MPSI B DS 3 le 22/11/13 29 juin 2019
Problème 1
Cet exercice propose une version discrète (avec des familles) et une version continue (avec des fonctions) de l'inégalité de Chebychev
1I - Cas discret.
Soit n naturel non nul. On considère deux familles
a 1 ≤ a 2 ≤ · · · ≤ a n b 1 ≤ b 2 ≤ · · · ≤ b n croissantes de réels. On souhaite prouver l'inégalité de Chebychev
1 n
n
X
k=1
a k b k ≥ 1 n
n
X
k=1
a k
! 1 n
n
X
k=1
b k
!
1. Montrer qu'il sut de prouver l'inégalité dans le cas particulier où a 1 + · · · + a n = 0 . 2. On considère deux familles vériant
a 1 ≤ a 2 ≤ · · · ≤ a n ≤ a n+1 b 1 ≤ b 2 ≤ · · · ≤ b n ≤ b n+1
avec a 1 + a 2 + · · · + a n + a n+1 = 0 .
Montrer qu'il existe a
0n et b
0n (et préciser leurs valeurs) tels que a 1 ≤ a 2 ≤ · · · ≤ a n−1 ≤ a
0n b 1 ≤ b 2 ≤ · · · ≤ b n−1 ≤ b
0n avec a 1 + a 2 + · · · + a n−1 + a
0n = 0 et
a 1 b 1 + · · · + a n b n + a n+1 b n+1 = a 1 b 1 + · · · + a n−1 b n−1 + a
0n b
0n 3. Montrer l'inégalité de Chebychev dans le cas discret.
4. Sous les conditions indiquées au début, montrer que
1 n
n
X
k=1
a k b n−k+1 ≤ 1 n
n
X
k=1
a k
! 1 n
n
X
k=1
b k
!
5. Application : inégalité de Nesbitt.
On veut montrer ici que, pour a , b , c réels tels que b + c, c+a, a + b strictement positifs, a
b + c + b
c + a + c a + b ≥ 3
2
1
ne pas confondre avec l'inégalité de Bienaymé - Chebychev
a. Montrer que
a
b + c + b
c + a + c
a + b + 3 = (a + b + c) 1
b + c + 1
c + a + 1 a + b
b. Pourquoi sut-il de démontrer l'inégalité de Nesbitt dans le cas où a ≤ b ≤ c ? c. Démontrer l'inégalité proposée à l'aide de l'inégalité de Chebychev.
II - Cas continu.
On considère deux fonctions f et g de classe C 1 sur [0, 1] et strictement croissantes. On souhaite prouver l'inégalité de Chebychev.
Z 1
0
f (t)g(t) dt ≥ Z 1
0
f (t) dt Z 1
0
g(t) dt
1. Montrer qu'il sut de prouver l'inégalité dans le cas particulier où R 1
0 f (t) dt = 0 . 2. Soit f de classe C 1 sur [0, 1] , strictement croissante et vériant R 1
0 f (t) dt = 0 . a. Montrer qu'il existe un unique a ∈]0, 1[ tel que f (a) = 0 .
b. On note F la primitive de f nulle en 0 et A = F (a) . Former le tableau de variations de F . Vérier que A < 0 ?
Montrer que la restriction de F à [0, a] dénit une bijection de [0, a] vers [A, 0] . On note F 1 cette bijection et ϕ 1 sa bijection réciproque.
Montrer que la restriction de F à [a, 1] dénit une bijection de [a, 1] vers [A, 0] . On note F 2 cette bijection et ϕ 2 sa bijection réciproque.
c. Procéder au changement de variable u = F 1 (t) dans l'intégrale R a
0 f (t)g(t) dt . Procéder au changement de variable u = F 2 (t) dans l'intégrale R 1
a f (t)g(t) dt . (ne pas chercher à calculer ces intégrales)
3. Montrer l'inégalité de Chebychev dans le cas continu.
III - Relation de Lagrange.
Soit n naturel non nul et a 1 , · · · , a n , b 1 , · · · , b n des nombres complexes. On note C n l'en- semble de tous les couples (i, j) d'entiers entre 1 et n et T n l'ensemble des couples (i, j) d'entiers entre 1 et n tels que i < j .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai S1303EMPSI B DS 3 le 22/11/13 29 juin 2019
1. Montrer que
2 X
(i,j)∈T
n(a j − a i )(b j − b i ) = X
(i,j)∈C
n(a j − a i )(b j − b i )
2. Montrer que
X
(i,j)∈T
n(a j − a i )(b j − b i ) = n
n
X
i=1
a i b i −
n
X
i=1
a i
! n X
i=1
b i
!
3. Déduire de la question précédente une nouvelle démonstration, sous les conditions de la partie I, de l'encadrement de Chebychev
1 n
n
X
k=1
a k b n−k+1 ≤ 1 n
n
X
k=1
a k
! 1 n
n
X
k=1
b k
!
≤ 1 n
n
X
k=1
a k b k
Problème 2
à compléter
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