MPSI-Éléments de cours Approximations d'un nombre réel 28 février 2020
Approximations d'un nombre réel
Rédaction incomplète. Version alpha Plan
I. Approximations des valeurs d'une fonction . . . . 1
1. Formule de Taylor idiote . . . . 1
2. Formules de Taylor avec reste intégral . . . . 1
3. Formule et inégalité de Taylor-Lagrange . . . . 1
II. Approximations d'une intégrale . . . . 2
1. Sommes de Riemann . . . . 2
2. Méthode des rectangles et des trapèzes . . . . 3
III. Approximations des zéros d'une fonctions . . . . 4
IV. Écriture dans une base . . . . 4
Index
formule de Taylor avec reste de Lagrange, 2 formule de Taylor avec reste intégral, 1 inégalité de Taylor-Lagrange, 1
méthode des rectangles, 3
méthode des trapèzes, 3
méthodes trapèzes : majoration de l'erreur, 3 sommes de Riemann, 2
On donne dans cette partie des formules donnant des valeurs approchées d'un nombre déni de diverses ma- nières. Il est important de disposer également d'une majoration de l'erreur.
I. Approximations des valeurs d'une fonction
1. Formule de Taylor idiote
Soit f une fonction dénie dans un intervalle I , soit a et b deux éléments de I . On suppose que f est n fois ( n entier naturel) dérivable en a . Il existe alors un nombre R n (a, b) tel que
f (b) = f (a) + b − a
1! f 0 (a) + (b − a) 2
2! f (2) (a) + · · · + (b − a) n−1
(n − 1)! f (n−1) (a) + R n (a, b) Il sut en eet de prendre pour R n (a, b) (le reste) la diérence
R n (a, b) = f (b) −
f (a) + b − a
1! f 0 (a) + (b − a) 2
2! f (2) (a) + · · · + (b − a) n−1
(n − 1)! f (n−1) (a)
Une telle formule pourrait être désigne par : formule de Taylor idiote, à l'ordre n , entre a et b . Lorsque l'on cite une formule de Taylor, il convient de préciser : le type de la formule (reste intégral, reste de Lagrange, ...), l'ordre (le nombre de termes dans la partie principale) et les points entre lesquels on prend la formule.
Les véritables formules de Taylor (non idiotes) données dans les deux sections suivantes fournissent une propriété du reste.
2. Formules de Taylor avec reste intégral
Le théorème suivant a été démontré dans la partie sur les relations entre Intégrales et Primitives. C'est une conséquence immédiate d'une succession d'intégrations par parties.
Proposition. Soit f ∈ C n (I) où I est un segment d'extrémités a et b . Alors : f (b) = f (a) + b − a
1! f 0 (a) + (b − a) 2
2! f (2) (a) + · · · + (b − a) n−1
(n − 1)! f (n−1) (a) + Z b
a
(b − t) n−1
(n − 1)! f (n) (t)dt Remarques. Il est inutile de supposer dans cette formule que a < b .
La formule est dite entre a et b à l'ordre n .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Pas d'utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai C2197MPSI-Éléments de cours Approximations d'un nombre réel 28 février 2020
3. Formule et inégalité de Taylor-Lagrange
Proposition (inégalité de Taylor-Lagrange). Soit f ∈ C n (I) où I est un segment d'extrémités a et b . Alors
f (b) = f (a) + b − a
1! f 0 (a) + (b − a) 2
2! f (2) (a) + · · · + (b − a) n−1
(n − 1)! f (n−1) (a) + R n (a, b) avec
|R n (a, b)| ≤ |b − a| n
n! M n où M n = sup
← − → [a,b]
f (n)
Preuve. Dénissons une fonction ϕ dans I par
ϕ(x) = f (x) −
f (a) + (x − a)f 0 (a) + · · · + (x − a) n−1
(n − 1)! f (n−1) (a)
On vérie facilement que ϕ (n) (x) = f (n) (x) et que ϕ (k) (a) = 0 pour k entre 0 et n−1 . Introduisons les plus grandes et plus petites valeurs de f (n) . On les note respectivement M n et mn . Supposons que a soit la plus petite valeur de I et intégrons successivement entre a et x les encadrements en exploitant
ϕ (k) (x) = ϕ (k) (x) − ϕ (k) (a) = Z x
a
ϕ ((k+1) (t) dt
Il vient
m n ≤ ϕ ((n) (x) = f ((n) (x) ≤ M n ⇒ m n (x − a) ≤ ϕ ((n−1) (x) ≤ M n (x − a)
⇒ m n
(x − a) 2
2! ≤ ϕ ((n−2) (x) ≤ M n
(x − a) 2 2! ⇒ m n
(x − a) 3
3! ≤ ϕ ((n−3) (x) ≤ M n
(x − a) 3 3!
