a) Appliquer la formule de Taylor-Lagrange `a la fonction exponentielle entre 0 et 1, et en d´eduire que e

L2 math´ematiques 2017/2018

S´eries num´eriques et int´egrales g´en´eralis´ees

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FICHE 2 : S´ERIES NUM´ERIQUES

I. Calculs de sommes de s´eries

Exercice 1. Calculer les sommes des s´eries suivantes : a) P

n>1

−1 2

n

. b) P

n>0(n+ 1)3⁻ⁿ. (On pourra d’abord calculer (1−3⁻¹)PN

n=0(n+ 1)3⁻ⁿ).

c) P

n>0 n

n⁴+n²+1. (On pourra ´ecrire _n4+nⁿ²+1 = ¹_{2 n}2−n+1¹ −_n2+n+1¹

, puisn²+n+1 = (n+1)²−(n+1)+1).

Exercice 2.

a) Appliquer la formule de Taylor-Lagrange `a la fonction exponentielle entre 0 et 1, et en d´eduire que e=

+∞

X

n=0

1 n!.

b) Calculer les sommes des s´eries :

(i) X

n>0

n²

n! (ii) X

n>0

n³

n! .

c) Montrer que le reste d’ordre n de la s´erie exponentielle, R_n =

+∞

X

k=n+1

1

k!, est major´e par 1 nn!. En d´eduire que e est un nombre irrationnel.

Exercice 3. En appliquant la formule de Taylor-Lagrange `a la fonction logarithme, montrer que la s´erie harmonique altern´ee

X

n>1

(−1)ⁿ⁻¹ n est convergente de somme ln 2.

Exercice 4. Pour x∈[0,1] et n∈N^∗, on pose S_n=Pn

k=1(−1)^k−1x_k^k. a) Donner une expression simple deS_n⁰(x).

b) En d´eduire que

S_n(x) = ln(1 +x)− Z x

0

(−t)ⁿ 1 +t dt.

c) Conclure que, pour tout x∈[0,1], on a

+∞

X

k=1

(−1)^k−1x^k

k = ln(1 +x).

d) Retrouver le r´esultat de l’exercice 3.

Exercice 5.Soit (v_n)_n>0 une suite de r´eels convergeant vers 0, et a, b, c trois r´eels tels quea+b+c= 0.

On consid`ere la suite (u_n)_n>0 d´efinie par

u_n =av_n+2+bv_n+1+cv_n, (n>0).

D´emontrer que la s´erie de terme g´en´eral u_n converge et calculer sa somme.

Exercice 6.Montrer que la s´erie P

k>1 1

1+2²+···+k² est convergente et calculer sa somme. Indication : On rappelle que 1²+. . .+n² = ¹₆n(n+ 1)(2n+ 1) et que la s´erie P

n>1

(−1)ⁿ⁻¹

n a ´et´e ´etudi´ee dans l’exercice 3.

II. S´eries num´eriques `a termes positifs

Exercice 7. Etudier la nature des s´eries de terme g´en´eral suivant :

a) 1

n(n+ 1) (n >1),

b) 1

n(n+ 1)(n+ 2)(n>1),

c) 2n−1

n(n²−4)(n >3), d) ln

1− _(n+2)¹ 2

(n >1)

Exercice 8.En utilisant les diff´erents crit`eres de convergence, pr´eciser la nature des s´eries de terme g´en´eral suivant :

1) 1− _n¹3

n²

, n>1, 2) tan^{n π}₄ + ¹_n

, 3) _n2¹+3,

4) √ ¹

n(n²+1), 5) _lnn¹ , 6) n²e⁻ⁿ, 7) ^lnn_n2 , 8) _n3ⁿ+1² ,

9) ¹

n^{2−12cos 1n}, 10)

√

n(n−1) n²−2√

n+3 lnn, 11) _n(n+1)^sinn ,

12) R ¹₂

0 tⁿ 1+√

tdt 13) sin ₂^πn

, 14) _n2+ln²ⁿ⁺³n+5^{n n}, 15) _2n+1ⁿ⁺³2nlnn

, 16) _e^n!n,

17) _n^n!n, 18) ^(ln_n!ⁿ⁾ⁿ,

19) 1.4....(3n+1)^(n+1)! aⁿ (a >0), 20) ^2.4....2n_nn ,

21)

1 + ⁽⁻¹⁾₂ ⁿ

aⁿ (a >0), 22)

n²−5n+1 n²−4n+2

n²

,

23) √

2n+ 1−√ 2n, 24) e− 1 + _n¹n

, 25) ³√

n³+ 2n−√

n²−1, 26) ln 2+ln 3+lnn

n^α , 27) cos_n¹n³

, 28)

1 ch(_n¹)

n^5/2

, 29) n

2ⁿ¹² −1

−ln 1 + ^{ln 2}_n , 30) cos

πn² 2(n²+pn+qn)

,

31) ¹

n^{2−cos 1n}, Exercice 9.

a) En comparant la somme partielle d’ordre n de la s´erie harmonique H_n=

n

X

k=1

1 k

`

a une int´egrale, montrer que H_n v´erifie l’encadrement

ln(n+ 1)6H_n 61 + ln(n).

b) En d´eduire que la s´erie harmonique est divergente et que H_n est ´equivalent lorsquen tend vers l’infini

` a lnn.

c) Pour n entier naturel non nul, on pose u_n=H_n−ln(n) et v_n=H_n−ln(n+ 1). Montrer que les deux suites (u_n) et (v_n) convergent vers un r´eel γ ∈[1/4,1] (γ est appel´ee la constante d’Euler).

d) Donner une valeur approch´ee de γ `a 10<sup>−2</sup> pr`es.

