Prouver que pour tout x réel, ∣sinx– x∣x2 2 (on pourra appliquer l'inégalité de Taylor Lagrange à la fonction sinus sur [0 ;x]) 2

PC : semaine 13 Intégration sur un segment et retour 1ère année.

Pour x0 , calcul de ∫

1 x

x tlnt

1t²²dt.

Calculer : ∫

0 1

xArctan x²dx

1. Décomposer en éléments simples, la fraction rationnelle u_nx=nx^{n –1} xⁿ–1 . 2. En déduire ∫

0

2 1

z –e^itdt pour z nombre complexe de module différent de 1.

1. Prouver que pour tout x réel, ∣sinx– x∣x²

2 (on pourra appliquer l'inégalité de Taylor Lagrange à la fonction sinus sur [0 ;x])

2. On pose u_n=∑

k=1 n

sin^nk^sinn^k2 ^{et vn=∑}k=1

n k

n²sin^nk, prouver que lim_n∞u_n– v_n=0.

3. Calculer lim_n∞u_n.

Sachant que pour tout ^x réel, e^x = ∑

n=0

∞ xⁿ

n! , établir l'égalité: ∫

0 1

x^xdx = ∑

n=1

∞ –1^n1 nⁿ

Soit g : ℝ  ℝ une fonction continue. On pose pour tout x de ℝ, fx=∫

0 x

sinx –tgtdt

a. Montrer que f est dérivable et que f 'x=∫

0 x

cosx – tgtdt.

b. Montrer que f est solution de l'équation différentielle y^{' '}y=gx. Achever la résolution de cette équation différentielle.

Déterminer les primitives suivantes

a. ∫_it1^{1 dt} ; b. ∫^{etcostdt} ; c. ∫^{tsintetdt}

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PC : semaine 13 Intégration sur un segment et retour 1ère année.

Pour n ∈ ℕ, on pose u_n=∫

0

1 1

1xⁿdx. 1. Calculer u₀, u₁ et u₂.

2. Montrer que u_n est une suite croissante.

3. Montrer que u_n tend vers 1.

4. Établir que ∫

0 1 xⁿ

1xⁿdx=ln 2 n −1

n∫

0 1

ln1xⁿdx pour tout n entier naturel non nul.

5. En déduire que u_n=1–ln2

n on¹

Éléments de correction classique : IPP.

IPP  ∫

0 1

xArctan x²dx=[x²/2Arctanx²]₀¹−∫

0 1 x²

1x²Arctanxdx et ∫

0 1

Arctanxdx par IPP.

Si P=Q ' alors =Q 'a

Q 'a=1 donc u_nx=∑

k=0 n –1 1

x – w_k

Somme de Riemann relative à la subdivision ^2kn^ ^{0kn d'où Snz=2}z^nz–^{n –1}1

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PC : semaine 13 Intégration sur un segment et retour 1ère année.

Fz=lim

n ∞

S_nz ₌ {^2z0si^si∣_z^∣∣^z1^∣1

f de classe C^n1 sur I et pour tout a et x de I, on a :

∥^{fx−k=0∑n x – ak! kfka}∥^{∣x –an1!∣n1supt∈[a ,x]∥fn1t∥}

∣u_n−v_n∣^≤∣^∑k=1n ^{sinnk2–nk2}^sinnk∣ ^{⇔ ∣un−vn∣≤∑k=1n} ∣^sin^nk2^{– nk2}^sinkn∣ et etc ....

∣u_n−v_n∣≤∑

k=1

n k²

2n⁴∣^sin^kn∣ ^{et ∣un– vn∣21n} d'où le résultat.

Avec sommes de Riemann  v_n=∑

k=1

n k

n²sin^kn⁼¹n∑

k=1

n k

nsin^kn ^{ ∫}₀^{1 xsinxdx=sin1–cos1}

Précis : exemple 2 p 89. Difficulté  calcul de a_n=∫

0 1

xlnxⁿdx

( l'idée consiste à calculer par parties ∫

0 1

xⁿlnx^pdx pour p ∈ ℕ^* )

Attention : Dans la solution du a) ne sont pas écrits des termes qui s'annulent ...

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