⇒ · · · ⇒ m n (x − a) n
n! ≤ ϕ(x) ≤ M n (x − a) n n!
En particulier pour x = b , on tire
m n
(b − a) n
n! ≤ ϕ(b) ≤ M n
(b − a) n n!
Si a est la plus grande valeur de l'intervalle, on peut se ramener au cas précédent en dénissant une fonction dans l'intervalle symétrique en posant g(y) = f (−y) . En eet
(−x − (−a)) k g (k) (−a) = (−x + a) k (−1) k f (k) (a) = (x − a) k f (k) (a)
Proposition (formule de Taylor avec reste de Lagrange). Soit f ∈ C n (I) où I est un segment d'extrémités a et b . Alors il existe c ∈ I tel que
f (b) = f (a) + b − a
1! f 0 (a) + (b − a) 2
2! f (2) (a) + · · · + (b − a) n−1
(n − 1)! f (n−1) (a) + (b − a) n (n)! f (n) (c) Preuve. On applique le théorème de la valeur intermédiaire à f (n) .
II. Approximations d'une intégrale
1. Sommes de Riemann
Dénition. Soit f une fonction continue sur un segment [a, b] et S = (a 0 , · · · , a n ) une subdivision régulière de [a, b] . L'expression
R n (f ) = b − a n
n−1
X
k=0
f (a k ) est appelée une somme de Riemann de f .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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Proposition. Soit f une fonction continue sur un segement [a, b] , la suite des sommes de Riemann de f converge vers l'intégrale :
b − a n
n−1
X
k=0
f (a k )
!
n∈N
→ Z b
a
f (t)dt
Remarque. La dénition d'une somme de Riemann et le résultat précédent peuvent se généraliser beaucoup Preuve. Pour toute subdivision régulière S = (a 0 , · · · , a n ) , notons respectivement m i = f (u i ) et M i = f (v i ) la plus petite et la plus grande valeur prise par la restriction au segment [a i , a i+1 ] de la fonction f . Ces valeurs permettent de dénir des fonctions en escalier ϕ n ∈ E − (f ) et ψ n ∈ E + (f ) . (voir les notations de Une théorie de l'intégration sur un segment). On a lors :
Z
[a,b]
ϕ n ≤ Z
[a,b]
f ≤ Z
[a,b]
ψ n
Z
[a,b]
ϕ n ≤R n (f ) ≤ Z
[a,b]
ψ n
⇒ Z
[a,b]
f − R n (f )
≤ Z
[a,b]
(ψ n − ϕ n )
D'après le théorème de Heine, la fonction continue f sur le segment [a, b] est uniformément continue. Pour tout ε > 0 , il existe donc un α > 0 tel que :
∀(x, y) ∈ [a, b] 2 : |x − y| < α ⇒ |f (x) − f (y)| < ε
En particulier, il existe N ε tel que n ≥ N ε entraine b−a n < α , les u i et v i sont alors α -proches donc M i − m i < ε et
Z
[a,b]
f − R n (f )
≤ Z
[a,b]
(ψ n − ϕ n ) ≤ (b − a)ε
Ce qui entraine le résultat cherché.
