Partie I. Polynômes de Bernoulli

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MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Partie I. Polynômes de Bernoulli

1. Préciser les polynômesP0, P1, P2,· · · , Pn,· · · tels que P0= 1et :

∀n∈N^∗, P_n⁰ =nP_n−1 et Pn(0) = 0

2. Montrer qu'il existe une unique suite de polynômes Bn (polynômes de Bernoulli) vé- riantB0= 1et :

∀n∈N^∗, B⁰_n=nB_n−1 et Z 1 0

Bf_n(t)dt= 0

Vérier queB₁=X−¹₂. CalculerB₂,B₃et factoriserB₃. Préciser le degré deB_n et son coecient dominant. On noteβn=Bn(0)la valeur en0.

3. a. Montrer queBfn(0) =Bfn(1)pourn≥2.

b. Montrer que(−1)ⁿBc_n(1−X) =B_n pour tout naturel n. c. PréciserBfn(0),Bfn(¹₂),Bfn(1)pourn≥3impair.

4. Montrer par récurrence queB_n (avecn≥3impair) n'admet pas de racine dans]0,¹₂[. En déduire que, pourmpair,Bm−βm garde un signe constant sur[0,1].

5. Fonctions de Bernoulli. Pour tout nombre réelx, on désigne parbxcsa partie entière et on note{x}=x− bxc. On dénit les fonctions de Bernoullib_n par :

∀n∈N, ∀x∈R, bn(x) =Bfn({x})

a. Montrer quebn∈ C^∞(R\Z)et préciser b⁰_n(x)pourx /∈Z.

b. Montrer que la restriction deb₁à un segment quelconque deRest intégrable sur ce segment.

c. Montrer queb₂ est continue surR. Montrer queb_n ∈ Cⁿ⁻²(R)pour n >2.

Partie II. Formule sommatoire d'Euler - Mac Laurin.

On considère deux entiers aetb aveca < betf ∈ C^∞([a, b]. On note

∀m∈N^∗, Mm= sup

[a,b]

f^(m)

et Rm= Z b

a

f^(m)(t)bm(t)dt

1. Pour une fonctionf ∈ Cⁿ⁺¹([a, b]), rappeler la formule de Taylor avec reste intégral et le principe de sa démonstration.

2. Montrer que

R₁= 1 2

b−1

X

k=a

(f(k) +f(k+ 1))− Z b

a

f(t)dt En déduire

b

X

k=a

f(k) = Z b

a

f(t)dt+1

2(f(a) +f(b)) +R₁ 3. Montrer les relations suivantes

∀m≥3, R_m=β_m

f^(m−1)(b)−f^(m−1)(a)

−mR_m−1

R2=β2(f⁰(b)−f⁰(a))−2R1

En déduire la formule sommatoire d'Euler - Mac Laurin

∀n∈N,

b

X

k=a

f(k) = Z b

a

f(t)dt+1

2(f(a) +f(b)) +

n

X

m=1

(−1)^m+1βm+1

(m+ 1)!

f^(m)(b)−f^(m)(a)

+ (−1)ⁿ (n+ 1)!Rn+1

4. Majoration du reste. Montrer que, pour tout entiern≥2, Z b

a

(β_n+1−b_n+1(t))f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt= (n+ 1)R_n

En déduire, pournimpair,

|Rn| ≤ b−a

n+ 1Mn+1|βn+1| 5. Le tableau suivant fournit les premières valeurs desβn.

k 1 2 4 6 8

β_k −1 2

1 6 −1

30 1 40 −1

30 ExprimerPn

k=0k⁴ polynomialement en fonction den.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai Abernsomm

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Corrigé

Partie I. Polynômes de Bernoulli

Dans toute la correction, on identie un polynôme avec la fonction associée et on se passe donc des tildes. En revanche, on note Pb(Q), le polynôme obtenu à partir deP en substituantQà X.

1. Les polynômesPn =Xⁿ satisfont aux conditions. Cette question ne gure que pour introduire une certaine analogie avec les polynômes de Bernoulli.

2. Tout polynôme admet des polynômes primitifs (c'est à dire dont la dérivée est égale au polynôme donné). Deux de ces polynômes primitifes ne dièrent que d'une constante que l'on peut ajuster pour assure la nullité de l'intégrale. Par exemple

B₁⁰ = 1B0⇒B1=X+λavec Z 1 0

B(t)dt= 1 2+λ

L'unique possibilité est donc

B1=X−1 2

Pour un entiernxé et des polynômesB0,· · · , Bnvériant les conditions, il existe un unique polynômeBn+1 vériant les conditions. Il est obtenu en calculant la constante d'intégration qui assure la nullité de l'intégrale. On trouve en particulier

