Formule de la moyenne et d´eveloppements de Taylor

Formule de la moyenne et d´ eveloppements de Taylor

Jacques Faraut

Hammamet, 22 mars 2011

G est un groupe localement compact, K un sous-groupe compact.

L¹(K\G/K) : alg`ebre de convolution des fonctions intgrables biinvariantes par K.

(G, K) est une paire de Gelfand si L¹(K\G/K) est commutative.

On suppose que (G, K) est une paire de Gelfand.

Une fonction sph´erique est une fonction con- tinue ϕ sur G, biinvariante par K, ϕ(e) = 1, et

Z

K ϕ(xky)α(dk) = ϕ(x)ϕ(y).

Les caract`eres de l’alg`ebre de Banach com- mutative L¹(K\G/K) sont de la forme

χ(f) =

Z

Gf(x)ϕ(x)m(dx),

o`u ϕ est une fonction sph´erique born´ee.

Le spectre de Gelfand Σ de L¹(K\G/K) est un espace topologique localement compact.

Nous ´ecrivons ϕ(σ; x) la fonction sph´erique associ´ee `a σ ∈ Σ.

G est un groupe de Lie connexe.

D(G/K) : alg`ebre des op´erateurs diff´erentiels sur G/K invariants par l’action (`a gauche ) de G.

Th´eor`eme (Thomas,1984) (G, K) est une paire de Gelfand si et seulement si D(G/K) est commutative.

Dans un tel cas les fonctions sph´eriques sont des fonctions propres des op´erateurs D ∈ D(G/K):

Dϕ(σ;x) = D(σ^c )ϕ(σ; x).

La valeur propre D(σ) est une fonction con-^c tinue d´efinie sur Σ.

Probl`eme g´en´eral

On veut construire

- une base lin´eaire (D_µ)_µ∈M de D(G/K), - une suite de fonctions analytiques (b_µ)_µ∈M, telles que

D_µb_ν(o) = δ_µν,

et ´etablir une formule de la moyenne:

pour une fonction analytique f sur G/K,

Z

K f(xky)α(dk) = ^X

µ∈M

D_µf(x)b_µ(y), sous des hypoth`eses `a pr´eciser

Observons qu’il suffit de montrer que, si f est analytique et invariante par K,

f(y) = ^X

µ∈M

D_µf(o)b_µ(y) (o = eK).

Dans la cas particulier o`u f(x) = ϕ(σ; x) on obtient un d´eveloppement de Taylor g´en´eralis´e des fonctions sph´eriques :

ϕ(σ; x) = ^X

µ∈M

Dd_µ(σ)b_µ(x).

Exemple de base G = R^{, K = {0}, Σ =} R^, D_µ =

d dx

_µ

, b_µ(x) = x^µ

µ!, µ ∈ N^.

La formule de la moyenne est la formule de Taylor :

f(x + y) =

∞ X

µ=0

d dx

_µ

f

!

(x)y^µ µ!.

La formule de Taylor des fonctions sph´eriques est le d´eveloppement usuel de l’exponentielle

ϕ(σ;x) = e^iσx =

∞ X

µ=1

(iσ)^µx^µ µ!.

Exemple historique

G = SO(n)nRⁿ, le groupe des d´eplacements, K = SO(n), G/K ' R^{n. Σ = [0,∞[.}

Fonctions sph´eriques : ϕ(σ; x) =

Z

S(Rⁿ⁾

e^iσ(u|x)β(du).

L’alg`ebre D<sup>(G/K</sup>) est l’alg`ebre des op´erateurs diff´erentiels `a coefficients constants sur R<sup>n,</sup> invariants par rotation. Cette alg`ebre est en- gendr´ee par le laplacien ∆, et ∆(σ) =^c −σ². On peut prendre D_µ = ∆^µ (µ ∈ N). Et alors

b_µ(x) = c_µkxk^2µ.

