Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel non nul. On dénit une suite de polynômes (dits polynômes de Chebychev) (P

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Les trois parties de ce problème

¹

sont largement indépendantes. Seules les questions III.2.a et III.3.e dépendent des parties précédentes. On identiera systématiquement un polynôme avec la fonction polynomiale (de R dans R) qui lui est associée.

Partie I.

Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel non nul. On dénit une suite de polynômes (dits polynômes de Chebychev) (P

k

)

_k∈N

par récurrence par les formules :

P

0

= 1, P

1

= X

∀k ∈ N : P

_k+2

= 2XP

_k+1

− P

_k

On dénit (T

k

)

_k∈N

par

T

k

= 1 2

^k−1

P

k

1. a. Calculer T

3

, T

4

.

b. Déterminer le degré de P

n

.

c. Soit θ un réel quelconque, montrer que

P

n

(cos θ) = cos(nθ)

d. Montrer que les racines de P

n

sont les nombres x

1

, x

2

, · · · , x

n

avec x

_k

= cos

2k − 1 2n π

pour k entier entre 1 et n . Montrer que ces racines sont simples.

e. Montrer qu'il existe n + 1 points notés x

⁰₀

, x

⁰₁

, · · · , x

⁰_n

en lesquels |T

n

| restreinte à [−1, 1] atteint son maximum absolu. Préciser cette valeur maximale.

2. a. Tracer les courbes représentatives des fonctions T

1

, T

2

, T

3

, T

4

restreintes à [−1, 1] . b. Montrer qu'il n'existe pas de polynôme P unitaire de degré n tel que

sup

[−1,1]

|P | < 1 2

ⁿ⁻¹

(on pourra considérer le polynôme T

_n

− P et utiliser les résultats précédents)

1d'après Centrale supélec 2002 maths 1 TSI

c. Établir que pour tout polynôme P unitaire de degré n sup

[−1,1]

|T

n

| ≤ sup

[−1,1]

|P|

d. Soit f et g deux fonctions dans C([−1, 1], R ) , on pose (f /g) =

Z

π

0

f (cos θ)g(cos θ)dθ

Montrer que ( / ) est un produit scalaire et que la famille q

2 π

P

n

n∈N

est orthonormale.

Partie II.

Dans cette partie, on considère un plan euclidien muni d'un repère orthonormé direct (O, − →

i , − →

j ) . Pour tout θ réel, on dénit − → e

_θ

par :

−

→ e

_θ

= cos θ − →

i + sin θ − → j On note d(A, B) = AB = k − − →

ABk la distance euclidienne entre deux points du plan et on introduit, pour trois points A , B , C ,

d(A, B, C) = (AB.BC.CA)

¹³

On dira qu'une partie Ω du plan est bornée lorsqu'elle est incluse dans un disque centré à l'origine. Dans la suite de cette partie, Ω est une partie du plan bornée et contenant une innité de points. On dénit des réels d

2

et d

3

par :

d

2

= sup

d(A, B), (A, B) ∈ Ω

²

, d

3

= sup

d(A, B, C), (A, B, C) ∈ Ω

³

1. a. Justier que d

₂

et d

₃

sont bien dénis.

b. Montrer que d

3

≤ d

2

.

c. Pour deux points A et B de Ω , on note

l(A, B) = sup {d(A, B, C ), C ∈ Ω}

Montrer que

d

₃

= sup

l(A, B), (A, B) ∈ Ω

²

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Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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2. On suppose que Ω est un segment de longueur a > 0 . Montrer que d

3

= 4

⁻¹³

a

3. On suppose que Ω est le cercle de centre O et de rayon R .

a. Soit A et B les points de Ω d'axes Re

^iα

et Re

^iβ

avec 0 ≤ α < β < 2π . Exprimer d(A, B) à l'aide d'un seul sin .

b. Soient α et γ dans J 0, 2π K avec α ≤ γ . Vérier que la fonction dénie sur [α, γ] : β → sin β − α

2 sin γ − β 2 atteint son maximum en

^α+γ₂

.

c. Étudier les variations de la fonction ϕ dénie dans [0, 1] par : ϕ(t) = t

³

p

1 − t

²

d. Déduire de ce qui précède que d

3

= √

3R .

