puisqu’elle est nulle en dehors de cet intervalle. On a f0(x) =−2ax.

On étudie les variations de f en fonction du signe dea:

— si a= 0, alors f(x) =b sur[−1; 1] et il faut doncb≥0;

— si a > 0, alors f0(x) est positive sur [−1; 0] puis négative sur [0; 1]. Donc f est d’abord croissante puis décroissante. On en déduit que les plus petites valeurs de f sont prises en−1 et1. Orf(−1) =f(1) =b−a. On doit donc avoir b≥a;

(5)

a <0, la situation est inversée par rapport au cas précédent : f

[−1; 0]puis croissante sur [0; 1]. La plus petite valeur est donc prise en0, avec f(0) =b. On doit donc avoir b≥0.

Donc finalement, il faut que b≥max(0, a).

Question 2 Calculer R1

−1f(x)dxen fonction deaetb.

Correction Une primitive de f esth(x) =−a3x3+bx. On a donc

Z 1

−1

f(x)dx= h

−a

3x3+bx i1

−1

=−a

3+b−

−a 3 +b

= 2b−2a 3 .

Question 3 On suppose que pour aet bbien choisis, f est la densité d’une variable aléatoire X telle queP(X∈[−12,12]) = 1116. En déduireaetb.

Correction Si f est la densité d’une variable aléatoire, alors on a R

−∞f(x)dx = 1. Comme f est nulle en dehors de [−1; 1], on R1

−1f(x)dx= 1 et donc 2b−2a3 = 1.

De plus les propriétés des densités font que P(X∈[−1

2,1 2]) =

Z 12

1

2

f(x)dx,

=h

−a

3x3+bxi12

12 ,

= 2 b

2 −a 3 ×1

8

,

= 11 16. On doit donc résoudre le système

2 b

2 −a 3 ×1

8

= 11 16 2

b−a 3

= 1

En soustrayant 12 fois la deuxième équation à la première, on obtient après simplification 1

4a= 3 16,

et donca= 34. En réinjectant la valeur dans la deuxième équation, on obtientb= 34. On remarque que ces valeurs sont compatibles avec les conditions trouvées à la question 1 (positivité de f).

Question 4 Calculer la fonction de répartition, l’espérance et la variance deX.

(6)

Correction La fonction de répartition est donnée par

FX(t) = Z t

−∞

f(x)dx.

Sit≤ −1,f étant nulle sur ]− ∞;−1], on a FX(t) = 0. Sit∈[−1; 1], l’intégrale se réduit à FX(t) =

Z t

−∞

f(x)dx,

= Z t

−1

3

4(1−x2)dx,

= 3

4x−1 4x3

t

−1

,

= 3 4t−1

4t3+1 2. Enfin, si t≥1, on constate que l’intégrale se réduit àR1

−1f(x)dx qui vaut 1. On a donc FX(t) =

0 sit≤ −1,

3

4t−14t3+12 sit∈[−1; 1],

1 sit≥1.

L’espérance de X est donnée par E(X) =

Z

−∞

xf(x)dx par définition,

= Z 1

−1

3

4(x−x3)dx par nullité en dehors de[−1; 1],

= 3

8x2− 3 16x4

1

−1

,

= 0.

Pour calculer la variance de X, on passe par le calcul deE(X2)qui est obtenu grâce au théorème de transport par l’intégrale suivante :

E(X2) = Z

−∞

x2f(x)dx par transport,

= Z 1

−1

3

4(x2−x4)dx par nullité en dehors de[−1; 1],

= 1

4x3− 3 20x5

1

−1

, = 2

1 4 − 3

20

,= 1 5.

On en déduit que V(X) =E(X2)−(E(X))2 = 15.

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