Formule de la moyenne :

Z

K f(x + k · y)α(dk) =

∞ X

µ=0

c_µ∆^µf(x)kyk^2µ. ou

Z

S(Rⁿ⁾

f(x + ru)β(du) =

∞ X

µ=0

c_µ∆^µf(x)r^2µ. (Courant-Hilbert,1937)

D´eveloppement de Taylor des fonctions sph´eriques ϕ(σ;x) =

∞ X

µ=0

c_µ(−1)^µσ^2µkxk^2µ.

Si f est radiale : f(x) = F(kxk) : a_n

Z _π 0 F

q

s² + t² − 2st cosθ sinⁿ⁻² θdθ

=

∞ X

µ=0

c_µL^µF(s) t^2µ,

L est la partie radiale du laplacien ∆ : L = d²

dt² + n − 1 t

d dt.

Cette formule est `a l’origine des translations g´en´eralis´ees de Delsarte (1938) :

L est un op´erateur diff´erentiel sur R^, ϕ(λ, x) est solution de

Lϕ(λ; x) = λϕ(λ; x), ϕ(λ, 0) = 1.

On consid`ere le d´eveloppement en s´erie enti`ere de ϕ(λ;x) par rapport `a λ:

ϕ(λ, x) =

∞ X

µ

λ^µb_µ(x).

Translations g´en´eralis´ees T^x : T^x =

∞ X

µ=0

b_µ(x)L^µ.

Lorsque L est de la forme L = d²

dx² + A⁰(x) A(x)

d dx,

ces translations g´en´eralis´ees ont conduit aux hypergroupes de Ch´ebli-Trim`eche.

Il est possible de consid´erer une telle formule de la moyenne dans le cadre des espaces de Damek-Ricci.

Paires de Gelfand associ´ees au groupe de Heisenberg

Le groupe de Heisenberg de dimension 2n+1 peut ˆetre d´efini comme l’ensemble

H = C^{n ×} R muni du produit

(z, t)(z⁰, t⁰) = z + z⁰, t + t⁰ + Im(z⁰|z). K = U(n) op`ere sur H : k · (z, t) = (k · z, t).

G produit semi-direct G = K n H. Produit dans G :

(k; z, t)(k⁰, z⁰, t⁰) = kk⁰; z+k·z⁰, t+t⁰+Im(k·z⁰|z). (G, K) est une paire de Gelfand. G/K ' H.

Spectre de (G, K) : Σ = Σ¹ ∪ Σ², Σ¹ = {(λ, m) | λ ∈ R^{∗, m ∈} N^}.

Fonctions sph´eriques de 1`ere esp`ece :

ϕ(λ, m;z, t) = e^iλte^−12|λkzk2L⁽ⁿ⁻¹⁾_m (|λ|kzk²) L⁽ⁿ⁻¹⁾_m (0)

.

(L⁽ⁿ⁻¹⁾_m : polynˆome de Laguerre.) D´eveloppement

ϕ(λ, m; z, t)

= e^iλte^{−12|λ|kzk2}

m X

k=0

(−1)^k 1

(n)_kk! |λ|^k(m)_k kzk^2k.

Σ² = {ρ ≥ 0}

Fonctions sph´eriques de 2i`eme esp`ece : ϕ(ρ; z, t) = j_n−1(2√

ρkzk), (j_n−1 fonction de Bessel modifi´ee.) D´eveloppement :

ϕ(ρ;z, t) =

∞ X

k=0

(−1)^k 1

(n)_kk! ρ^k kzk^2k.

Topologie du spectre Σ L’application Σ → R^{2 :}

(λ, m) ∈ Σ¹ 7→ (λ,|λ|m), ρ ∈ Σ² 7→ (0, ρ)

est un hom´eomorphisme de Σ sur son image, l’´eventail de Heisenberg.

(P. Bougerol)

D´efinissons l’op´erateur L_k ∈ D^{(G/K) '} D^(H)K par

L_kf(z, t) =

n X

j=1

∂²

∂ζ_j∂ζ¯_j

_k

fz+ζ, t+Im(ζ|z)

ζ=0. Pour k = 1,

L₁ =

n X

j=1

∂²

∂z_j∂¯z_j+ i 2

∂

∂t

z_j ∂

∂z_j−¯z_j ∂

∂¯z_j

+1

4kzk² ∂²

∂t². A un facteur pr`` es L₁ est le sous-laplacien.