Partie III.

Dans cette partie, Ω est le segment [−1, 1] de l'axe réel. Pour tout entier n ≥ 2 , on note D(x

1

, · · · , x

n

) = Y

1≤i<j≤n

|x

j

− x

i

|

D

n

= sup {D(x

1

, · · · , x

n

), (x

1

, · · · , x

n

) ∈ Ω

ⁿ

} , d

n

= D

2 n(n−1)

n

On désigne par P

n

l'ensemble des polynômes à coecients réels unitaires et de degré n . Pour P ∈ P

n

, on note

µ(P) = sup

[−1,+1]

|P|, µ

n

= inf {µ(P), P ∈ P

n

}, m

n

= µ

1

nn

À tout élément (x

1

, · · · , x

n+1

) ∈ Ω

ⁿ⁺¹

, on associe le déterminant V (x

1

, · · · , x

n+1

) (dit de VanderMonde) dont on admet la valeur :

V ((x

1

, · · · , x

n+1

) =

1 1 · · · 1 1

x

1

x

2

· · · x

n

x

n+1

... ... ...

x

ⁿ⁻¹₁

x

ⁿ⁻¹₂

· · · x

ⁿ⁻¹_n

x

ⁿ⁻¹_n+1

x

ⁿ₁

x

ⁿ₂

· · · x

ⁿ_n

x

ⁿ_n+1

= Y

1≤i<j≤n+1

(x

j

− x

i

)

1. a. On admet que pour tout n ≥ 2 , il existe des réels λ

1

, · · · , λ

n+1

dans Ω tels que D

n+1

= D(λ

1

, · · · , λ

n+1

)

Montrer que

D

n+1

≤ |λ

2

− λ

1

||λ

3

− λ

1

| · · · |λ

n+1

− λ

1

|D

n

b. Vérier que D

_n+1ⁿ⁺¹

≤ D

_nⁿ⁺¹

D

²_n+1

. En déduire D

ⁿ⁻¹_n+1

≤ D

ⁿ⁺¹_n

.

c. Montrer que la suite (d

n

)

_n≥2

est convergente. On notera d sa limite.

2. a. À l'aide de la partie I, calculer m

_n

pour n ≥ 1 .

b. Montrer que la suite (m

n

)

_n∈N^∗

est convergente, préciser sa limite m . c. Établir que si une suite (u

_n

)

_n∈_N

de réels converge vers l , la suite

u

₁

+ 2u

₂

+ · · · + nu

_n

n(n + 1)

n∈N^∗

converge vers

₂^l

. (on pourra traiter le cas particulier l = 0 puis ramener le cas général à ce cas.

3. a. Démontrer que pour tout polynôme unitaire P de degré n , on a :

V (x

₁

, · · · , x

_n+1

) =

1 1 · · · 1 1

x

1

x

2

· · · x

n

x

n+1

... ... ...

x

ⁿ⁻¹₁

x

ⁿ⁻¹₂

· · · x

ⁿ⁻¹_n

x

ⁿ⁻¹_n+1

P (x

₁

) P (x

₂

) · · · P (x

_n

) P(x

_n+1

)

b. En développant le dernier déterminant suivant la dernière ligne, établir que : d

n(n+1) 2

n+1

≤ (n + 1)d

n(n−1)

n 2

m

ⁿ_n

c. Montrer que

m

ⁿ_n

d

n(n−1)

n 2

≤ d

n(n+1) 2

n+1

d. Déduire de ce qui précède que m

_n

≤ d

_n+1

. e. Montrer que d ≤ m et conclure que

d = m = 1 2

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