Exercice 10.Par comparaison `a une int´egrale, donner un ´equivalent de a) u_n =P2n

k=n+1

√1 k. b) v_n=Pn

k=2 1 klnk. c) w_n=Pn

k=1ln²k. La s´erie de terme g´en´eral 1/w_n est-elle convergente ? Exercice 11.Etudier la convergence de la s´erie de terme g´en´eral

u_n = 1

n^α(lnn)^β, (n>2), o`u α, β sont des param`etres r´eels.

Exercice 12.Soit (a_n) une suite de r´eels strictement positifs telle que P

na_n converge. Etudier la nature des s´eries suivantes

a) X

n

a²_n, b) X

n

a_n

1 +a_n, c) X

n

a_na_2n, d) X

n

√a_n n . Exercice 13. Soit (u_n)_n>0 une suite `a valeurs dans R^∗ telle que lim

n→∞u_n = ` 6= 0. Montrer que les s´eries X

n>0

|u_n+1−u_n| et X

n>0

_u¹

n+1 − _u¹

n

sont de mˆeme nature.

Exercice 14.Soit (a_n)_nune suite d´ecroissante `a termes positifs. On suppose queP

na_n converge. Montrer que

n→+∞lim na_n = 0.

Indication : on pourra minorer Pn

k=p+1a_k pour n > p...

Exercice 15.Soit (a_n)_n>1 une suite r´eelle positive. On pose u_n = an

(1 +a₁)(1 +a₂). . .(1 +a_n), n>1.

a) V´erifier que, pour toutn >1, on a

u₁ +u₂+· · ·+u_n = 1− 1

(1 +a1). . .(1 +an). b) En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral u_n est convergente.

c) On suppose dans cette question que an = 1/√ n.

(i) Montrer que ln((1 +a₁). . .(1 +a_n))→+∞, lorsque n →+∞.

(ii) En d´eduire la valeur de P

n>1un. Exercice 16. Soient X

n>0

u_n une s´erie divergente `a termes strictement positifs et (S_n)_n>0 la suite de ses sommes partielles. On d´efinit la suite (v_n)_n>1 en posant v_n= √ ^un

Sn+√

Sn−1

, pour tout n∈N^∗. 1.Montrer que lim

n→+∞vn/un= 0.

2.Montrer que la s´erie X

n>1

v_n est divergente.

3.Conclure.

Exercice 17.Soit f : [1,∞[→]0,∞[ une fonction de classe C¹ telle que lim

x→+∞

f⁰(x)

f(x) =−∞.

1. Montrer qu’il existe un nombre r´eel a>1 tel que pour tout x>a, on ait ^f_f⁰_(x)^(x) 6−1.

2. En d´eduire que la s´erie X

n>1

f(n) est convergente.

III. S´eries num´eriques de signe quelconque

Exercice 18.

a) Justifier que P

n>1

(−1)ⁿ⁻¹

n³ converge. On note S la somme de la s´erie.

b) Donner une valeur approch´ee de S en garantissant une erreur inf´erieure ou ´egale `a 10⁻³. Exercice 19.

a) Montrer la convergence des deux s´eriesP

k>1 1

2k−1 − _2k¹ etP

k>1 1

2k+1 −_2k¹

et calculer leur somme.

b) D´ecomposer en ´el´ements simples la fraction rationnelle 1/(4x³ −x).

c) Montrer la convergence de la s´erie P

k>11/(4k³ −k) et calculer sa somme.

Exercice 20.Etudier la convergence simple et absolue des s´eries de terme g´en´eral suivant : 1) ⁽⁻¹⁾ⁿ

n+(−1)ⁿ√ n³+1

2^∗) ⁽⁻¹⁾_n^nlnn 3) ₍₋₁₎nn¹²+n+1

4) _(1+i)ⁿ² n

5^∗) (−1)ⁿsin

√1 n

6) q

1 + ^(−1)√_nⁿ −1 7^∗) (−1)ⁿ(√

1 +n−√ n) 8) nln 1 + _n¹

−cos^√1_n

9) _n+(−1)⁽⁻¹⁾_n^n√_n 10)

2n(1+i)+3 3n−i

n

.

11) (−1)ⁿlnⁿ⁺¹_n−1, (n >2) Dans chaque cas^∗, donner une majoration simple du reste d’ordre n, |R_n|, de la s´erie.

Exercice 21.Etudier la convergence de la s´erie de terme g´en´eral u_n= (−1)ⁿ√

n+ 1

n .

En d´eduire que deux s´eries de termes g´en´eraux ´equivalents ne sont pas forc´ement de mˆeme nature.

Exercice 22. Discuter selon les valeurs de α > 0, la convergence simple et absolue de la s´erie de terme g´en´eral

u_n = (−1)ⁿ n^α+ (−1)ⁿ. Exercice 23.Discuter la nature de la s´erie de terme g´en´eral

u_n= 1 lnn

zⁿ+ 1 zⁿ

,

selon la valeur du module du nombre complexez.

Exercice 24.Etudier la nature des trois s´eries : u_n = cosn

n+ cosn, v_n= cosn

n^3/4+ cosn, w_n = cosn n^1/2+ cosn. On pourra utiliser la r`egle d’Abel et utiliser des d´eveloppements limit´es.

Exercice 25.Soit X

n>0

un une s´erie r´eelle convergente. Que pensez-vous de la nature de la s´erie X

n>0

u²_n ? Exercice 26.Montrer que la s´erie X

n>1 cos lnn

n diverge.

Indication : on montrera que la s´erie ne v´erifie pas le crit`ere de Cauchy en d´eterminant les intervalles sur lesquels cos lnn>1/2.