L₁ = 1 2

n X

j=1

(Z_jZ_j + Z_jZ_j).

o`u

Z_j = ∂

∂z_j + 1

2iz_j ∂

∂t, Z_j = ∂

∂z_j − 1

2iz_j ∂

∂t.

Pour µ ∈ M = N ^× N^{, µ} = (k, `), posons D_µ = L_k

∂

∂t

_`

, b_µ(z, t) = 1 (n)_k

1

`!kzk<sup>2k</sup>t<sup>`</sup>. Alors

D_µb_µ(0,0) = δ_µν.

Th´eor`eme Si f est une fonction analytique sur H,

Z

K fz + k · w, t + τ + Im(k · w|z)α(dk)

= ^X

µ∈M

D_µf(z, t)b_µ(w, τ)

=

∞ X

k=0

∞ X

`=0

c_k,`L_k

∂

∂t

_`

f(z, t)kwk^2kτ^`.

D´eveloppement de Taylor ϕ(σ; z, t) =

∞ X

k=0

∞ X

`=0

1 (n)_k

1

`!

Lc_k(σ)(iλ)^{`</sup>kzk<sup>2k</sup>t<sup>`}

= e^iλt

∞ X

k=0

1 (n)_k

Lc_k(σ)kzk^2k.

(On convient de poser λ = 0 si σ ∈ Σ².)

Les fonctions L^c_k(σ) s’expriment `a l’aide des polynˆomes de Meixner-Pollaczek

Polynˆomes de Meixner-Pollaczek

On note q_m^(ν)(s) la suite de polynˆomes d´efinie par la fonction g´en´eratrice

∞ X

m=0

q_m^(ν)(s)w^m = (1 − w)^s−2ν(1 + w)^−s−ν2. Les polynˆomes q_m^(ν)(iλ) sont orthogonaux pour le poids

w^(ν)(λ) =

Γiλ + ν 2

2

, w⁽¹⁾(λ) = π

coshπλ.

Th´eor`eme

Lc_k(λ, m) = 2^−k|λ|^kq_k⁽ⁿ⁾m + n 2

,

Lc_k(ρ) = (−1)^kρ^k

k!. (1)

En particulier, pour k = 1, on obtient pour le sous-laplacien

dL₁(λ, m) = −|λ|m + n 2

, ^dL₁(ρ) = −ρ.

Le th´eor`eme pr´ec´edent permet d’exprimer explicitement L_k comme un polynˆome

en T = ^∂

∂t et L₁ :

L_k = Q_k(T, L₁),

o`u le polynˆome Q_k se d´eduit facilement du polynˆome de Meixner-Pollaczek q_k⁽ⁿ⁾. Pour n = 1 on retrouve un r´esultat de Koorn- winder : Meixner-Pollaczek polynomials and the Heisenberg algebra, 1988.

La d´emonstration utilise la relation qu’il y a entre les polynˆomes de Laguerre et les polynˆomes de Meixner-Pollaczek. Le polynˆome q_m^(ν) est essentiellement la transform´ee de Mellin

de la fonction de Laguerre ψ_m^(ν)(u) = e^−uL^(ν_m⁻¹⁾(2u) q_m^(ν)(s) = 1

Γs + ^ν₂

Z _∞ 0

ψ_m^(ν)(u)u^s+2ν−1du.

On ´etablit aussi le d´eveloppement ψ_m^(ν)(u) = (ν)_m

m!

∞ X

k=0

1

(ν)_kq_k^(ν)m + ν 2

u^k.

Plus g´en´eralement on peut consid´erer un sous- groupe K ⊂ U(n). Si K op`ere sans mul- tiplicit´e sur l’espace P(C<sup>n</sup>) des polynˆomes holomorphes sur C<sup>n</sup>, la paire (G, K), o`u G = K n H, est une paire de Gelfand.

Avec M. Wakayama, nous avons ´etendu dans ce cadre g´en´eral les r´esultats que nous avons pr´esent´es dans le cas particulier o`u K = U(n).