1. Résoudre dans , l’équation : sin 2 ( ) x + cos x = 0 .

PanaMaths Novembre 2013

1. Résoudre dans , l’équation : ^{sin 2} ( ) ^{x + cos x = 0 .}

2. Résoudre dans , l’équation : ^{sin 2} ( ) ^{x + m cos x = 0} , où m est un paramètre réel.

Analyse

Dans la première question, il convient de connaître la formule donnant le sinus de l’angle double. Cette première question prépare la généralisation abordée dans la seconde.

Résolution

Question 1.

Comme ^{sin 2}

( )

( ) ( )

sin 2x +cosx= ⇔0 2 cos sinx x+cosx= ⇔0 cosx 2 sinx+ =1 0 Il vient alors (équation produit) :

( )

cosx 2 sinx+ = ⇔1 0 cosx=0 ou 2 sinx+ =1 0

Classiquement : cos 0 ,

x= ⇔ = +x π2 kπ k∈ . Par ailleurs :

2 sin 1 0 sin 1 sin

2 6

2 ou 2 7 2 ,

6 6 6

2 2 ou 7 2 ,

6 6

11 7

2 ou 2 ,

6 6

x x

x k x k k k

x k x k k

x k x k k

π

π π π π π π π

π π π π π

π π π π

⎛ ⎞ + = ⇔ = − = ⎜⎝− ⎟⎠

⎛ ⎞

⇔ = − + = − −⎜⎝ ⎟⎠+ = + ∈

⇔ = − + + = + ∈

⇔ = + = + ∈

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Finalement :

L’ensemble des solutions de l’équation ^{sin 2}

( )

7 11

, 2 , 2 ,

2 k k 6 k k 6 k k

π π π π π π

⎧ + ∈ ⎫ ⎧ + ∈ ⎫ ⎧ + ∈ ⎫

⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩∪ ⎭ ⎩∪ ⎭

A titre de complément, nous fournissons ci-après une représentation graphique des quatre points M1, M2, M3 et M4 correspondant aux solutions ci-dessus.

Question 2.

Dans cette question, on va généraliser les résultats obtenus à la question précédente.

Le début de la résolution est similaire :

( ) ( )

sin 2x +mcosx= ⇔0 2 cos sinx x+mcosx= ⇔0 cosx 2sinx+m =0

On a encore : cos 0 ,

x= ⇔ = +x π2 kπ k∈ .

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Par ailleurs : 2 sin 0 sin

2 x+ = ⇔m x= −m.

Cette deuxième équation n’admet de solutions que si l’on a : 1 1 2

− ≤ −m≤ , c'est-à-dire

2 m 2

− ≤ − ≤ .

On va donc distinguer deux cas.

Si m< −2 ou m>2, l’équation sin

2

x= −m’admet pas de solution.

Si − ≤ − ≤2 m 2, alors l’équation sin

2

x= −m admet une unique solution α dans l’intervalle 2 ; 2

⎡−π π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ et l’ensemble des solutions de cette équation est :

{

} {

}

Finalement :

L’ensemble des solutions de l’équation ^{sin 2}

( )

2 k ,k π π

⎧ + ∈ ⎫

⎨ ⎬

⎩ ⎭ pour m< −2 ou m>2

{ } { }

, 2 , 2 ,

2 k k k k k k

π π α π π α π

⎧ + ∈ ⎫ + ∈ − + ∈

⎨ ⎬

⎩ ⎭∪ ∪ pour 2− ≤ − ≤m 2,

α étant l’unique réel de ; 2 2

⎡−π π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ tel que sin

2 α = −m.