Remarque. On est souvent en dehors des conditions d'utilisation de ce théorème. Il faut remplacer alors son utilisation impossible par des encadrements exploitant la monotonie.
Exemple trouver un équivalent pour la suite
(n!)
n1n∈ N
∗2. Méthode des rectangles et des trapèzes
Les méthodes d'approximation numérique d'une intégrale considérées ici consistent à découper l'intégrale à l'aide d'une subdivision régulière puis à approcher chaque intégrale sur un segment de la subdivision à l'aide d'une formule particulière qui donne son nom à la méthode. Pour une fonction f de classe C 2 ([a, b]) et un entier naturel non nul n , on forme la subdivision régulière
a k = a + k b − a
n pour k ∈ {0, · · · , n}
et les approximations
R n = (b − a) n
n−1
X
k=0
f (a k ) : méthodes des rectangles
T n = (b − a) n
n−1
X
k=0
f (a k ) + f (a k+1 )
2 : méthodes des trapèzes
On dispose de formules majorant l'erreur entre la valeur de l'intégrale et sa valeur approchée. On expose ici seule- ment le cas de la formule des trapèzes qui est plus précise que celle des rectangles. Le principe de la démonstration s'applique de la même façon pour la formule des rectangles.
Voir le problème Approximation d'une intégrale par interpolation régulière qui étend les deux methodes précédentes en donnant une formule de majoration de l'erreur.
Proposition. Pour une fonction f de classe C 2 ([a, b]) et un entier naturel non nul n :
Z b a
f (t)dt − (b − a) n
n−1
X
k=0
f (a k ) + f (a k+1 ) 2
≤ (b − a) 3 M 2
12n 2 avec M 2 = max [a,b] |f | .
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Rémy Nicolai C2197MPSI-Éléments de cours Approximations d'un nombre réel 28 février 2020
Preuve. On majore l'erreur sur un segment non subdivisé avant de sommer. On considère une fonction d'erreur en faisant varier l'extrémité droite du segment. On dérive plusieurs fois cette fonction :
E(x) = Z x
a
f (t)dt − (x − a) f (a) + f (x)
2 : E(a) = 0
E 0 (x) = f(x) − f (a)
2 − (x − a) f 0 (x)
2 : E 0 (a) = 0
E 00 (x) = −(x − a) f 00 (x)
2 : E 00 (a) = 0
On peut alors majorer et intégrer ces majorations :
∀t ∈ [a, b] : |E 00 (t)| ≤ (t − a) M 2
2
⇒ ∀x ∈ [a, b] : |E 0 (x)| = |E 0 (x) − E 0 (a)| ≤ Z b
a
|E 00 (t)|dt ≤ Z b
a
(t − a) M 2
2 = (x − a) 2 M 2
4 De même :
∀t ∈ [a, b] : |E 0 (t)| ≤ (t − a) 2 M 2
4 ⇒ |E(b)| = |E(b) − E(a)| ≤ Z b
a
|E 0 (t)|dt ≤ Z b
a
(t − a)2 M 2
4 = (b − a) 3 M 2
12
Comme M 2 est la plus grande valeur sur tout l'intervalle, on peut écrire, pour chaque intervalle de la subdivision :
Z a
k+1a
kf (t)dt − (b − a) n
f (a k ) + f (a k+1 ) 2
≤ (b − a) 3 M 2
12n 3
Ce qui entraine la formule annoncée en sommant de 0 à n − 1 .
Remarque. Si on souhaite calculer plusieurs approximation pour des subdivisions diérentes, il est intéressant d'utiliser des subdivsions dichotomiques. En eet pour passer de l'ordre n à l'ordre n + 1 il est nécessaire de recalculer les n + 1 nouvelles valeurs. Alors que pour passer de n à 2n , on peut conserver les valeurs déjà calculées, on doit calculer n nouvelles valeurs et la présion est meilleure pour 2n que pour n + 1 .
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