B₂=X²−X+1

6, B₃=X³−3 2X²+1

2X =X(X−1)(X−1 2) On montre par récurrence queBn est unitaire (coecient dominant 1) de degrén. 3. a. Pourn≥2, les valeurs en0et1 sont égales car

Bn(1)−Bn(0) = Z 1

0

B⁰_n(t)dt=n Z 1

0

Bn−1(t)dt= 0

par dénition. La valeur commune est notéeβn. On a déjà calculé β1=−1

2, β2=1

6, β3= 0 b. Introduisons des polynômesCn par :

C_n= (−1)ⁿBc_n(1−X)

On va montrer que la suite desCn vérie les mêmes relations que la suite desBn. Ces relations dénissant une unique suite de polynômes, cela assure queCn =Bn

pour tous lesn.

B0= 1⇒C0= 1

C_n+1⁰ (x) =−(−1)ⁿ⁺¹B_n+⁰ (1−x) = (−1)ⁿBn(1−x) =Cn(x)

Pour la relation intégrale, on utilise le changement de variableu= 1−x: Z 1

0

Cn(x)dx=− Z 0

1

Cn(1−u)du= (−1)ⁿ Z 1

0

Bn(u)du= 0

c. D'après la question précédente, pour toutn impair, on aBn(¹₂) =−Bn(¹₂)donc Bn(¹₂)est nul. C'est vrai aussi pour n= 1d'après l'expression deB1.

Toujours pournimpair, on a aussiBn(1) =−Bn(0)qui se combine avecBn(1) = Bn(0)(n≥2seulement) pour donner Bn(1) =Bn(0) = 0.

En conclusion, βn = Bn(1) = Bn(0) et Bn(¹₂) sont nuls pour tous les entiers impairs supérieurs ou égaux à3.

4. On veut démontrer par récurrence que lesB_n avec nimpair supérieur ou égal à3 ne s'annulent pas dans]0,¹₂[. À cause des propriétés déjà montrées cela siginie que0, ¹₂, 1sont les seules racines.

La récurrence est initialisée à3 grace à la factorisation deB₃. On raisonne par l'absurde avec le théorème de Rolle.

Supposons queB2m+1 s'annule en c avec 0 < c < ¹₂. En appliquant le théorème de Rolle à B2m+1 entre0 et c puis entre cet ¹₂, on prouve l'existence de racines det d⁰ deB2mtelles que0 < d < c < d⁰ < ¹₂. On peut alors appliquer le théorème de Rolle à B2m entre d et d⁰. Cela entraine l'existence d'une racine ude B_2m−1 entred et d⁰ donc telle que0< u < ¹₂.

On peut aussi raisonner directement avec la convexité. Dans l'intervalle[0,¹₂], la fonc- tionB_2n−1garde un signe constant et c'est la dérivée seconde deB2n+1. On en déduit que B2n+1 est soit concave soit convexe. Son graphe est donc toujours au dessus ou au dessous de ses cordes. La corde entre les points d'abscisses 0 et ¹₂ est un segment de l'axe car la fonction s'annule en ces points. On en déduit facilement de plus que les signes s'alternent d'un entier impair au suivant.

Montrons maintenant queBm−βm garde un signe constant sur[0,1]c'est à dire que 0et 1sont des extréma globaux deBmsur[0,1].

D'après le théorème des valeurs intermédiaires,B_2m(x)−B2m(0)est du signe deB_2m−1

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pourm≥2 et0< x < ¹₂. Par symétrie (question3b), on peut écrire

∀x > 1

2, B_2m(x)−B_2m(0) =B_2m(x)−B_2m(1) +B_2m(1)−B_2m(0)

| {z }

=0

=B2m(1−x)−B2m(0) donc le signe est le même que dans la première moitié de l'intervalle.

Fig. 1: graphes deb2et b3

5. Les fonctions de Bernoulli b_n sont dénies par b_n(x) = B_n({x}). Elles sont donc périodiques de période1 par dénition.

a. Dans un intervalle]p, p+ 1[ouvert entre deux entiers,b_n(x) =B_n(x−p), elle est donc de classeC^∞comme la fonction polynomialeBn. De plus

b⁰_n(x) =B⁰_n(x−p) =nB_n−1(x−p) =nb_n−1(x)

b. La restriction deb1à un segment est intégrable car elle est continue par morceaux, les entiers de ce segment constituant une subdivision adaptée.

c. Pourn ≥2, les valeurs de Bn(0) et de Bn(1) sont égales, les fonctionsbn sont donc continues (en particulierb2). Les relations de la question a. s'étendent par continuité aux points entiers :

b2∈ C⁰⇒b3∈ C¹⇒b4∈ C²⇒ · · · ⇒bn ∈ Cⁿ⁻²

Partie II. Formule sommatoire d'Euler - Mac Laurin

1. Voir cours. Cette question développe l'analogie (initiée en question 1) entre la formule de Taylor avec reste intégral et la formule sommatoire présentée ici. La formule de Taylor avec reste intégral se démontre avec des intégrations par parties. On cherche donc ici aussi à utiliser des intégrations par parties.

2. On ne peut pas utiliser directement d'intégration par parties car b1 est seulement intégrable mais non dérivable. On utilise plutôt la relation de Chasles

R1=

b−1

X

k=a

Z k+1 k

f⁰(t)b1(t)dt=

b−1

X

k=a

Z k+1 k

f⁰(t)

t−k−1 2

dt

=

b−1

X

k=a

[f(t)t]^k+1_k − Z k+1

k

f(t)dt−(k+1

2) [f(t)]^k+1_k

!

=

b−1

X

k=a

1

2f(k+ 1) + 1 2f(k)−

Z k+1 k

f(t)dt

!

= 1 2

b−1

X

k=a

(f(k+ 1) +f(k))− Z b

a

f(t)dt

3. Pourm≥3, la fonctionb_mest au moinsC¹ce qui permet une intégration par parties.

Commeb_mprend la valeur β_m en n'importe quel entier :

Rm=h

f^(m−1)(t)bm(t)i^b

a− Z b

a

f^(m−1)(t)mb_m−1(t)dt

=βm

f^(m−1)(b)−f^(m−1)(a)

−mRm−1

On retrouve avec R2 le problème des hypothèses non vériées pour l'intégration par parties. On peut contourner le problème en découpant d'abord en intégrales entre k et k+ 1. Sur chaque ]xk, xk+1[, on prolonge la restriction de b1 par continuité ce qui permet l'intégration par parties sur chaque segment. En sommant, on obtient la formule demandée.

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La formule s'obtient en formant une combinaison linéaire qui élimine lesRi :

R1=1 2

b−1

X

k=a

(f(k+ 1) +f(k))− Z b

a

f(t)dt

R2=β2(f⁰(b)−f⁰(a))−2R1 ×(−1)1 2 R3=β3(f⁽²⁾(b)−f⁽²⁾(a))−3R2 ×(+1) 1 3!

...

Rn =βn(f⁽ⁿ⁻¹⁾(b)−f⁽ⁿ⁻¹⁾(a))−nR_n−1 ×(−1)ⁿ⁻¹ 1 n!

Rn+1=βn+1(f⁽ⁿ⁾(b)−f⁽ⁿ⁾(a))−nR2 ×(−1)ⁿ 1 (n+ 1)!

En sommant, on obtient (−1)ⁿ

(n+ 1)!Rn+1=S− Z b

a

f(t)dt+

n

X

m=1

(−1)^mβm+1

(m+ 1)!

f^(m)(b)−f^(m)(a) Avec

S= 1 2

b−1

X

k=a

(f(k+ 1) +f(k))

=

b−1

X

k=a+1

f(k) +1

2(f(a) +f(b)) =

b

X

k=a

f(k)−1

2(f(a) +f(b))

On obtient donc bien la formule annoncée :

b

X

k=a

f(k) = Z b

a

f(t)dt+1

2(f(a) +f(b)) +

n

X

m=1

(−1)^m+1βm+1

(m+ 1)!

f^(m)(b)−f^(m)(a)

+ (−1)ⁿ (n+ 1)!Rn+1

4. Calculons l'intégrale à l'aide d'une intégration par parties. On peut le faire carn+1≥3. Le calcul est analogue aux précédents. Le crochet est nul carβ_n+1−b_n+1est nul en0

et1 et la constante disparait en dérivant. On obtient donc : Z b

a

(βn+1−bn+1(t))f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt= Z b

a

(n+ 1)bn(t)f⁽ⁿ⁾(t)dt= (n+ 1)Rn

Avec la périodicité deb_n+1, on en déduit

|(n+ 1)Rn| ≤ Z b

a

|βn+1−bn+1(t)|Mn+1dt

≤

b−1

X

k=a

Z k+1 k

|βn+1−bn+1(t)|Mn+1dt≤(b−a) Z 1

0

|βn+1−bn+1(t)|Mn+1dt

Pournimpair,βn+1−bn+1(t)est de signe constant et R1

0 b2m+2(t)dt= 0 donc

|(n+ 1)Rn| ≤(b−a)

Z 1

0

(βn+1−Bn+1(t))dt

Mn+1≤(b−a)|βn+1|Mn+1

5. Pourf(t) =t⁴, le resteR₅ est nul. La formule sommatoire conduit à

n

X

k=0

k⁴= Z n

0

t⁴dt+n⁴ 2 +1

6 4n³

2 − 1 30

4!n 4! =n⁵

5 +n⁴ 2 +n³

3 − n 30